Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a1, a2, ..., aN, ïðè êîòîðûõ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé F(x) îò x(õ) â òî÷êàõ x1, x2, ...,xM (M > N) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé.Ìèíèìèçàöèÿ äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:¶L ¶ a k = 0;( k = 1,K , N ) .Îòìåòèì, ÷òî çàäàííàÿ è àïïðîêñèìèðóþùèå ôóíêöèè ìîãóòáûòü íå òîëüêî âåùåñòâåííûìè, íî è êîìïëåêñíûìè, ÷òî ïîçâîëÿåòîäíîâðåìåííî àïïðîêñèìèðîâàòü êàê À×Õ, òàê è Ô×Õ.Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé ðàçðàáîòàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõäëÿ èñïîëüçîâàíèÿ èõ íà ÝÂÌ.Çàìåòèì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ÷åòêèõ ðåêîìåíäàöèé ïî ïðèìåíåíèþ òîãî èëè èíîãî ìåòîäà àïïðîêñèìàöèè. Çà÷àñòóþ âûáîð ìåòîäàçàâèñèò îò ñëîæíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè (àíàëèòè÷åñêîãî èëè ÷èñëåííîãî), îò êîíêðåòíîãî ïðèìåíåíèÿ ñèíòåçèðîâàííîé öåïè è ò.
ï.16.6. Çàäà÷à ðåàëèçàöèè â ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.Ñèíòåç ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâÈäåÿ ëþáîãî ìåòîäà ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêîâ çàêëþ÷àåòñÿ âòîì, ÷òî íàõîäèòñÿ ñïîñîá ðàçëîæåíèÿ çàäàííîé îïåðàòîðíîéôóíêöèè íà áîëåå ïðîñòûå ôóíêöèè, ïî êîòîðûì óæå ëåãêî âîññòàíîâèòü ñõåìó. Íàïðèìåð, ïóñòü âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéZ( p) =a1p + a0.b1pÐàçäåëèâ ïî÷ëåííî ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîëó÷èì:Z( p) =a11+.b1 p ( b1 a0 )425Èç ýòîé çàïèñè î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñõåìà ñîñòîèò èçïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòîðà a1 / b1 â åìêîñòè b1 / a0.Íàïîìíèì îáùèå ñâîéñòâà ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ (ñì.§ 4.5). Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç òîãî ôàêòà, ÷òî LÑ-äâóõïîëþñíèêè íå ìîãóò ðàññåèâàòü ýíåðãèþ, ïîýòîìó ïðè p = jw âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè ðàâíà íóëþRe [ Z ( jw ) ] = 0; Re [ Y ( jw ) ] = 0.Òàêèì îáðàçîì, ñîïðîòèâëåíèå (ïðîâîäèìîñòü) äâóõïîëþñíèêàÿâëÿåòñÿ ìíèìîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû, à íóëè è ïîëþñû ñîîòâåòñòâóþùåé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè ëåæàò íà ìíèìîé îñè, ÷åðåäóþòñÿè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè, à âû÷åòû â ïîëþñàõ ïîëîæèòåëüíûìè.Òàê êàê êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðíîé âõîäíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿâåùåñòâåííûìè, òî íóëè è ïîëþñû ñîñòàâëÿþò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ïàðû.
Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå, îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå ðåàêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZ( p) =H ( p - jw1 ) ( p + jw1 ) ( p - jw 3 ) ( p + jw 3 ) K ( p - jw 2n -1 ) ( p + jw 2n -1 ).p ( p - jw 2 ) ( p + jw 2 ) ( p - jw 4 ) ( p + jw 4 ) K ( p - jw 2n - 2 ) ( p + jw 2n - 2 )Îáúåäèíÿÿ ïîïàðíî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå íóëè è ïîëþñûïîëó÷àåì (ñì. òàáë. 4.1):Z( p) =()( p 2 + w23 ) K ( p 2 + w 22n -1 ) .p ( p 2 + w 22 )( p 2 + w 24 ) K ( p 2 + w 22n - 2 )H p 2 + w 21(16.15)Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåäîâàíèå íóëåé è ïîëþñîâ îòîáðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîìw 1 < w 2 < w 3 < K < w 2n - 2 < w 2n -1.(16.16)Åñëè çàäàííàÿ ôóíêöèÿ Z(p) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíàóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñõåìû äâóõïîëþñíèêîâ ñ ðåàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ýëåìåíòîâ, âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ çàäàííîé ôóíêöèåé Z(p). ðåçóëüòàòå ñèíòåçà ÷àñòî ïîëó÷àþò äâóõïîëþñíèêè â âèäå êàíîíè÷åñêèõ ñõåì Ôîñòåðà èëè Êàóýðà (ïîäîáíûå ñõåìû ñóùåñòâóþò è äëÿ RLC-äâóõïîëþñíèêîâ).Äëÿ èëëþñòðàöèè èäåè ñèíòåçà îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåìòîëüêî ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ.Ìåòîä Ôîñòåðà. Ðàññìîòðèì ìåòîä ñèíòåçà LC-äâóõïîëþñíèêîâ, ïðåäëîæåííûé Ôîñòåðîì.
Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó ôóíêöèþñîïðîòèâëåíèÿ ëèáî ôóíêöèþ ïðîâîäèìîñòè, êàê ëþáóþ äðîáíîðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äðîáåé(âñïîìíèì, íàïðèìåð, òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ).426LaCaL2L 2n-2C2C 2n-2Ðèñ. 16.4Äëÿ äâóõïîëþñíèêîâ, ïîñòðîåííûõ ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðà,íàèáîëåå îáùåé ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ.
16.4. Îñòàëüíûå ñõåìû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç íåå ïóòåì «óäàëåíèÿ» ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ Là è Ñà.Ìîæíî ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z(p),îòðàæàþùåå ñòðóêòóðó ðèñ. 16.4:1pp+++K+pCa ( p 2 + w 22 ) C2 ( p 2 + w 24 ) C4(16.17)p.+ 2( p + w 22k ) C2kZ ( p ) = pLa +Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûå ñîîòâåòñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ýëåìåíòîâ Là è Ñà, îñòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ïàðàëëåëüíûõ êîíòóðîâ ñ ýëåìåíòàìè L2 è Ñ2, L4 è Ñ4 è ò.
ï.Ñóùåñòâóþò ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýëåìåíòîâ ýòîé ñõåìû. Ïðèâåäåì èõ áåç äîêàçàòåëüñòâà:(p 2 + w 22k ) Z ( p )Z( p) 11;. (16.18)La = lim= lim Z ( p ) × p;= limp ®¥pCa p®0C2k p 2 ®w22kpÏðîöåäóðà ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêîâ ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðàñâîäèòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ê ïðåäñòàâëåíèþ çàäàííîé ðàöèîíàëüíîéäðîáè Z(p) â âèäå (16.17) è ðàñ÷åòó ýëåìåíòîâ ïî ôîðìóëàì(16.18). Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå áóäåò ñóùåñòâîâàòü â âûðàæåíèè (16.17) òîãäà, êîãäà çàäàííàÿ äðîáü Z(p) íåïðàâèëüíàÿ,ò. å. ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áóäåò íà åäèíèöó ïðåâûøàòü ñòåïåíü çíàìåíàòåëÿ. ×èñëî ýëåìåíòîâ äâóõïîëþñíèêà ñîîòâåòñòâóåò íàèâûñøåé èç ñòåïåíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ çàäàííîé äðîáè Z(p).Ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ çíàìåíàòåëÿ èç (16.17) èñ÷åçàåò âòîðîå ñëàãàåìîå 1/ (ðÑà).Ïðèìåð.
Äàíî âûðàæåíèå10 6 × p 3 + 1,5 × 1014 pZ(p) = 4.p + 2 × 10 8 p 2 + 0,51 × 1016Îñóùåñòâèì ñèíòåç äâóõïîëþñíèêà ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ Z(p) ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé. Ïðåäñòàâèì Z(p) â âèäå (16.17):427Z1LáCáL1C1L3Z3L 2n-1Y2C 2n-1C3Z 2n-1Y4Y 2nZÐèñ. 16.5Ðèñ.
16.6Z(p) =(pp2+w12+) C1 ( pp2+ w 23 ) C3(16.17 à).Ðàñ÷åò ýëåìåíòîâ ïðîèçâåäåì ïî ôîðìóëàì (16.18): Ñ1 = 1,165 ìêÔ; Ñ3 =22= 7,0 ìêÔ; L1 = 1 /( w2 Ñ1) = 28 ,6 ìÃí; L3 = 1 /( w4 Ñ3) = 0 ,84 ìÃí.Ñõåìà äâóõïîëþñíèêà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ (íàèâûñøàÿ ñòåïåíüäðîáè 4): ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ êîëåáàòåëüíûõêîíòóðîâ ñ ýëåìåíòàìè L1, Ñ1 è L3, Ñ3. Îòñóòñòâèå â ñõåìå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè Là îáóñëîâëåíî òåì ôàêòîì, ÷òî äðîáü Z(p) ïðàâèëüíàÿ. Âñëåäñòâèå÷åòíîñòè ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ â ñõåìå îòñóòñòâóåò êîíäåíñàòîð Ñà.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ñèíòåç äâóõïîëþñíèêîâïî âòîðîé ôîðìå Ôîñòåðà.
