Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 71

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 71)

Òàê ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ÷åòûðåõïîëþñíèêè, íå ñîäåðæàùèå âçàèìíûõ èíäóêòèâíîñòåé è èìåþùèå îáùèéïðîâîä ìåæäó âõîäíûì è âûõîäíûì çàæèìàìè, ò. å. òðåõïîëþñíèêè èëè íåóðàâíîâåøåííûå ÷åòûðåõîëþñíèêè. Òàêèå öåïè äîëæíûäîïîëíèòåëüíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì Ôèàëêîâà—Ãåðñòà, ôîðìóëèðóåìûì ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ òðåõïîëþñíûõ öåïåé áåçâçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè êîýôôèöèåíòû ÷èñëèòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè íå îòðèöàòåëüíû è íå ïðåâûøàþò ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ çíàìåíàòåëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îòñóòñòâóþòíóëè íà ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè.415Äàëüíåéøèå îãðàíè÷åíèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà ñòðóêòóðó ÷åòûðåõïîëþñíèêà, ïðèâîäÿò ê äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì íà ïîëîæåíèå íóëåé.

Òàê, íóëè ëåñòíè÷íûõ ñõåì ìîãóò íàõîäèòüñÿ òîëüêîâ ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð. Îãðàíè÷åíèÿ íàñâîéñòâà ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé âûçûâàþòñÿ òàêæå âèäîì ýëåìåíòîâ. Òàê, â RÑ-öåïÿõ ïîëþñû ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ òîëüêî íàîòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè.  ëåñòíè÷íûõ RÑ-öåïÿõ íàîòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè ðàñïîëàãàþòñÿ êàê ïîëþñûòàê è íóëè.Óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè ìîäóëÿ è àðãóìåíòà êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Åñëè ïåðåìåííàÿ ð ïðèíèìàåòòîëüêî ìíèìûå çíà÷åíèÿ ð = jw, òî îïåðàòîðíûå ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â êîìïëåêñíûå ôóíêöèè âèäà:H ( jw ) =nan ( jw ) + an -1 ( jw )bm ( j w )mn -1+ bm -1 ( jw )231+ K + a1 ( jw ) + a0m -11+ K + b1 ( jw ) + b0,4Ó÷èòûâàÿ, ÷òî j = —1, j = — j, j = 1 è ò, ä., êîìïëåêñíóþïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.§ 7.4):H ( jw ) =P1 ( w ) + jP2 ( w )Q1 ( w ) + jQ2 ( w ),(16.1)ãäåP1 ( w ) = a0 - a 2w 2 + a 4w 4 - K ;(16.2)P2 ( w ) = a1w - a 3w 3 + a5w 5 - K ;(16.3)Q1 ( w ) = b0 - b2w 2 + b4w 4 - K ;(16.4)Q2 ( w ) = b1w - b3w 3 + b5w 5 - K ;(16.5)Ëþáàÿ êîìïëåêñíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå(ñì.

§ 7.4)jj wH ( jw ) = H ( j w ) e ( ) ,ãäå | H(jw) | – À×Õ, à j(w) – Ô×Õ öåïè.Ìîäóëü ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(jw) ñîãëàñíî (7.43)H ( jw ) =P12 ( w ) + P22 ( w )Q12 ( w ) + Q22 ( w ).(16.6) ñèíòåçå öåïåé ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ïîíÿòèåì êâàäðàòà ìîäóëÿ2ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè | H(jw) | . Ýòî ïîçâîëÿåò èçáàâèòüñÿ îò èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (16.1)—(16.4) ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè â îáùåìâèäå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñëåäóþùèì îáðàçîì (7.45):416H ( jw )2=P12 ( w ) + P22 ( w )Q12 ( w ) + Q22 ( w )=cn + cn -1w 2 + cn - 2w 4 + K + c0w 2ndm + dm -1w 2 + dm - 2w 4 + K + d0w 2m.Èç ÓÔÐ îïåðàòîðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò ÓÔÐ êâàäðàòà ìîäóëÿïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè:21) | H(jw) | – ÷åòíàÿ, äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ;2) n  m;3) ïîëèíîìû ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íåîòðèöàòåëüíû íà âåùåñòâåííîé ïîëóîñè.Íàéäåì àðãóìåíò êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè.

