Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 78
Текст из файла (страница 78)
×òîáû ïîëó÷èòü ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðà íà îñíîâå äðîáåé ×åáûøåâà, íóæíî â ôîðìóëàõ(17.14) èëè (17.15) èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ôóíêöèè ôèëüòðàöèèäðîáü ×åáûøåâà. Îáîçíà÷àÿ åå Fm(W), ïîëó÷èì:üïï1Ap ( W ) = ln éë 1 + e 2F 2m ( W ) ùû [Íï], ý2ïAp ( W ) = 10 lg éë 1 + e 2F 2m ( W ) ùû [äÁ].
ïþH p ( jW )2= 1 éë 1 + e 2F 2m ( W ) ùû ;(17.22)455 êà÷åñòâå ïðèìåðà óêàæåì äðîáü ×åáûøåâà ïÿòîãî ïîðÿäêà,2äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåíû ãðàôèêè Að (W) è | Hð (jW) | íà ðèñ. 17.8, àè á:F5 ( W ) =(a 0W 5 + a 1W 3 + a 2WW 2¥1-W2)(W 2¥ 2-W2),ãäå a0, a1 è a2 êîýôôèöèåíòû, ñâÿçàííûå ñ ÷àñòîòàìè âñïëåñêàW ¥1 è W ¥2.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîäñòàíîâêà ýòîé äðîáè â (17.22) ïðèâåäåò ïîñëåíåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê âûðàæåíèÿì îáùåãî âèäà (17.19) è(17.20). ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ äðîáü ×åáûøåâà âåäåò ñåáÿ òàê æå, êàê èïîëèíîì ×åáûøåâà, ò. å. ðàáî÷åå îñëàáëåíèå ôèëüòðà íîñèò ðàâíîâîëíîâûé õàðàêòåð. Íà ÷àñòîòàõ âñïëåñêà W ¥1 è W ¥2 äðîáü ×åáûøåâà îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ÷òî ïðèâîäèò ê áåñêîíå÷íî áîëüøîìó ðàáî÷åìó îñëàáëåíèþ.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äðîáü ×åáûøåâà ÿâëÿåòñÿ äðîáüþ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôèëüòð íà îñíîâå äðîáè×åáûøåâà íà ëþáîé ÷àñòîòå ïîëîñû íåïðîïóñêàíèÿ èìååò áîëüøååçíà÷åíèå ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ôèëüòðàìè íà îñíîâåäðóãèõ äðîáåé (è ïîëèíîìîâ, êàê ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äðîáåé) ïðèïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ (ïðè îäèíàêîâûõ ïîðÿäêàõ m, ïðè òàêîìæå êîëè÷åñòâå è ðàñïîëîæåíèè ÷àñòîò âñïëåñêà è òåõ æå âåëè÷èíàõAp max).×àñòíûì ñëó÷àåì äðîáåé ×åáûøåâà ÿâëÿþòñÿ äðîáè Çîëîòàðåâà:Rm ( W ) = a1 W S Õ éë ( W 02V - W 2 )( W 2¥V - W 2 ) ùû ,(17.23)( W 02V - 1 ) ùû , V = 1,2,K , ( m - S ) 2 ,çíà÷åíèå SVãäå a1 =Õ éë ( W 2¥VV- 1)ðàâíî 0 äëÿ ÷åòíûõ m è ðàâíî 1 äëÿ íå÷åòíûõ m; m ïîðÿäîêäðîáè; W 0V, W ¥V íóëè è ïîëþñû äðîáè, ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåìW ¥V = W ç / W 0V.Èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ôóíêöèè ôèëüòðàöèè â (17.14) è (17.15)äðîáè Çîëîòàðåâà, ïîëó÷èì:üïï12 (Ap ( W ) = ln éë 1 + e 2RmW ) ùû [Íï], ý2ï2 (W ) ùû [äÁ].