 ýòîì ñëó÷àå íàèáîëåå îáùåé ÿâëÿåòñÿñõåìà íà ðèñ. 16.5. Âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(p) òàêîãî äâóõïîëþñíèêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé ñëàãàåìûõ, îïèñûâàþùèõ ïðîâîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ êîíòóðîâ è ýëåìåíòîâ Lá è Cá. Ïðèñèíòåçå äâóõïîëþñíèêîâ çàäàííàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(p) ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ñóììó óêàçàííûõ ñëàãàåìûõ.Ìåòîä Êàóýðà.  òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ (ñì. ãë. 17)íàõîäèò ïðèìåíåíèå ñèíòåç ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ ïî ñõåìàìÊàóýðà. Íàèáîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ñõåìû íà ðèñ. 16.6.
Èç íèõïîëó÷àþòñÿ îñòàëüíûå ðàçíîâèäíîñòè äâóõïîëþñíèêîâ. Âûðàæåíèÿâõîäíûõ ñîïðîòèâëåíèé äëÿ ýòèõ ñõåì ìîæíî çàïèñàòü â âèäå òàêíàçûâàåìûõ ëåñòíè÷íûõ äðîáåé. Òàê, â ïåðâîé ñõåìå Êàóýðà (ëåâàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, à) êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè L1 ñîåäèíåíàïîñëåäîâàòåëüíî ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ ñõåìû, ïîýòîìó Z(p) = pL1 ++ Z2(p). Îñòàâøàÿñÿ ñïðàâà îò êàòóøêè ÷àñòü ñõåìû ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðà è ÷àñòè ñõåìû ïðàâååòî÷åê ab.
Ïîýòîìó Y2 (p) = 1/ Z2 (p) = pC2 + Y3 (p). Ðàññóæäàÿïîäîáíûì îáðàçîì, ìîæíî ïðèéòè â èòîãå ê ñëåäóþùåé çàïèñè:Z ( p ) = pL1 +1pC2 +1pL3 +.(16.18)1pC4 + 1 KÄðîáü âèäà (8.19) íàçûâàåòñÿ ëåñòíè÷íîé. Ñèíòåç äâóõïîëþñíèêîâ ïî ïåðâîé ñõåìå Êàóýðà ñîñòîèò â ðàçëîæåíèè çàäàííîéôóíêöèè Z(p) â ëåñòíè÷íóþ äðîáü (16.18).
Êîýôôèöèåíòû ïðè ðÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ýëåìåíòîâ ñõåìû.428L1 a L3C2áC1L n-1C4L2CnC n-1C3à)L n-2L4Lná)Ðèñ. 16.7 âèäå ëåñòíè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü è âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå âòîðîé ñõåìû Êàóýðà (ïðàâàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, á). ýòîé äðîáè ïåðâûé è îñòàëüíûå ýëåìåíòû áóäóò ñëåäóþùåãî âèäà: 1/ ( pÑ1 ), 1/ ( pL2 ), 1/ ( pÑ3 ) è ò.
