Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Êðîìå òîãîóðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ â çàâèñèìîñòè îò òèïà ñîåäèíåíèÿ äîëæíû áûòü çàïèñàíû â Z èëè Fïàðàìåòðàõ (ñì. § 12.2).14.3. Ïðèìåðû öåïåé ñ îáðàòíîé ñâÿçüþÌàñøòàáíûé óñèëèòåëü ñ íåèíâåðòèðóþùèì âõîäîì. Íà ðèñ. 14.6,à èçîáðàæåíà öåïü íà ÎÓ, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ìàñøòàáèðîâàíèÿíàïðÿæåíèÿ, à íà ðèñ. 14.6, á åå ñõåìà çàìåùåíèÿ ñ çàâèñèìûìèñòî÷íèêîì òèïà ÈÍÓÍ.  ãë. 2 äàííàÿ ñõåìà àíàëèçèðîâàëàñüìåòîäîì óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Ïîëó÷èì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþýòîé öåïè êàê öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (14.4).Öåïüþ îáðàòíîé ñâÿçè íà ñõåìå ðèñ. 14.6 ñëóæèò Ã-îáðàçíûé äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ, ñîñòàâëåííûé èç ðåçèñòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé R0è R1.
Âûõîäíîå íàïðÿæåíèå óñèëèòåëÿ U2 ïîñòóïàåò íà âõîä öåïèÎÑ (óçëû 24); íàïðÿæåíèå ÎÑ U3 ñíèìàåòñÿ ñ ðåçèñòîðà R1(óçëû 34). Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ïî íàïðÿæåíèþ öåïè ÎÑ( R0 + R1 ) .H oc = U 3 U 2 = R1Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (14.4) è ó÷òåì, ÷òî âõîäíîå íàïðÿæåíèå U1 è íàïðÿæåíèå îáðàòíîé ñâÿçè U3 íå ñóììèðóþòñÿ, à âû÷èòàþòñÿ. Òîãäà ïîëó÷èì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ìàñøòàáíîãîóñèëèòåëÿ:HuR1æ 1öH ==1 ç+÷.1 + H u H ocè H u R0 + R1 øÓ÷èòûâàÿ, ÷òî â ðåàëüíûõ ÎÓ çíà÷åíèå H u ? 1 , îêîí÷àòåëüíîèìååì:RH = 1+ 0 ,R1÷òî, åñòåñòâåííî, ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â ãë. 2 ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.R0R012HuU1U2R1+3U1R1U34à)H u (U 1 _ U 3)U2á)Ðèñ. 14.6363Çâåíî íà ÎÓ ñ ÷àñòîòíî-çàâèñèìîé ÎÑ.
Çâåíî òàêîãî âèäà ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 14.7, à, à åãî ñõåìà çàìåùåíèÿ íà ðèñ. 14.7, á.×òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü ïðÿìîé ïóòü ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà è ïóòüïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà ÎÑ, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîìíàëîæåíèÿ (ñì. § 2.3). Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ïîî÷åðåäíî èñêëþ÷àòüèñòî÷íèêè âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ è íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîé ñâÿçè, çàìåíÿÿ èõ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì.  ñëó÷àå èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 14.17, á) èõ âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèåðàâíî íóëþ.
Èç ñõåìû çàìåùåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî íàïðÿæåíèå U1,ïðèëîæåííîå ê çâåíó, îñëàáëÿåòñÿ âõîäíîé öåïüþ, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé Ã-îáðàçíûé äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè Z1è Z0 â ïëå÷àõ (ðèñ. 14.7, â). Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ïî íàïðÿæåíèþ òàêîãî äåëèòåëÿ ðàâíà( Z 0 + Z1 ) .H âõ = U 3 U 1 = Z 0Öåïü îáðàòíîé ñâÿçè (ðèñ. 14.7, ã) òàêæå ÿâëÿåòñÿ Ã-îáðàçíûì÷åòûðåõïîëþñíèêîì ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé( Z 0 + Z1 ) .H oc = U 2 U 3 = Z1Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ÎÓ Hó = Hu. ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (14.4) ïîëó÷àåì, ïåðåäàòî÷íóþôóíêöèþ çâåíà:H = H âõHó=-HuZ0×Z 0 + Z1Z11 + HuZ 0 + Z1Z0Z1æ 1ö=× ( -1 ) ç+÷.+HZZZ 0 + Z1è u01 ø1 - H ó H ocZ0Z0Z1Z1123HuU1U2U1U3+4à)Z11U13Z04U34_H Uu 3á)Z02U23U3Z14Âõîäíàÿ öåïüâ)4Öåïü ÎÑã)Ðèñ. 14.7364=U2CRCRU11KU2U âõ óCRU11U13CCRC245à)RR34U âõ óC55U2+U3H u U3 U 2á)RR3C5U âõ ó5â)ã)Ðèñ.
