Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 36
Текст из файла (страница 36)
å. ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå èìååò äèñêðåòíûé ñïåêòð, ñîñòîÿùèéèç äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íà ÷àñòîòàõ ±w 0.Ñïåêòð îäèíî÷íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà (ñì. ðèñ. 9.2)ìîæíî íàéòè êàê íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.6), òàê è ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè q ® ¥ (T® ¥) âðàçëîæåíèè (5.27).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì219F (jw)f (t)1w0-w 0 0w-p 0-2pà)pw0t2pá)Ðèñ. 9.5f (t)f1 (t)10Tt0tèÐèñ. 9.6tèÐèñ. 9.7F (jw)w0w00w 0 2p w 0 + 2ptètètww 0 2p w 0 + 2ptètèÐèñ. 9.8F ( jw ) = 1 × t èsin ( w t è 2 ).w tè 2(9.46)Íà ðèñ. 9.3 èçîáðàæåí ñïåêòð îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Ñðàâíåíèåðèñ. 9.3 è ðèñ. 5.4 ïîêàçûâàåò, ÷òî ïî ñâîåé ôîðìå ñïåêòð îäèíî÷íîãî èìïóëüñà ñîâïàäàåò ñ îãèáàþùåé äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ èìïóëüñîâ, îäíàêî ñïåêòð îäèíî÷íîãî èìïóëüñà ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíûì.Èç óñëîâèÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ÷àñòîòíûìè è âðåìåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñèãíàëà ñëåäóåò, ÷òî ñèãíàë ñ îãðàíè÷åííûì ïî÷àñòîòå ±w 0 ñïåêòðîì ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû (ðèñ.
9.5, à) èìååòáåñêîíå÷íóþ ïðîòÿæåííîñòü è ôîðìó, àíàëîãè÷íóþ ñïåêòðó ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà (ðèñ. 9.5, á).Ñïåêòð ðàäèîèìïóëüñà (ðèñ. 9.6) ìîæíî íàéòè êàê ïðîèçâåäåíèå âèäåîèìïóëüñà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû (ðèñ. 9.7) è ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (9.43). Òîãäà, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé ñâåðòêè(9.30), ïîëó÷èì:220j (w)|F (jw)|1/ap /200wà)wá)Ðèñ. 9.9f (t)1e- a t0tÐèñ.
9.10Am(9.47){ F éë j ( w - w0 ) ùû + F éë j ( w + w0 ) ùû } .2Íà ðèñ. 9.8 ïîêàçàí âèä ñïåêòðà ðàäèîèìïóëüñà.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî íàéòè ñïåêòð ñèãíàëîâ è áîëååñëîæíîé ôîðìû.F ( jw ) =Ïðèìåð. Íàéòè ñïåêòð ýêñïîíåíöèàëüíîãî èìïóëüñàì -atf (t ) = íeî 0ïðèïðèt 0,t < 0. ñîîòâåòñòâèè ñ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì (9.6) ïîëó÷àåìF ( jw ) =¥òe- ( a + jw ) t0dt =1=a + jw12a +w2e - jj ( w ) ,ãäå F ( jw ) = 1 a 2 + w 2 àìïëèòóäíûé (ðèñ. 9.9, à) è j ( w ) = arctg ( w a ) ôàçîâûé (ðèñ. 9.9, á) ñïåêòðû ñèãíàëà.Ïðèìåð 2.
Îïðåäåëèòü ñïåêòð çàòóõàþùåãî êîëåáàíèÿ (ðèñ. 9.10)f ( t ) = 1 ( t ) e -at sin w 1 t .Ñîãëàñíî (9.6) íàõîäèìF ( jw ) =¥- ( a + jw )tsin w 1 t dt =òe0w1a 2 - w 2 + w 21 + j2aw.Îòñþäà íàõîäèì ñïåêòðû:221j (w)|F (jw)|w1p /2a 2 + w1200wà)á)wÐèñ. 9.11àìïëèòóäíûé (ðèñ. 9.11, à)F ( jw ) =w1( a 2 - w 2 + w 21 )2+ ( 2aw ) 2è ôàçîâûé (ðèñ.