ä.Ïðèìåð. Îñóùåñòâèì ñèíòåç äâóõïîëþñíèêà ïî âûðàæåíèþ Z(p) èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà â âèäå ïåðâîé ñõåìû Êàóýðà. Çàäàííàÿ äðîáü èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê (íàèâûñøàÿ èç ñòåïåíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ðàâíà 4).Ðàçëîæåíèå åå â öåïíóþ äðîáü îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì äåëåíèåì*ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ íà ïîëèíîì ÷èñëèòåëÿ , ïîñëåäíåãî íà îñòàòîê îòïåðâîãî äåëåíèÿ, îñòàòêà îò ïåðâîãî äåëåíèÿ íà îñòàòîê îò âòîðîãî äåëåíèÿè ò.ä.:48 21610 6 p 3 + 1,5 × 1014 p1) p + 2 × 10 p + 0,51 × 1010 -6 pp 4 + 1,5 × 10 8 p 20,5 × 10 8 p 2 + 0,51 × 10162)-10 6 p 3 + 1,5 × 1014 p630,5 × 10 8 p 2 + 0,51 × 10182 × 10 -2 p1410 p + 1,02 × 10 p0,48 × 1014 p3)-0,5 × 10 8 p 2 + 0,51 × 101680,5 × 10 p0,48 × 1014 p1,04 × 10 -6 p20,51 × 10164)-0,48 × 1014 p0,51 × 10160,94 × 10 -2 p0,48 × 1014 p0. ðåçóëüòàòå íàõîäèòñÿ öåïíàÿ äðîáü:Z(p) =*11-610 p +2 × 10 -2 p +.11,04 × 10 p + 1 0,94 × 10 -2 p-6 ñëó÷àå íåïðàâèëüíîé äðîáè íà÷èíàþò ñ äåëåíèÿ ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ íà ïîëèíîìçíàìåíàòåëÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âûäåëÿåòñÿ ïåðâûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ pL1.429L2L4C1C3Ðèñ.16.8Ýòîé äðîáè ñîîòâåòñòâóåò ðåàêòèâíûé äâóõïîëþñíèê, ñõåìà êîòîðîãî ïðèâåäåíà íà ðèñ.
16.8; îíà ñîäåðæèò ÷åòûðå ýëåìåíòà Ñ1 = 1,0 ìêÔ; L2 = 20 ìÃí;Ñ3 = l,04 ìêô; L4 =9,4 ìÃí.Ïðèìåð. Íàéòè ëåñòíè÷íóþ ñõåìó, ðàññ÷èòàòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ, åñëè åå íîðìèðîâàííîåñîïðîòèâëåíèå ðàâíîZ(p) =4p 5 + 9 p 3 + 4p.4p 4 + 5p 2 + 1Òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ áîëüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ, òî âîçìîæíî âûïîëíèòü äåëåíèå äàííûõ ïîëèíîìîâ:4p 5 + 9 p 3 + 4p 4p 4 + 5p 2 + 1- 5.4p + 5p 3 + pp4p 3 + 3p ðåçóëüòàòå òàêîãî äåëåíèÿ ïîëó÷àåì ôîðìóëó4p 3 + 3pZ(p) = p +.4p 4 + 5p 2 + 1Äàëüíåéøåå äåëåíèå íåâîçìîæíî, òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà îñòàòêà ìåíüøå ñòåïåíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ. Äëÿ ïðîäîëæåíèÿ äåëåíèÿ ïðåîáðàçóåì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå:Z(p) = p +1.4p + 5p 2 + 14p 3 + 3p4(16.19)×èñëèòåëü ïîëó÷åííîé â îñòàòêå äðîáè èìååò ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áîëüøåñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ è äåëåíèå âîçìîæíî:-4p 4 + 5p 2 + 1 4p 3 + 3p.4p 4 + 3p 2p2p 2 + 1Ñ ó÷åòîì äàííîãî øàãà ôîðìóëà (16.19) ïðèíèìàåò âèäZ(p) = p +1.2p 2 + 1p+4p 3 + 3pÏðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå òàê, ÷òîáû èìåëàñü âîçìîæíîñòüäàëüíåéøåãî äåëåíèÿ:Z(p) = p +11p+34p + 3p2p 2 + 1.Ïðîäîëæàÿ äàííóþ ïðîöåäóðó, â êîíå÷íîì èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:430L 1= 1L 3= 2C 1= 5L 5= 1C 4= 2C 2= 1C 3= 3L 2= 3Ðèñ.
16.9L 4= 1Ðèñ. 16.10Z(p) = p +1.1p+2p +1p+1pÏåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè ñ L1 == l, âòîðîå ïðîâîäèìîñòü åìêîñòè ñ Ñ2 = 1, òðåòüå ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè ñ L3 = 2, ÷åòâåðòîå ñîïðîòèâëåíèå åìêîñòè ñ Ñ4 = 2 è ïÿòîå ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè ñ L5 = 1. Ïîäñòàíîâêà äàííûõ ýëåìåíòîâ â ñõåìóðèñ. 16.6 äàåò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêà (ðèñ. 16.9).Ïðèìåð. Ïî ôóíêöèè íîðìèðîâàííîãî ñîïðîòèâëåíèÿ45 p 4 + 27p 2 + 1Z(p) =60 p 3 + 5 pñèíòåçèðîâàòü ñõåìó äâóõïîëþñíèêà â âèäå ëåñòíè÷íîé ñòðóêòóðû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