ïþAp ( W ) = 10 lg éë 1 + e 2RmH p ( jW )22 (= 1 éë 1 + e 2RmW ) ùû ;(17.24)Èç ôîðìóë (17.23) è (17.24) ñëåäóåò, ÷òî íóëè ôóíêöèè Að (W)ñîâïàäàþò ñ íóëÿìè äðîáè Çîëîòàðåâà, à âñïëåñêè ôóíêöèèAð (W) ñ ïîëþñàìè ýòîé æå äðîáè. Íóëè è ïîëþñû äðîáè Çîëîòàðåâà ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü, îäíàêî îáû÷íî èõ îïðåäåëÿþò ïî êà456À ð , äÁòàëîãàì äëÿ îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ÔÍ×.Íà ðèñ. 17.9 ïîêàçàí ãðàôèêAð (W) äëÿ ôèëüòðà Çîëîòàðåâà ïÿòîãî ïîðÿäêà.Äðîáè Çîëîòàðåâà òàê æå,êàê è ïîëèíîìû ×åáûøåâà,À ð maxäàþò ðàâíîâîëíîâóþ õàðàêòåðèñòèêó ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ0 W 01 W 02 1W ç W ¥1 W ¥2Wôèëüòðà â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ. Îäíàêî â ïîëîñå íåïðîÐèñ.
17.9ïóñêàíèÿ ó ôèëüòðîâ Çîëîòàðåâà çíà÷åíèÿ âñåõ ìèíèìóìîâ ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ îêàçûâàþòñÿîäèíàêîâûìè è ðàâíûìè çíà÷åíèþ ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ íà ÷àñòîòåWç. Òàêèå ôèëüòðû íàçûâàþòñÿ òàêæå ôèëüòðàìè ñ èçîýêñòðåìàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðàáî÷åãî îñëàáëåíèÿ.Ôèëüòðû ñ õàðàêòåðèñòèêàìè Çîëîòàðåâà ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ôèëüòðîâ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ×åáûøåâà, êîãäàçíà÷åíèÿ ìèíèìóìîâ îñëàáëåíèÿ ôèëüòðà â ïîëîñå íåïðîïóñêàíèÿâûðàâíåíû, à ÷èñëî âñïëåñêîâ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ïðè âûáðàííîì çíà÷åíèè m.17.3.
Ðåàëèçàöèÿ ôèëüòðîâ íèæíèõ ÷àñòîòËåñòíè÷íûå ïîëèíîìèàëüíûå LC-ôèëüòðû. Ëþáûå èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ôèëüòðîâ, êàê ïîëèíîìèàëüíûå, òàê è ñîâñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû â âèäå ïàññèâíûõ LC-öåïåé.Ïàññèâíûå LC-ôèëüòðû îáû÷íî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåàêòèâíûé ëåñòíè÷íûé ÷åòûðåõïîëþñíèê, âêëþ÷åííûé ìåæäó ãåíåðàòîðîì ñ àêòèâíûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèå Rã è íàãðóçêîé ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì Rí (ðèñ. 17.10). Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ðåàêòèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà, íàãðóæåííîãî íà ñîïðîòèâëåíèå Rí,îáîçíà÷åíî íà ðèñóíêå Zâõ1(ð).Åñëè ôèëüòð ñî ñòîðîíû çàæèìîâ 11¢ ðàññìàòðèâàòü êàêäâóõïîëþñíèê, îáðàçîâàííûé ðåàêòèâíûì ÷åòûðåõïîëþñíèêîì èíàãðóçêîé Rí, òî, çíàÿ âûðàæåíèåRãZâõ1(ð), ìîæíî ðåàëèçîâàòü äàííûé12äâóõïîëþñíèê îäíèì èç èçâåñòíûõ+â òåîðèè öåïåé ìåòîäîâ ñèíòåçàRíUãLCäâóõïîëþñíèêîâ.
