Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Ïîñêîëüêó ñïîñîáîâ òî÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà íå ñóùåñòâóåò âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ åãî ðåøåíèÿ ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä (ÌÌÀ).Ìåòîä ÌÌÀ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì. Ýòîò ìåòîä ââåäåí â ðàäèîòåõíèêó âïåðâûå Âàí-äåð-Ïîëåì, êîòîðûé ðàññìîòðåë ðÿä çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ óñòàíîâëåíèåì êîëåáàíèé â ëàìïîâûõ ãåíåðàòîðàõ è äðóãèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåìàõ.  äàëüíåéøåì ýòîò ìåòîäïîëó÷èë îáîñíîâàíèå â ðàáîòàõ àêàäåìèêîâ Ë.È.
Ìàíäåëüøòàìà,Í.Ä. Ïàïàëåêñè, À.À. Àíäðîíîâà è èõ ó÷åíèêîâ. Îñîáî ñëåäóåòîòìåòèòü ðàáîòû àêàäåìèêîâ Í.Í. Áîãîëþáîâà, Í.Ì. Êðûëîâà, àòàêæå Þ.À. Ìèòðîïîëüñêîãî, ïîñâÿùåííûå ðàçâèòèþ è ìåòîäàÌÌÀ (èëè, êàê îí ÷àñòî íàçûâàåòñÿ, ìåòîäà óêîðî÷åííûõ óðàâíåíèé).Ïîñêîëüêó â àâòîãåíåðàòîðàõ äëÿ ïîâûøåíèÿ ñòàáèëüíîñòè ÷àñòîòû ãåíåðèðóåìûõ êîëåáàíèé è ïîäàâëåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê òîêàêîëëåêòîðà, ÿâëÿþùèõñÿ ïðîäóêòîì íåëèíåéíîñòè ÂÀÕ òðàíçèñòîðà, èñïîëüçóåòñÿ âûñîêîäîáðîòíûé êîíòóð (Q ? 1), òî àìïëèòóäàíàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå, à òàêæå àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîéñâÿçè, èçìåíÿþòñÿ òàê ìåäëåííî, ÷òî èõ ïðèðàùåíèå DU m çà âðåìÿïåðèîäà êîëåáàíèé T ìíîãî ìåíüøå ñàìîé àìïëèòóäû êîëåáàíèéDU m = U m .
Ýòî óñëîâèå «ìàëîñòè» èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé è áóäåò èñïîëüçîâàíî äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâòîãåíåðàòîðå.Ïîêàæåì, ÷òî óêàçàííîå óñëîâèå «ìàëîñòè» èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå, DU m = U m , äåéñòâèòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ äîáðîòíîñòÿõ êîíòóðà Q. Íàïðÿæåíèå íà êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå àâòîãåíåðàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíóu ê (t) = U 0 e -at sin w 0t ,ãäå a = G 2C êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîíòóðà; U0 íà÷àëüíîåçíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé, âûçâàííîå ôëóêòóàöèÿìè òîêà âòðàíçèñòîðå; w0 ÷àñòîòà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â êîíòóðå.Ââåäåì îáîçíà÷åíèåU mê (t) = U 0 e -at(15.25)è ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ u(t):u ê (t) = U mê (t) sin w 0t,405ãäå Um(t) îïèñûâàåò çàêîí èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû àâòîêîëåáàíèéâî âðåìåíè.Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (15.25), íàéäåì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ àìïëèòóäûdU mê (t)= -aU 0e -at = -aU mê (t).(15.26)dtÏåðåïèøåì (15.26) â ïðèðàùåíèÿõDU mê (t) = -aU mê (t)Dt.(15.27)Ïóñòü îòðåçîê âðåìåíè Dt = T, òîãäà DU mê ( t ) = -aTU mê (t) .Åñëè aT = 1, òî óñëîâèå DU m = U m âûïîëíÿåòñÿ.
