Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

Äðóãàÿ ïîëîâèíà ïîëþñîâ, ÿâëÿÿñü çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì ïåðâîé, ðàñïîëàãàåòñÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè è îòíîñèòñÿ ê Hð (–p).Ïîñòðîåííàÿ èç ïîëþñîâ, ëåæàùèõ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôèëüòðà Áàòòåðâîðòà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé òèïà (17.1):449Hp ( p ) = H1p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0,ãäå H = 1/ e.Ïðèìåð. Íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè è ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèè ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò Áàòòåðâîðòà, óäîâëåòâîðÿþùåãî ñëåäóþùèìòðåáîâàíèÿì: Àð max = 3 äÁ; Àð min = 12,2 äÁ; fï = 159 êÃö; fç = 318 êÃö.Îïðåäåëèì íîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòó Wç = fç / fï = 2 è ïî ôîðìóëå (17.7)×êîýôôèöèåíò íåðàâíîìåðíîñòè îñëàáëåíèÿ e2 = 10 0,1 3 – 1 = 1.

Ïîðÿäîêôèëüòðà íàéäåì ñîãëàñíî (17.11):m  lg ( 10 0,1×12,2 - 1 ) ( 2 lg 2 ) = 2 .Âûáåðåì m = 2. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (17.8) è (17.9):Hp ( j W )2=1; A p = 10 lg ( 1 + W 4 ) .41+ WÍàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ôèëüòðà Hð (p). Çíà÷åíèÿ ïîëþñîâ ôóíêöèè | Hð (p) | 2 = Hð (p) Hð (–p) = 1/ (1 + ð4) âû÷èñëèì èç ôîðìóëû (17.13):p1 = 0,707 + j0,707; p2 = – 0,707 + j0,707; p3 = – 0,707 – j0,707; p4 = 0,707 –– j0,707. Ðàñïîëîæåíèå ïîëþñîâ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïîêàçàíî íàðèñ. 17.5, à.Ïî òåîðåìå Âèåòà èç ïîëþñîâ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè p2 è p3 ôîðìèðóåìïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ:Hp ( p ) =1e ( p - p2 ) ( p - p3 )=1.p + 1,41p + 12mÈñïîëüçóÿ ââåäåííîå ðàíåå îáîçíà÷åíèå Bm(W) = W ïîëèíîìàÁàòòåðâîðòà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè (17.8)è (17.9) ôèëüòðà Áàòòåðâîðòà â ñëåäóþùåé ôîðìå:üïï12 ((17.14)ý)ùA p ( W ) = ln éë 1 + e 2Bm[Íï],W û2ï22()A p W = 10 lg éë 1 + e Bm ( W ) ùû [äÁ].

ïþÔèëüòðû Áàòòåðâîðòà íàçûâàþò òàêæå ôèëüòðàìè ñ ìàêñèìàëüíî ïëîñêèì îñëàáëåíèåì â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ (ñì. ðèñ. 17.4, à).Ïîëèíîìèàëüíûå ôèëüòðû ×åáûøåâà. Åñëè â êà÷åñòâå ôóíêöèè ôèëüòðàöèè â (17.4) è (17.5) èñïîëüçîâàòü ïîëèíîì ×åáûøåâà,îáîçíà÷àåìûé y(W) = Tm(W), òî ôîðìóëû (17.14) ïðèìóò âèä:Hp ( j W )22 (= 1 éë 1 + e 2BmW ) ùû ;üïï122A p ( W ) = ln éë 1 + e Tm ( W ) ùû [Íï]; ý2ï22A p ( W ) = 10 lg éë 1 + e Tm ( W ) ùû [äÁ], ïþHp ( j W )4502= 1 éë 1 + e 2Tm2 ( W ) ùû ;(17.15)jWp2jW1p1p1p20,5-1- 0,5- 0,5p3-10,51a-1p41p3à)ap4á)Ðèñ. 17.5ãäå Tm(W) – ïîëèíîì ×åáûøåâà ñòåïåíè (ïîðÿäêà) m; e – êîýôôèöèåíò íåðàâíîìåðíîñòè, îïðåäåëÿåìûé (17.6) èëè (17.7).Ôèëüòðû ñ ÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (17.15) íàçûâàþòñÿôèëüòðàìè ×åáûøåâà. Ïðîàíàëèçèðóåì ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðà ×åáûøåâà.

Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïîëèíîìîâ Tm(W). Íèæå ïðèâåäåíû øåñòü ïåðâûõ ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà:T0 ( W ) = 1;T1 ( W ) = W ;T2 ( W ) = 2W 2 - 1;T3 ( W ) = 4W 3 - 3W ;T4 ( W ) = 8W 4 - 8W 2 + 1;T5 ( W ) = 16W 5 - 20W 3 + 5W .(17.16 à)Ëþáîé ïîëèíîì ×åáûøåâà ïðè m  2 ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïîðåêóððåíòíîé ôîðìóëå Tm(W) = 2WTm–1(W) – Tm–2(W). Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ (17.15) óäîâëåòâîðÿþò îáùèì âûðàæåíèÿì(17.1) – (17.3) õàðàêòåðèñòèê ïîëèíîìèàëüíûõ ôèëüòðîâ.Ñóùåñòâóåò åäèíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà â èíòåðâàëå –1  W  1:Tm ( W ) = cos m arccos W .(17.16)(17.16 á)Äåéñòâèòåëüíî, T0 (W) = cos 0 arccos W = 1; T1 (W) = cos 1 arccos W =22= W; T2 (W) = cos 2 arccos W = 2cos arccos W – 1 = 2W – 1.

Âíå èíòåðâàëà –1  W  1 ïîëèíîìû Tm(W) òàêæå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:Tm ( W ) = ch m Arch W .(17.16 â)Àíàëèç ïîâåäåíèÿ ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà ïîêàçûâàåò, ÷òî â èíòåðâàëå –1  W  1 óãîë Q = arccos W èçìåíÿåòñÿ îò –p (ïðè W = –1)äî 0 (ïðè W = 1), ïîýòîìó ïîëèíîì Tm(W) = cos mQ ðîâíî m ðàçïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, ðàâíûå íóëþ, è m + 1 ðàç äîñòèãàåò çíà÷åíèé, ðàâíûõ +1 èëè –1 è ÷åðåäóþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì.

Âíå èíòåðâàëà –1  W  1 ïîëèíîì Tm(W) ñîãëàñíî ôîðìóëå (17.16 â) ìîíî451T 4 ( W)òîííî âîçðàñòàåò.  êà÷åñòâåïðèìåðà íà ðèñ. 17.6, à èçîáðàæåíãðàôèêïîëèíîìà×åáûøåâàT4 (W), ò. å. ïîëèíîìà ÷åòâåðòîãîïîðÿäêà.Âñîîòâåòñòâèèñ(17.15)ðàáî÷åå îñëàáëåíèå Ap (W) ôèëüòðà×åáûøåâà íà òåõ ÷àñòîòàõ W, ãäåïîëèíîì Tm(W) îáðàùàåòñÿ â íóëü,òàêæå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íà÷àñòîòàõ, íà êîòîðûõ Tm(W) ðàâåí±1, ðàáî÷åå îñëàáëåíèå äîñòèãàåòâåëè÷èíû:1-11-1à)ÀðÀð minA p = 10 lg ( 1 + e 2 ) =Àð max= 10 lg ( 1 + 100,1 A p max- 1 ) = A p max .Ñ ðîñòîì çíà÷åíèé ïîëèíîìàTm(W) íà ÷àñòîòàõ W > 1 ðàáî÷ååá)îñëàáëåíèå Ap (W) òàêæå ìîíîòîííî ðàñòåò. Íà ðèñ.