Òàêèì îáðàçîì,çàäà÷à ðåàëèçàöèè ôèëüòðà ñâîäèòñÿ ê ðåàëèçàöèè äâóõïîëþñíèêà ïî1¢2¢Z âõ1(p)åãî çàäàííîìó âõîäíîìó ñîïðîòèâëåíèþ. Èäåÿ äàííîãî ïîäõîäà ïðèÐèñ. 17.10457íàäëåæèò Ñ. Äàðëèíãòîíó è ìåòîä ðåàëèçàöèè ôèëüòðîâ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Äàðëèíãòîíà.Íà âõîäå ôèëüòðà èìååò ìåñòî íåñîãëàñîâàííîñòü, êîòîðóþ ìîæíîîöåíèòü, ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ (16.25)Rã - Zâõ1 ( p ).Rã + Zâõ1 ( p )s(p) =(17.25)Ðåøàÿ (17.25) îòíîñèòåëüíî Zâõ1(ð), ïîëó÷àåì:Zâõ1 ( p ) = Rã1- s(p).1+ s(p)(17.26) (17.26) íåèçâåñòíûì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ s(ð). ñâîþ î÷åðåäü, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ s(ð) ñâÿçàí ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé Hp (ð) = w(ð) /v (ð) ñîîòíîøåíèåì (16.26):s ( p ) s ( - p ) = 1 - Hp ( p ) Hp ( - p ) =v ( p ) v ( -p ) - w ( p ) w ( -p )=.v ( p ) v ( -p )(17.27)Èç (17.27) ñëåäóåò, ÷òî çíàìåíàòåëü ó s(ð) òàêîé æå, êàê è óHp (ð): èì ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîì v (ð).
Îñòàåòñÿ íàéòè íóëè ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (17.7) è ïîëîâèíó èç íèõ «ïðèïèñàòü» ïîëèíîìó ÷èñëèòåëÿ s(ð). Ïîñëåäíèé ôîðìèðóåòñÿ èç íóëåé ïî òåîðåìå Âèåòà.Ïðèìåð. Ðåàëèçîâàòü ôèëüòð íèæíèõ ÷àñòîò Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêàèç ïðèìåðà (ñòð. 450) â âèäå ïàññèâíîé LC-ñõåìû. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèåãåíåðàòîðà 1 êÎì. ïðèìåðå áûëà ïîëó÷åíà ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ Áàòòåðâîðòà âòîðîãî ïîðÿäêà Hp (p) = 1 / (p2 + 1,41p + 1) äëÿ íîðìèðîâàííûõ çíà÷åíèé ÷àñòîòû W == w / wí = w / (2p ×159 ×103) = w / 106, ãäå wí = wï = 2p fï. Ðåàëèçàöèÿ íîðìèðîâàííîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ïðèâåäåò ê )ñõåìåñ íîðìèðîâàííûìè çíà÷åíèÿìè)ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ (îáîçíà÷èì èõ L, C ), êîòîðûå çàòåì íåîáõîäèìî äåíîðìèðîâàòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåàëüíûõ çíà÷åíèé. ñîîòâåòñòâèè ñ (17.27)11=2p + 1,41 p + 1 p - 1,41 p + 1p4=.22( p + 1,41p + 1 ) ( p - 1,41p + 1 )s ( p ) s ( -p ) = 1 -21,41 ìÃí1ê+Uã1,41 íÔZ âõ1(p)Ðèñ.
17.114581êÍóëè ýòîé ôóíêöèè p01, 02, 03, 04 = 0. Ïîëèíîì ÷èñëèòåëÿ s(ð) â ñîîòâåòñòâèè ñòåîðåìîé Âèåòà ðàâåí (p p01) × (p p02) = p2. Îòñþäà s(ð) = p2/ (p2 + 1,41p ++ 1).Ñîãëàñíî (17.26)Zâõ1 ( p ) = 10 31 - p21 + p2( p 2 + 1,41p + 1 ) = 1,41 × 10 3 p + 10 3 .( p 2 + 1,41p + 1 ) 2p 2 + 1,41p + 1Ðåàëèçàöèþ äâóõïîëþñíèêà ñî âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì Zâõ1 (p) îñóùåñòâèìðàçëîæåíèåì â öåïíóþ (ëåñòíè÷íóþ) äðîáü ïî ìåòîäó Êàóýðà. ÏðåäñòàâèìZâõ1 (p) = 1 / Yâõ1 (p) è ïðîâåäåì ðàçëîæåíèå ïðîâîäèìîñòè:1-é ýòàï2 p 2 + 1, 41 p + 1- 22 p + 1, 41 p1, 41 × 10 3 p + 10 31, 41 × 10 -3 p12-é ýòàï1, 41 × 10 3 p + 10 31, 41 × 10 3 p11, 41 × 10 -3 p10 33-é ýòàï-1110 310 -30Ïðîöåññ ðàçëîæåíèÿ çàêîí÷åí.
Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå Zâõ1 (p), ïðåäñòàâëåííîå öåïíîé äðîáüþ, èìååò âèä:11.Zâõ1 ( p ) = )=11-3pC + )1,41 × 10 p +pL + 1 Gí1,41 × 10 3 p + 1 10 -3Ñõåìà äâóõïîëþñíèêà, âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåòäàííîé öåïíîé (ëåñòíè÷íîé)äðîáè, ïðèâåäåíàíà ðèñ. 17.11. Íîðìèðîâàííûå))33çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ C = 1,41 ×10 , L = 1,41 ×10 . Àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü íàãðóçêè íå íîðìèðóåòñÿ è ðàâíà Gí = 10 3 Ñì, ò. å. ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêèRí = 1 êÎì. Äåíîðìèðîâàòü çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìîæíî ñëåäóþùèìîáðàçîì.))Êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü íîðìèðîâàííîé åìêîñòè ) jWC = j ( w w í ) C = jWC ,îòêóäà íåíîðìèðîâàííîå çíà÷åíèå åìêîñòè C = C w í = 1,41 ×10 3 / 10 6 == 1,41 ×10 9 Ô = 1,41 íÔ.Ïîäîáíûìîáðàçîì) êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèåíîðìèðîâàííîé èíäóêòèâ))íîñòè jWL = j ( w w í ) L = jWL èëè L = L w í = 1,41 ×10 3 / 10 6 = 1,41 ×10 3 Ãí == 1,41 ìÃí.Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó ïðèìåðó ðåøàåòñÿ çàäà÷à ðåàëèçàöèè ôèëüòðà ëþáîãî ïîðÿäêà.
Íàïðèìåð, ïîëèíîìèàëüíûé ÔÍ×ïÿòîãî ïîðÿäêà (m = 5) ðåàëèçóåòñÿ â âèäå îäíîé èç äâóõ ñõåì,ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 17.12, à è á. Êîëè÷åñòâî ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâîïðåäåëÿåòñÿ ïîðÿäêîì ôèëüòðà m. Îòëè÷èå ôèëüòðà Áàòòåðâîðòàîò ôèëüòðà ×åáûøåâà áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ýòîì ñëó÷àå òîëüêî âðàçíûõ çíà÷åíèÿõ ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, ïîëó÷àåìûõ â ïðîöåññåðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé.459L2L1L4C3C1C5L3C2à)L5C4á)Ðèñ.
17.12Ëåñòíè÷íûå ôèëüòðû ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ. Ïî ïîäîáíîéñõåìå îñóùåñòâëÿåòñÿ è ðåàëèçàöèÿ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ôèëüòðîâ ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ (×åáûøåâà èëè Çîëîòàðåâà). Ðàçëîæåíèå âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ òàêèõ ôèëüòðîâ â öåïíóþ äðîáüïðèâåäåò ê ñõåìàì, ñîäåðæàùèì ðåçîíàíñíûå êîíòóðû, â êîòîðûõðåçîíàíñû ïðîèñõîäÿò íà ÷àñòîòàõ W ¥1, W ¥2, ... Íàëè÷èå ýòèõ êîíòóðîâ è îáåñïå÷èâàåò áåñêîíå÷íî áîëüøîå çàòóõàíèå íà ÷àñòîòàõâñïëåñêà.Òàê, ÔÍ× ïÿòîãî ïîðÿäêà ñî âñïëåñêàìè îñëàáëåíèÿ íà ÷àñòîòàõ W ¥1 è W ¥2 ðåàëèçóåòñÿ â âèäå îäíîé èç ñõåì, ïðèâåäåííûõ íàðèñ.