×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, âûðàçèì äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ aT ïàðàëëåëüíîãî êîíòóðà÷åðåç äîáðîòíîñòü Q:aT =G 2p G p LCLp×== pG= pGr = ,2C w 0CCQ(15.28)ãäå Q = 1 ( Gr ) äîáðîòíîñòü êîíòóðà; r õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà.Äëÿ êîíòóðà âûñîêîé äîáðîòíîñòè (Q ? 1) äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ aT = 1, ïîýòîìóDU mê = U mê ,(15.29)â ÷åì è òðåáîâàëîñü óáåäèòüñÿ.Âîñïîëüçóåòñÿ óñëîâèåì (15.29) äëÿ ïåðåõîäà îò ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà (15.8) ê óêîðî÷åííîìó.Ïåðåïèøåì (15.29), ðàçäåëèâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íåðàâåíñòâàíà ïåðèîä êîëåáàíèéDU mêU mê U mêw 0==.TT2pÏåðåéäåì ñíîâà ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðèðàùåíèÿì àìïëèòóäûêîëåáàíèé, ïîëàãàÿ, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé äîñòàòî÷íî ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñî âðåìåíåì èçìåíåíèÿ àìïëèòóäûdU mê<<U mêw 0.(15.30)dt2pÍåðàâåíñòâî (15.30) åùå áîëåå óñèëèòñÿ, åñëè ïðàâóþ ÷àñòü óìíîæèì íà 2p:dU mê<< w 0U mê .(15.31)dtÏðîäèôôåðåíöèðîâàâ (15.31), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî äëÿ 2-îéïðîèçâîäíîéd 2U mêdU mê<< w 0.(15.32)dt 2dt406Âîñïîëüçóåìñÿ (15.31) è (15.32) äëÿ ïåðåõîäà îò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà (15.8), ñîñòàâëåííîãî îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå uê(t), ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, ñîñòàâëåííîìó îòíîñèòåëüíî îãèáàþùåé àìïëèòóäû ýòîãîíàïðÿæåíèÿ Umê(t).
Òåì ñàìûì óäàñòñÿ ïîíèçèòü ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.Âû÷èñëèì ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå âûðàæåíèÿ uê(t) == U mê (t) sin w 0t è ó÷òåì íåðàâåíñòâà (15.31) è (15.32):du ê (t) dU mê (t)=sin w 0t + U mê (t)w 0 cos w 0t »dtdt» U mê (t)w 0 cos w 0t;(15.33)dU mê (t)d 2u ê (t) d 2U mê (t)=sin w 0t +w 0 cos w 0t +dt 2dt 2dtdU mê (t)+w 0 cos w 0t - U mê (t)w 02 sin w 0t »(15.34)dtdU mê (t)»2w 0 cos w 0t - U mê (t)w 02 sin w 0t.dtÏîäñòàâèì (15.33) è (15.34) â óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà (15.8):2dU mê (t)w 0 cos w 0t - U mê (t)w 02 sin w 0t +dtMS(u îñ ) öæU mê (t)w 0 cos w 0t + U mê (t)w 02 sin w 0t = 0.+ ç 2a ÷LCèøÏîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ èìååì îêîí÷àòåëüíî:dU mê (t)dtMS(u îñ ) öæ+ça ÷ U mê (t) = 0.2LCèø(15.35)Ïîëó÷èëè òàê íàçûâàåìîå «óêîðî÷åííîå» íåëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-ãî ïîðÿäêà äëÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿàìïëèòóäû êîëåáàíèé, èëè óðàâíåíèå Âàí-äåð-Ïîëÿ.Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå óñëîâèé ìåäëåííîñòè èçìåíåíèÿàìïëèòóäû ïîçâîëèëî ïåðåéòè îò ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå uê ê àìïëèòóäíûì Umê è ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (15.35) ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ íåëèíåéíûì, òàê êàê â íåãî âõîäÿò ìãíîâåííàÿ êðóòèçíà ÂÀÕ, çàâèñÿùàÿ îò ìãíîâåííîãî íàïðÿæåíèÿ uîñ. Îäíàêî, îò ìãíîâåííîé êðóòèçíû ìîæíî ïåðåéòè ê ñðåäíåé êðóòèçíå â ñèëó òîãî, ÷òî â âûñîêîäîáðîòíîì êîíòóðå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âûñøèìè ãàðìîíèêàìè.