17.6, á ïðèâåÐèñ. 17.6äåí ãðàôèê ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿôèëüòðà ×åáûøåâà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.Ôèëüòðû ×åáûøåâà íàçûâàþò òàêæå ôèëüòðàìè ñ ðàâíîâîëíîâîé õàðàêòåðèñòèêîé îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ.Íà ðèñ. 17.7 ïîêàçàíû ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè êâàäðàòà À×Õôèëüòðà ×åáûøåâà äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé m, ïîëó÷åííûå äëÿ2| Hð (jW) | èç (17.15). Ïîäîáíûå çàâèñèìîñòè ìîãóò áûòü ïîñòðîåíûäëÿ ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ ôèëüòðà.×òîáû õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðà îòâå÷àëè òðåáîâàíèÿì â ïîëîñåíåïðîïóñêàíèÿ, íåîáõîäèìî âûáðàòü ïîðÿäîê ôèëüòðà m èç óñëîâèÿ| Hð (jW) | 2W=W ç  e 2 A p min .

Äëÿ ïîëîñû íåïðîïóñêàíèÿ Tm(W) îïðå22äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (17.16 â), ñëåäîâàòåëüíî, 1 + e ñh m ´ Arch Wç 0e-2 A p min1 WçW. Îòñþäà ñh m Arch Wç ( e 2 A p min- 1 ) e 2. Äàëåå m Arch Wç - 1 ) e 2 è m  Arch ( e -2 A p min - 1 ) e 2 Arch W ç . ýòîé ôîðìóëå âåëè÷èíà Ap min èçìåðÿåòñÿ â íåïåðàõ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè åäèíèöû äåöèáåë ïîðÿäîê ôèëüòðà âû÷èñëÿåòñÿ èçâûðàæåíèÿ:( e -2 A p minm  Arch100,1 A p min-1Arch W ç .(17.17 à)eÑðàâíèâàÿ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðîâ Áàòòåðâîðòà è×åáûøåâà, ñëåäóåò óêàçàòü, ÷òî ïîëèíîìû ×åáûøåâà ÿâëÿþòñÿ ïî45222ëèíîìàìè íàèëó÷øåãî ïðèáëè|Hð (W)|m=2æåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèm=3îäèíàêîâîì çíà÷åíèè m èç1m=4âñåõ ïîëèíîìèàëüíûõ ôèëüò- 0,1À ð maxðîâ, îñëàáëåíèÿ êîòîðûõ â ïî- 1010 0,1À ð minëîñå ïðîïóñêàíèÿ íå ïðåâûøàþò Ap max, íàèáîëüøèå çíà÷åíèÿ îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå01 Wçíåïðîïóñêàíèÿ èìååò ôèëüòðW×åáûøåâà.

 ÷àñòíîñòè, ðàáîÐèñ. 17.7÷åå îñëàáëåíèå ôèëüòðà ×åáûøåâà â ïîëîñå íåïðîïóñêàíèÿ ìîæåò ïðåâûøàòü (è âåñüìà çíà÷èòåëüíî) ðàáî÷åå îñëàáëåíèå ôèëüòðà Áàòòåðâîðòà ïðè ðàâíûõ çíà÷åíèÿõ m è Ap max. Îäíàêî õàðàêòåðèñòèêà ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿôèëüòðà Áàòòåðâîðòà èìååò â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ ìîíîòîííûé õàðàêòåð è ëåã÷å ïîääàåòñÿ êîððåêòèðîâàíèþ äëÿ óñòðàíåíèÿ èñêàæåíèé ïåðåäàâàåìûõ ñèãíàëîâ.Âûáîð òèïà ïîëèíîìèàëüíûõ ôèëüòðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êîíêðåòíûìè óñëîâèÿìè èõ ïðèìåíåíèÿ â àïïàðàòóðå ñâÿçè è ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ôèëüòðà ×åáûøåâà ïîñòóïèì àíàëîãè÷íî òîìó, êàê äåëàëè ýòî äëÿ ôèëüòðîâ Áàòòåðâîðòà.