17.13, à è á. È â ïåðâîé è âî âòîðîé ñõåìàõ êîíòóðû ðàññ÷èòàíû íà ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû W ¥1 è W ¥2.  ïåðâîé ñõåìå â ïàðàëëåëüíûõ êîíòóðàõ ïðîèñõîäÿò ðåçîíàíñû òîêîâ; ñîïðîòèâëåíèÿêîíòóðîâ ïðèíèìàþò áåñêîíå÷íî áîëüøèå çíà÷åíèÿ.  ðåçóëüòàòåíà ÷àñòîòàõ ðåçîíàíñîâ W ¥1 è W ¥2 íàáëþäàåòñÿ «îáðûâ» ïðîäîëüíûõ âåòâåé ôèëüòðà è ñèãíàë îò ãåíåðàòîðà â íàãðóçêó íå ïîñòóïàåò, ò. å. ôèëüòð âíîñèò áåñêîíå÷íî áîëüøîå îñëàáëåíèå. Âî âòîðîéñõåìå â ïîñëåäîâàòåëüíûõ êîíòóðàõ ïðîèñõîäÿò ðåçîíàíñû íàïðÿæåíèé; ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðîâ îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü íà ÷àñòîòàõ W ¥1 è W ¥2 ïîïåðå÷íûå âåòâè «çàêîðà÷èâàþò»íàãðóçêó è ñèãíàë íà âûõîä ôèëüòðà íå ïîñòóïàåò. Òàêèì îáðàçîì,èìååò ìåñòî áåñêîíå÷íî áîëüøîå îñëàáëåíèå.Ðåàëèçàöèÿ ëåñòíè÷íûõ ôèëüòðîâ ïî êàòàëîãàì.
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ñèíòåç ôèëüòðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþïðîöåäóðó, ïîýòîìó ðàçðàáîò÷èêè ôèëüòðîâ ïûòàëèñü îáëåã÷èòü åå. ðåçóëüòàòå áûëè ñîçäàíû îáøèðíûå êàòàëîãè ôèëüòðîâ, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò ïðîöåäóðó ñèíòåçà ÔÍ×.Òàáë. 17.1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòðàíèöó èç òàêîãî êàòàëîãà, ãäåW ¥2W ¥1L1L5C6L2C3C4C1C2C7à)L7C5L 3 W ¥1 L 6 W ¥2á)Ðèñ. 17.13460L4Òàáëèöà 17.1Ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ ôèëüòðîâ Çîëîòàðåâà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêàWsA s, äÁÑ1Ñ2W ¥2Ñ3L44,3642443,7181733,2419012,8766731,2821,2721,2611,2480,74290,74400,74510,74651,3261,3161,3051,2870,80180,80270,80370,80521,4000,3901,3731,3540,92920,92970,93040,93111,4431,4321,4141,3941,0411,0411,0411,041L2ïðè DA s = 0,028 äÁ3,983,392,962,63565045410,70200,68710,66970,64970,042320,059520,080250,10491,2411,2151,1861,152ïðè DA s = 0,044 äÁ3,763,232,842,45565045400,75750,74220,72450,69680,0445850,063390,084360,11831,2821,2561,2261,2874,1247813,5441413,1098752,677264ïðè DA s = 0,099 äÁ3,392,962,532,22565145400,87750,86120,83570,80570,053630,072020,10170,13821,3491,3211,2781,2293,7181733,2419012,7732132,427221ïðè DA s = 0,177 äÁ3,092,732,372,09555045400,98070,96300,93560,9040L20,0633090,082730,11410,15221,3821,3531,3081,257L4C23,3860782,9885432,5880502,286311L3L1L2C2C3C1à)WsA s, äÁL1C4á)L2Ñ2W ¥2L3Ñ4ïðèâåäåíû íîðìèðîâàííûå ýëåìåíòû ôèëüòðà Çîëîòàðåâà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