Òîãäà óðàâíåíèÿ (15.35) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäådU mê (t)dtMSñðæ+ça 2LCèö÷ U mê = 0.ø(15.36)407Ýòî óðàâíåíèå, ñòðîãî ãîâîðÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì (òàêêàê ñðåäíÿÿ êðóòèçíà çàâèñèò îò àìïëèòóäû); îäíàêî â òàêîìóðàâíåíèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå è ïîëó÷èòü åãî ðåøåíèå.Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (15.36) ïðåæäå âñåãî íóæíî âûáðàòüâûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåé êðóòèçíû. Åñëè àïïðîêñèìèðîâàòü ÂÀÕòðàíçèñòîðà ïîëèíîìîì2iê = a0 + a1 ( u oñ - U 0 ) + a 2 ( u oñ - U 0 ) + Kè ñ÷èòàòü, ÷òî u oc = U 0 + U moc cos wt , òî ìîæíî íàéòè àìïëèòóäóïåðâîé ãàðìîíèêè òîêà3535a 3U ma5U moc +oc + K48è ñðåäíþþ êðóòèçíó ïî ïåðâîé ãàðìîíèêåIm1 ( U moc ) = a1U moc +Sñð ( U moc ) =35Im12= a1 + a 3U ma5U m4 oc + K .oc +48U mocÝòî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåé êðóòèçíû ïðèãîäíî äëÿ ðàñ÷åòàïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâòîãåíåðàòîðå êàê â ìÿãêîì, òàê è â æåñòêîì ðåæèìàõ, íî ñëîæíîñòü ðàñ÷åòîâ ïðè ýòîì ðåçêî âîçðàñòàåò.Ïîýòîìó äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóþò íå ïîëèíîìèàëüíóþàïïðîêñèìàöèþ, à àïïðîêñèìàöèþ ãèïåðáîëè÷åñêèì òàíãåíñîì.Ñðåäíþþ êðóòèçíó òðàíçèñòîðà äëÿ ìÿãêîãî ðåæèìà ñàìîâîçáóæäåíèÿ ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ôóíêöèåéSñð = S0th aU mêaU mê(15.37),ãäå S0 íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êðóòèçíû S(0); a = S Ií , S çíà÷åíèå êðóòèçíû â ðàáî÷åé òî÷êå, Ií òîê íàñûùåíèÿ òðàíçèñòîðà.Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ êðóòèçíû (15.37) â óêîðî÷åííîåóðàâíåíèå äëÿ îãèáàþùåé àìïëèòóäû êîëåáàíèé àâòîãåíåðàòîðà(15.36) è âûíîñÿ êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ a çà ñêîáêè, ïîëó÷èì:dU mê (t)dtæth aU mê (t) ö+ a ç1 - m÷ U mê (t) = 0,aUt()mêèø(15.38)ãäå m = M M êð ; M êð = LG S0 .Ïîëó÷èì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.38) äëÿ äâóõ îòðåçêîâ âðåìåíè:0 „ t „ t1 ðåæèì ìàëûõ àìïëèòóä, êîãäà àðãóìåíò aU mê „ 0,5 . ýòî ñëó÷àå th aU mê » aU mê è óðàâíåíèå (15.38) áóäåò ëèíåéíûìîäíîðîäíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ïîðÿäêà:dU mê (t)dt408+ a ( 1 - m ) U mê (t) = 0;0 „ t „ t1.(15.39)t1 „ t „ t óñò ðåæèì áîëüøèõ àìïëèòóä aU mê … 1,5 , òîãäàth aU mê » 1 è (15.38) áóäåò ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ïîðÿäêàdU mê (t)dtmöæ+ a ç U mê (t) - ÷ = 0;a øèt1 „ t „ t óñò.(15.40)Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.39) èìååò âèä:U mê (t) = U mê (0)e -a (1- m)t ;0 „ t „ t1,(15.41)ãäå Umê(0) íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ìîìåíòt = 0 (íà ïåðâîì èíòåðâàëå âðåìåíè 0 „ t „ t1 ), îáóñëîâëåííîåôëóêòóàöèÿìè â òðàíçèñòîðå.