14.8Ó÷èòûâàÿ, ÷òî H u ? 1 , ïîëó÷àåì:H = - Z 0 Z1 .(14.15)Äàííîå çâåíî ìîæåò âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò âèäà ñîïðîòèâëåíèé Z0 è Z1. Ïðè Z0 = R0 è Z1 = R1 çâåíîïðåâðàùàåòñÿ â èíâåðòèðóþùèé ìàñøòàáíûé óñèëèòåëü (ñì. ãë. 2);ïðè Z0 = l / jwC è Z1 = R â èíòåãðàòîð; ïðè Z0 = R è Z1 == l / jwC â äèôôåðåíöèàòîð (ñì.
ãë. 3).Çâåíî âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ðåãóëèðóåìûì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ. Ñõåìà çâåíà ïîêàçàíà íà ðèñ. 14.8, à. Óñèëèòåëü ñ ðåãóëèðóåìûì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ Ê ìîæåò áûòü âûïîëíåí ëèáî íàòðàíçèñòîðíûõ êàñêàäàõ, ëèáî íà ÎÓ ïî ñõåìå ðèñ. 14.6, a, ëèáîíà äðóãèõ àêòèâíûõ ýëåìåíòàõ. Â ñõåìå çàìåùåíèÿ íà ðèñ. 14.8, áîí ïðåäñòàâëåí èäåàëüíûì ÈÍÓÍ.Àíàëèç ïðîõîæäåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà è ñèãíàëà â öåïè ÎÑïîêàçûâàåò, ÷òî çâåíî èìååò âõîäíóþ öåïü, èçîáðàæåííóþ íàðèñ. 14.8, â è öåïü ÎÑ, ïîêàçàííóþ íà ðèñ.
14.8, ã. Ïåðåäàòî÷íûåôóíêöèè ýòèõ öåïåé ìîæíî ïîëó÷èòü ìàòðè÷íûì ìåòîäîì (ñì.ãë. 12), íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàÿ êàæäóþ öåïü êàê êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ Ã-îáðàçíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ.Äëÿ âõîäíîé öåïè (ñì. § 3.11)H âõ ( p ) = 1 ( p 2 R 2C 2 + 3pRC + 1 ) .(14.16)Äëÿ öåïè ÎÑH oc ( p ) =pRC222p R C + 3pRC + 1.(14.17)Ñ ó÷åòîì (14.3) ïîëó÷èì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ çâåíà365a0U1åa1ò-b 0anååò-b 1-b m-2åòU2-b m-1Ðèñ. 14.9H ( p ) = H âõ ( p ) ×Hó ( p )1 - H ó ( p ) H îñ ( p ).(14.18)Êîýôôèöèåíò ïåðåäà÷è óñèëèòåëÿ Íó (ð) = Ê.
Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (14.6) è (14,7) â (14.8), ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé èìååìH (p) = K( p 2R 2C 2 + pRC ( 3 - K ) + 1 ) .Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé îáùåãî âèäà. Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ëèíåéíîé öåïè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîãëàñíî (7.41) ââèäå ðàöèîíàëüíîé äðîáè:U 2 ( p ) an p n + an -1p n -1 + K + a1p + a0Hu ( p ) == m. (14.19)U1 ( p )p + bm -1p m -1 + K + b1p + b0Ïðèâåäÿ (14.9) ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïîëó÷èì:U 2 ( p ) ( p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0 ) == U1 ( p ) ( an p n + an -1p n -1 + K + a1p + a0 ) .Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåU 2 ( p ) = U1 ( p ) an- U 2 ( p ) bm -11p m -n+ K + U1 ( p ) a01pm-111- K - U 2 ( p ) b1 m -1 - U 2 ( p ) b0 m .pppmÒàê êàê îïåðàöèè l / p ñîîòâåòñòâóåò m-êðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå,òî ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 14.9.Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ èíòåãðàòîðîâ, ñóììàòîðîâ, ìàñøòàáíûõ óñèëèòåëåé, óìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ Í(ð) äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà.36614.4.
Óñòîé÷èâîñòü öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþÂâåäåì ïîíÿòèÿ óñòîé÷èâîé è íåóñòîé÷èâîé öåïè. Öåïü íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíèñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå öåïü íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâîé. Èç òåîðèè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ (ãë. 6, 7) ñëåäóåò, ÷òîöåïü ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëåæàò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð.Åñëè êîðíè òàêîãî óðàâíåíèÿ ëåæàò â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, òîöåïü ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâîé, ò. å.
îíà íàõîäèòñÿ â ðåæèìå ñàìîâîçáóæäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè öåïè äîñòàòî÷íî íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå è åãîêîðíè. Êàê âèäèì, óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü è íåââîäÿ ïîíÿòèå îáðàòíîé ñâÿçè. Îäíàêî çäåñü âîçíèêàåò ðÿä ïðîáëåì. Äåëî â òîì, ÷òî âûâîä õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ è îïðåäåëåíèå åãî êîðíåé ÿâëÿþòñÿ ãðîìîçäêîé ïðîöåäóðîé îñîáåííîäëÿ öåïåé âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ââåäåíèå ïîíÿòèÿ îáðàòíîé ñâÿçè îáëåã÷àåò ïîëó÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èëè äàæå äàåòâîçìîæíîñòü îáîéòèñü áåç íåãî.
Êðàéíå âàæíî è òî, ÷òî ïîíÿòèåîáðàòíîé ñâÿçè àäåêâàòíî ôèçè÷åñêèì ïðîöåññàì, âîçíèêàþùèì âöåïè, ïîýòîìó îíè ñòàíîâÿòñÿ áîëåå íàãëÿäíûìè. Ãëóáîêîå ïîíèìàíèå ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îáëåã÷àåò ðàáîòó ïî ñîçäàíèþ àâòîãåíåðàòîðîâ, óñèëèòåëåé è ò. ä.Ðàññìîòðèì öåïü (ñì. ðèñ. 14.2) è âûâåäåì åå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå.
Ïóñòü uâõ (t) = 0 è, çíà÷èò, Uâõ (ð) = 0. Òîãäà èç(14.2) ñëåäóåò:U âûõ ( p ) éë 1 - H oc ( p ) × H ó ( p ) ùû = 0.(14.20)Çäåñü Uâûõ (ð) ¹ 0 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå öåïü íåëüçÿ ñ÷èòàòü âîçáóæäåííîé) è ïîýòîìó ðàâåíñòâî (14.20) âûïîëíÿåòñÿ ïðè óñëîâèè1 - H oc ( p ) H ó ( p ) = 0.(14.21)Åñëè çàïèñàòü ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ îñíîâíîé öåïè â âèäå (7.41):H ó ( p ) = w1 ( p ) v1 ( p ) , à öåïè ÎÑ H oc ( p ) = w 2 ( p ) v 2 ( p ) , òîóðàâíåíèå (14.11) ïåðåïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:v1 ( p ) v 2 ( p ) - w1 ( p ) w2 ( p )= 0.v1 ( p ) v 2 ( p )Ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïðèv1 ( p ) v 2 ( p ) - w1 ( p ) w 2 ( p ) = 0.(14.22)Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì,ïîýòîìó (14.22) ìîæíî çàïèñàòü â îáùåì âèäå:bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0 = 0.(14.23)367Ýòî è åñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå öåïè.Çàìåòèì åùå ðàç, ÷òî òî÷íî òàêîå æå óðàâíåíèå ìû áû ïîëó÷èëè, ñîñòàâëÿÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïî çàêîíàì Êèðõãîôà,êàê ìû ýòî äåëàëè ïðè èçó÷åíèè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ.Êîðíè óðàâíåíèÿ (14.23) â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè âåëè÷èíàìèp1, p2,K , pk ,K , pm ,ãäå pk = ak + jwk.