Èç(16.1) ñëåäóåò, ÷òîH ( jw ) =òîãäàãäå( P1Q1 + P2Q2 ) + j ( P2Q1 - P1Q2 )P12 + Q22,j ( w ) = arctg D ( w ) ,D( w) =P2Q1 - Q2 P1.P1Q1 + P2Q2Ôóíêöèÿ D(w) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé óãëà èëè òàíãåíñ-ôóíêöèåé. ÓÔÐ òàíãåíñ-ôóíêöèè ñëåäóåò èç ÓÔÐ îïåðàòîðíûõ ôóíêöèé. Òàíãåíñ-ôóíêöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1) D(w) – íå÷åòíàÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ;2) êîýôôèöèåíòû D(w) äîëæíû áûòü âåùåñòâåííûìè.Óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè âðåìåííûõ ôóíêöèé öåïè.Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíî ðåøàåìîé çàäà÷è,ýëåêòðè÷åñêèå öåïè óäîáíî îïèñûâàòü ëèáî ÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ëèáî âðåìåííûìè. Òàê, ïðè ïîñòðîåíèè ìíîãîêàíàëüíûõ ñèñòåì ïåðåäà÷è ñ ÷àñòîòíûì ðàçäåëåíèåì êàíàëîâ óäîáíîïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, à â öèôðîâûõ ñèñòåìàõ ñâÿçè, ãäå ïðèìåíÿåòñÿ âðåìåííîå ðàçäåëåíèå êàíàëîâ, óäîáíîîïèñûâàòü ýëåêòðè÷åñêèå öåïè âðåìåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.

Êâðåìåííûì õàðàêòåðèñòèêàì îòíîñÿòñÿ (ñì. § 8.1) ïåðåõîäíàÿ g(t)è èìïóëüñíàÿ h(t) õàðàêòåðèñòèêè. Íàïîìíèì, ÷òî ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÷èñëåííî ðàâíà îòêëèêó (ðåàêöèè) öåïè íà åäèíè÷íîåâîçäåéñòâèå 1(t), â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæåò áûòü ëèáî òîê, ëèáîíàïðÿæåíèå. Îòêëèê òàêæå ìîæåò áûòü ëèáî òîêîì, ëèáî íàïðÿæåíèåì, ïîýòîìó, êàê è â ñëó÷àå ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñóùåñòâóåò ÷åòûðå òèïà ïåðåõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê (ãë.

8) gu (t), gi (t),gY (t), gz (t). Ïåðâûå äâå õàðàêòåðèñòèêè ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè, òðåòüÿ èìååò ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, à ÷åòâåðòàÿ – ñîïðîòèâëåíèÿ.Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÷èñëåííî ðàâíà îòêëèêó öåïè íàd-ôóíêöèþ. Ñóùåñòâóåò òàêæå ÷åòûðå òèïà èìïóëüñíûõ õàðàê417òåðèñòèê (ãë. 8): hu (t), hi (t), hY (t), hz (t). Êàê ïîêàçàíî â ãë. 8.èìïóëüñíàÿ è ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêè âûðàæàþòñÿ îäíà ÷åðåç äðóãóþ, ïîýòîìó îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè (ñì.§ 8.1). Äëÿ îïèñàíèÿ öåïè äîñòàòî÷íî çíàòü îäíó èç íèõ.

Ïðèìåíåíèå òîãî èëè äðóãîãî îïèñàíèÿ öåïè çàâèñèò îò êîíêðåòíîéçàäà÷è.Óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè äàííûõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóåò èç ñâîéñòâ îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñó ïåðåõîäíîé è èìïóëüñíîéõàðàêòåðèñòèê èìååò ñîîòâåòñòâåííî âèäg (t ) 1H ( p ); h ( t )  H ( p ),pòî g(t) è h(t) ëåãêî íàéòè ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ (§ 7.2).Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî g(t) ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ âèäàAe -at ;A1e -at cos w t + A2 e -at sin w t;( B1 + B2t + K + Bst s -1 ) e -at ;üïïý (16.7)ï-at ïs -1s -1( C1¢ cos w t + C1¢¢ sin w t + K + C¢st cos w t + C¢¢st sin w t ) e . þÔóíêöèÿ h(t), êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ ñëàãàåìûõ, ìîæåò ñîäåðæàòü ñëàãàåìîå d(t) (ñì. (8.3)).Ñëàãàåìîå, ïðèâåäåííîå â ïåðâîé ñòðîêå (16.7) ñîîòâåòñòâóåòïðîñòûì âåùåñòâåííûì, âî âòîðîé ñòðîêå – ïðîñòûì êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûì, â òðåòüåé êðàòíûì âåùåñòâåííûì, à â ÷åòâåðòîé –êðàòíûì êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûì ïîëþñàì ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè Í(ð).Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü ÓÔÐ ïåðåõîäíûõ è èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê: åñëè h(t) è g(t) ìîãóòáûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóììû ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñëàãàåìûõ è ïðè ýòîì âñå êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè, àa > 0, òî h(t) è g(t) áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ÓÔÐ.Óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè âõîäíûõ ôóíêöèé (âõîäíûõ ñîïðîòèâëåíèé Z(p) è ïðîâîäèìîñòåé Y(p)).Âîçíèêàåò âîïðîñ: âñÿêîìó ëè âûðàæåíèþ Z(p) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ðåàëüíûé, ò.