Çàìåíèì îïåðàòîð jW íà îïåðàòîð ð è ïåðåéäåì îò ôóíêöèè2| Hð (jW) | ê ôóíêöèè:Hp ( p )2= H p ( p ) H p ( - p ) = 1 éë 1 + e 2Tm2 ( p j ) ùû .Ïðåäñòàâèì ïîëèíîì Tm (W) â âèäå (17.16 á) è íàéäåì ïîëþñû2ôóíêöèè | Hð (p) | , ðåøèâ óðàâíåíèå:e 2 cos 2 m arccos ( p j ) + 1 = 0 .(17.17)((17.17 á)Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî (17.16 à) êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíåm–1ïîëèíîìà ×åáûøåâà Tm (W) ðàâåí 2, òî êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå ïîëèíîìà â ëåâîé ÷àñòè ïðèâåäåííîãî âûøå óðàâíåíèÿ2 2 (m – 1)ðàâåí e 2.Êîðíè óðàâíåíèÿ (17.17 á), êàê ìîæíî äîêàçàòü, îïðåäåëÿþòñÿàíàëèòè÷åñêè ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:2k - 12k - 1p + j ch g cosp, k = 1,2,K ,2m , (17.18)2m2mãäå g = ( 1 m ) Arsh ( 1 e ) .Èç êîðíåé â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ñîñòàâëÿþòñÿ ñîìíîæèòåëè (p –– pi), è ïî òåîðåìå Âèåòà ñòðîèòñÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôèëüòðà:pk = sh g sinHp ( p ) = H1p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0,453ãäå H = 1 ( e × 2 m -1 ) .Ïðèìåð.

Ïîñòðîèòü ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ôèëüòðà ×åáûøåâà âòîðîãîïîðÿäêà (m = 2), ðàáî÷åå îñëàáëåíèå â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ (îò 0 äî 159 êÃö)êîòîðîãî íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíó Ap max = 3 äÁ. Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ïîëîñûíåïðîïóñêàíèÿ 318 êÃö.Êîýôôèöèåíò íåðàâíîìåðíîñòè e òàêîãî ôèëüòðà ñîãëàñíî (17.7) ðàâåí 1.Ðàáî÷åå îñëàáëåíèå íà ÷àñòîòå Wç = 318/159 = 2 ñîñòàâëÿåò Ap (W) W = 2 == 10 lg (1 + ch2 2 Arch 2) = 17 äÁ, ÷òî ïî÷òè íà 5 äÁ ïðåâûøàåò ðàáî÷åå îñëàáëåíèå íà ýòîé æå ÷àñòîòå ôèëüòðà Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì.

ïðåäûäóùèé ïðèìåð).Ðàñ÷åò ïîëþñîâ ôóíêöèè Hp (p)Hp (–p) ïî ôîðìóëàì (17.18) äàåò âåëè÷èíû: p 1 = 0,322 + j0,777; p 2 = 0,322 – j0,777; p 3 = –0,322 – j0,777; p4 == –0,322 + j0,777. Ðàñïîëîæåíèå ïîëþñîâ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïîêàçàíîíà ðèñ. 17.5, á.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôèëüòðà:Hp ( p ) =10,707.= 2e 2 ( p - p 4 ) ( p - p 3 ) p + 0,645 p + 0,707 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîëèíîìèàëüíûõ ôèëüòðîâ âñïðàâî÷íèêàõ ñîñòàâëåíû âåñüìà ïîëíûå òàáëèöû ïîëþñîâ è êîýôôèöèåíòîâ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé äëÿ ðàçëè÷íûõ âåëè÷èíAp max è m. Ïîðÿäîê æå ôèëüòðîâ m îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñïåöèàëüíûìãðàôèêàì, èñõîäÿ èç çàäàííûõ âåëè÷èí Ap max, Ap min è W ç.Ôèëüòðû ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ (íà îñíîâå äðîáåé ×åáûøåâà è Çîëîòàðåâà).