Èç (15.41) âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, åñëè m > 1, ò. å. M > Mêð èëèM êð L > G S .Äëÿ ðåøåíèÿ (15.40) ïðîâåäåì ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è ïðîèíòåãðèðóåìmöæd ç U mê (t) - ÷ta øè= - ò a dt; t1 „ t „ t óñò ,òmU (t1 )t1U mê (t) amU mê (t) a = -a (t - t ); t „ t „ t ,ln11óñòmU mê (t1) aU (t)mömæU mê (t) = ç U mê (t1) - ÷ e -a (t -t1) + ;a øaèt1 „ t „ t óñò ,(15.42)ãäå Umê(t1) íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé íà âòîðîìèíòåðâàëå t1 „ t „ t óñò , ðàâíîå êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ àìïëèòóäû íàïåðâîì èíòåðâàëå U mê (t1) = U mê (0)e -a (1- m)t1 .Ïðè t ® ¥ ïîëó÷èì óñòàíîâèâøååñÿ ðåøåíèå äëÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèéU mê (t óñò ) =mM 1 MI=× =S0 í .aM êð aLSG(15.43)Èç (15.43) âèäíî, ÷òî óñòàíîâèâøååñÿ êîëåáàíèå U mê (t óñò ) íåçàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, à çàâèñèò îò âåëè÷èíû îáðàòíîéñâÿçè M L , ïðîâîäèìîñòè êîíòóðà G è õàðàêòåðèñòèê òðàíçèñòîðà.Âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå íàõîäèòñÿ èçóñëîâèÿ, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé èçìåíÿåòñÿ îò Umê(0) äî 0,95îò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåøåíèÿ, ò.
å. U mê (t óñò ) = 0,95 m a . Îòêóäàèìååì4090,95m æmöm= ç U mê (t1) - ÷ e -a (tóñò -t1) + .a èa øa(15.44)Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé Umê(t1) íàéäåì èçâûðàæåíèÿ ñðåäíåé êðóòèçíû íà ïåðâîì èíòåðâàëå Sñð = S è íàâòîðîì èíòåðâàëå Sñð = S ( aU mê (t1) ) . Îòñþäà:U mê (t1) = U mê (0) e -a (1- m)t1 =1.a(15.45)Èç (15.45) íàõîäèìt1 =ln aU mê (0)a(1 - m).(15.46)Ïîäñòàâèâ (15.46) â (15.44), ïîëó÷èì0,95m æ 1 m ö -a (tóñò -t1) m= ç - ÷e+ ;a èa a øaln0,05m= -a (t óñò - t1).1- mÎòêóäà íàõîäèìt óñò - t1 =t óñò =1m -1ln 20;am1m -11ln 20ln aU mê (0).ama(m - 1)(15.47)Èç (15.47) âèäíî, ÷òî äëèòåëüíîñòü óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé tóñòçàâèñèò îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû Umê(0), êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿa, âåëè÷èíû îáðàòíîé ñâÿçè m è ïàðàìåòðà òðàíçèñòîðà a. Ñ óâåëè÷åíèåì íà÷àëüíîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé Umê(0) âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ óìåíüøàåòñÿ.Ïðèìåð.
Ðàññ÷èòàòü âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå äëÿñëåäóþùèõ óñëîâèé: âåëè÷èíà âçàèìíîé èíäóêöèè â äâà ðàçà áîëüøå êðèòè÷åñêîé m = M M êð = 2 ; íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â 100 ðàçìåíüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ñåðåäèíå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà Um ê(0) == 0,01 a , äîáðîòíîñòü êîíòóðà Q = 100.Âûðàçèì â (15.47) êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ a êîíòóðà ÷åðåç äîáðîòíîñòüQ: a = w 0 ( 2Q ) , òîãäà èç (15.47) ïîëó÷èì2Q æ0,01 ö 2Q( ln10 - ln 0,01 ) =ç ln10 - ln a÷=w0 èa ø w0t óñò2Q102Q2QT=ln=× 3 ln10 =× 6,9 » 2QT èëè» 2Q.w00,01 w 02pTt óñò =Ïðè Q = 100 óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò çà 200 ïåðèîäîâ.410Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1. Êàêèì îáðàçîì â àâòîãåíåðàòîðå (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