Çíàÿ êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ,ìîæíî çàïèñàòü âûõîäíîå íàïðÿæåíèå (ñì. § 6.2):u âûõ ( t ) = A1 e p1t + A2 e p2 t + K + Am e pm t .(14.24)×òîáû íàïðÿæåíèå uâûõ (t) íå âîçðàñòàëî áåçãðàíè÷íî, âñåìêîðíÿì p1, p2, ... , pm õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìîèìåòü îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè, ò. å. êîðíè äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð == a + jw. Öåïü ñ ÎÑ, îáëàäàþùàÿ òàêèìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàåòñÿàáñîëþòíî óñòîé÷èâîé.Ïðè èññëåäîâàíèè öåïåé ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ìîãóò âîçíèêàòü äâåïðîáëåìû.
Åñëè ïðîåêòèðóåìàÿ öåïü äîëæíà áûòü óñòîé÷èâîé, òîíåîáõîäèìî ðàñïîëàãàòü êðèòåðèåì, êîòîðûé ïî âèäó ôóíêöèéÍó (ð) è Íîñ (ð) ïîçâîëÿë áû ñóäèòü îá îòñóòñòâèè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ð. Åñëè îáðàòíàÿ ñâÿçü èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîçäàíèÿ íåóñòîé÷èâîé àâòîêîëåáàòåëüíîé öåïè, òî ñëåäóåò óáåäèòüñÿ, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ(14.23) ðàñïîëîæåíû, íàîáîðîò, â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Ïðè ýòîìíåîáõîäèìî èìåòü òàêîå ðàñïîëîæåíèå êîðíåé, ïðè êîòîðîì ñàìîâîçáóæäåíèå ïðîèñõîäèëî áû íà òðåáóåìîé ÷àñòîòå.Ðàññìîòðèì êðèòåðèè óñòîé÷èâîñòè öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ.Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè Ðàóñà Ãóðâèöà. Îí îòíîñèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêèì êðèòåðèÿì óñòîé÷èâîñòè è ïîçâîëÿåò ïî çíà÷åíèÿìêîýôôèöèåíòîâ bò, bò1, ..., b0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(14.23), áåç îïðåäåëåíèÿ åãî êîðíåé, óçíàòü ÿâëÿåòñÿ ëè èññëåäóåìàÿ öåïü óñòîé÷èâîé.Êðèòåðèé ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: öåïü ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè ïîëèíîì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì Ãóðâèöà.
Ïðèýòîì èñïîëüçóåòñÿ îñíîâíîå ñâîéñòâî ïîëèíîìà Ãóðâèöà: âñå åãîêîðíè íàõîäÿòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0 ÿâëÿëñÿ ïîëèíîìîì Ãóðâèöà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëèïîëîæèòåëüíûìè îïðåäåëèòåëü ÐàóñàÃóðâèöà:368Dn -1bm -1bm0=0. . .0bm - 3bm - 2bm -1bm. .
.0bm -5bm - 4bm - 3bm - 2. . . .0LLLL. .L000;0. .b0è âñå ãëàâíûå ìèíîðû ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ.Ïðè ñîñòàâëåíèè îïðåäåëèòåëÿ Ãóðâèöà ìîæíî ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì.  ïåðâîé ñòðîêå çàïèñûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà Ãóðâèöà ÷åðåç îäèí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Âîâòîðîé ñòðîêå çàïèñûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà ÷åðåç îäèí,íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî. Âòîðàÿ ïàðà ñòðîê ôîðìèðóåòñÿ ïóòåì ñìåùåíèÿ ïåðâîé ïàðû ñòðîê íà îäíó ïîçèöèþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