×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëèíîìèàëüíûõôèëüòðîâ, îïèñûâàåìûå âûðàæåíèÿìè (17.1)—(17.3), èìåþò ìîíîòîííûé õàðàêòåð â ïîëîñå íåïðîïóñêàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ðàáî÷åå îñëàáëåíèå òàêèõ ôèëüòðîâ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî ìåðå óäàëåíèÿîò ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ (ðèñ. 17.4, à è 17.6, á).Ïðè «æåñòêèõ» òðåáîâàíèÿõ ê ÷àñòîòíûì õàðàêòåðèñòèêàì (ìàëàÿ ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü ìåæäó ïîëîñàìè ïðîïóñêàíèÿ è íåïðîïóñêàíèÿ è áîëüøàÿ âåëè÷èíà ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå íåïðîïóñêàíèÿ) ïîðÿäîê ôèëüòðà m ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ î÷åíü áîëüøèìäàæå â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ïîëèíîìà ×åáûøåâà. Ýòî ïðèâåäåò êñóùåñòâåííîìó óñëîæíåíèþ ôèëüòðà è ê èçëèøíåìó «ðàñõîäó»ýëåìåíòîâ. òàêèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ôèëüòðû ñî âñïëåñêàìè ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå íåïðîïóñêàíèÿ (ðèñ.

17.8, à).Íà ÷àñòîòàõ âñïëåñêà W ¥1, W ¥2 è ò. ä. ðàáî÷åå îñëàáëåíèå ôèëüòðàñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè; çà ñ÷åò ýòîãî âîçðàñòàåò êðóòèçíà õàðàêòåðèñòèêè îñëàáëåíèÿ â ïåðåõîäíîé îáëàñòè. ÑîîòâåòñòâåííîÀ×Õ ôèëüòðà íà ÷àñòîòàõ W ¥1, W ¥2 è ò. ä. áóäåò îáðàùàòüñÿ â íóëü(ðèñ. 17.8, á).Äëÿ âûïîëíåíèÿ óêàçàííûõ óñëîâèé â âûðàæåíèÿõ (17.2)—(17.3) èñïîëüçóþò ðàöèîíàëüíûå äðîáè âèäà:454À ð , äÁ|Hð ( jW)|21-0,1Àð max1010-0,1Àð minÀ ð max01 W ç W ¥1 W ¥2W0à)1 W ç W ¥1 W ¥2Wá)Ðèñ. 17.8H p ( jW )2(W 2¥1 - W 2 ) ( W 2¥ 2 - W 2 ) K ( W 2¥n - W 2 )=;d0W 2m + d1W 2m - 2 + K + dm -1W 2 + dm1d0W 2m + d1W 2m - 2 + K + dm -1W 2 + dm()Ap W = ln.2 ( W2 - W2 ) ( W2 - W2 )K ( W2 - W2 )¥1¥2(17.19)(17.20)¥nÄåéñòâèòåëüíî, êîãäà W ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ W ¥1, W ¥2, ..., W ¥n,2| Hð (jW) | = 0 è Að (W) ® ¥.Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ òàêèõ ôèëüòðîâ ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé:Hp ( p )(p 2 + W 2¥1 ) ( p 2 + W 2¥ 2 ) K ( p 2 + W 2¥n )=bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0(17.21)è êðîìå ïîëþñîâ p1, p2, ..., pm èìååò íóëè:p01 = ± jW ¥1; p02 = ± jW ¥ 2; K ; p0n = ± jW ¥n .Ôèëüòðû ñî âñïëåñêàìè ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ íàçûâàþò åùåôèëüòðàìè ñ íóëÿìè ïåðåäà÷è.Ñðåäè ôèëüòðîâ ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ íàèáîëåå øèðîêîåðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ôèëüòðû, ïîñòðîåííûå íà îñíîâå äðîáåé×åáûøåâà è Çîëîòàðåâà.

Характеристики

Список файлов книги