e. ôèçè÷åñêè îñóùåñòâèìûé äâóõïîëþñíèê. Î÷åâèäíî, åñëè ñèíòåçèðóåòñÿ ðåàêòèâíûé äâóõïîëþñíèê,òî ôóíêöèÿ Z(p) äîëæíà îòâå÷àòü ñâîéñòâàì âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ: áûòü äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñòåïåíÿìè ÷èñëèòåëÿ èçíàìåíàòåëÿ, îòëè÷àþùèìèñÿ íå áîëåå ÷åì íà åäèíèöó; íóëè èïîëþñû ýòîé ôóíêöèè äîëæíû ÷åðåäîâàòüñÿ íà ìíèìîé îñèïëîñêîñòè ð (ñì. § 4.5).418Ïðè ñèíòåçå RLC-äâóõïîëþñíèêîâ ôóíêöèÿ Z(p) äîëæíà îáëàäàòü ñâîéñòâàìè âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòèõ äâóõïîëþñíèêîâ.Âõîäíûå ôóíêöèè òàêèõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ îòíîñÿòñÿ ê êëàññóòàê íàçûâàåìûõ ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé (ÏÁÔ),êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ:Re [Z(p)]  0 èëè Re [Y(p)]  0 ïðè a > 0.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíûå âåùåñòâåííûå ôóíêöèèâñåãäà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îòíîøåíèå äâóõ ïîëèíîìîâ Ãóðâèöà,ñòåïåíè êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ íå áîëåå, ÷åì íà åäèíèöó, ò.

e. íóëè èïîëþñû ðàñïîëîæåíû â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. Êðîìå òîãî, åñëèÏÂÔ èìååò ïîëþñû èëè íóëè íà ìíèìîé îñè (âêëþ÷àÿ ð = 0 èð = ¥), òî ýòè ïîëþñû è íóëè ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè è ïîëîæèòåëüíûìè.×àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ öåïè, ñîäåðæàùèå ýëåìåíòû òîëüêî äâóõâèäîâ: LC-, RC- è RL-öåïè. Îãðàíè÷åíèÿ íà âèä èñïîëüçóåìûõýëåìåíòîâ íàêëàäûâàþò äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âõîäíûåôóíêöèè. Òàê, íóëè è ïîëþñû âõîäíûõ ôóíêöèé LC-öåïåé íàõîäÿòñÿ íà ìíèìîé îñè è ÷åðåäóþòñÿ. Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âõîäíûå ôóíêöèè RC- è RL-öåïåé ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òîèõ íóëè è ïîëþñû íàõîäÿòñÿ íà îòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè.16.3.

Íîðìèðîâàíèå ýëåìåíòîâ è ÷àñòîòû ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷àñòî ïðèáåãàþò ê íîðìèðîâàíèþ ýëåìåíòîâ è ÷àñòîòû. Íîðìèðîâàíèå ÷àñòîòû óæå âñòðå÷àëîñüðàíåå, êîãäà ðàññìàòðèâàëèñü ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ (ãë. 4). Öåëåñîîáðàçíîñòü ïðèìåíåíèÿ íîðìèðîâàíèÿ ÿñíà èç ñëåäóþùåãî ïðèìåðà. Ïóñòü íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî RLC–5–9êîíòóðà ñ ïàðàìåòðàìè ýëåìåíòîâ L = 10 Ãí, Ñ = 10 Ô, R == 5 Îì. Äàííûé êîíòóð èìååò äîáðîòíîñòü Q = 20, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå r = 100 Îì è ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó w ð =7 –1= 10 ñ . Ïðè ðàñ÷åòå ñîïðîòèâëåíèÿ äàííîãî êîíòóðà ïðèõîäèòñÿ–97îïåðèðîâàòü ñ âåëè÷èíàìè îò 10 äî 10 , ÷òî íå âñåãäà óäîáíî.Âûïîëíèì íîðìèðîâàíèå ñîïðîòèâëåíèé è ÷àñòîòû.

Характеристики

Список файлов книги