9.11, á)j ( w ) = arctg2aw.a 2 - w 2 + w 21 òàáëèöå 9.1 ïðèâåäåíû ñïåêòðû íåêîòîðûõ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ñèãíàëîâ.9.5. ×àñòîòíûé àíàëèç ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéïðè íåïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõÏðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ôîðìå èíòåãðàëàÔóðüå (9.6) è (9.7) ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ãàðìîíèêàì, ñîñòàâëÿþùèì åãî ñïåêòð, ÷àñòîòíûå ìåòîäû àíàëèçàðàññìîòðåíû â ãë.
3 è 4.  ÷àñòíîñòè, åñëè öåïü íàõîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ò. å. äî íà÷àëà âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ âðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè íå áûëà íàêîïëåíà ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé), òî ïî àíàëîãèè ñ (3.46), (3.48) è (3.49)ìîæíî çàïèñàòü çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äëÿ ñïåêòðîâ:I ( jw ) = U ( jw ) Z ( j w ) = U ( jw ) Y ( j w ) ;m(9.48)å Ik ( jw ) = 0;(9.49)å Uk ( jw ) = 0,(9.50)k =1nk =1ãäå I(jw), U(jw) ñïåêòðû òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé ñîîòâåòñòâåííî; Z1 (jw) è Y(jw) èìåþò ñìûñë êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé*è ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé .
Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äëÿ ñïåêòðîâ*Ýòî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (9.14): I(jw) = TI/ 2; U(jw) = TU/ 2; îòñþäà:Z(jw) = U(jw)/ I(jw) = U/ I = Z = 1/ Y.222Òàáëèöà 9.1Òèïû ñèãíàëàÑïåêòðS; q1 ap Ô×Õ20S11a + jwe -ata>00tS2aa + w2e -a|t|2wwq 00t0Sf1t è æ sin wt è 4 ö2 çè wt è 4 ÷ø- tè 2 0 tè 2f1epae -aww0 q0-2p at2S2w 2 2q 00twwSf1- 2p wè2t- a20p wè2p w è0- p wè p wèp w è ïðè w < w è0ïðè w > wèt- w è q 0 wè0e -atwwS; qjw + at( j w + a ) + w2A×ÕÔ×Õ20w- p22 a1f1A×Õ- w00w0w223ïîçâîëÿþò ðàñïðîñòðàíèòü ðàññìîòðåííûå ðàíåå ÷àñòîòíûå ìåòîäûàíàëèçà öåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ è ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ âîçäåéñòâèÿõ íà íåïåðèîäè÷åñêèå ñèãíàëû. ñëó÷àå, åñëè íåîáõîäèìî íàéòè âûõîäíóþ ðåàêöèþ öåïè â âèäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðè âîçäåéñòâèè íà âõîäå íåïåðèîäè÷åñêîãîñèãíàëà, èñïîëüçóþò êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè (ñì.§ 4.1).
Ïðè ýòîì ñïåêòð âûõîäíîé ðåàêöèè ñîãëàñíî (4.1) è (4.2)F2 ( jw ) = F1 ( jw ) H ( jw ) .(9.51)Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðà F2 (jw) âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ f2 (t) ìîæåò áûòü íàéäåíà ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå(9.7) èëè ïî òàáëèöàì.Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà â öåïè(ðèñ. 9.12), åñëè íà âõîä äåéñòâóåò åäèíè÷íûé èìïóëüñ (ðèñ. 9.7) ñ àìïëèòóäîé U1 = 4 Â.Äëÿ çàäàííîãî âõîäíîãî ñèãíàëà (3.15) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äàåò âûðàæåíèåU1 ( jw ) =tèò U1e- jw tdt =0U11 - e - jw t ,jw()êîòîðîå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïðèíèìàåò áîëåå óäîáíóþ ôîðìó (ñì. (9.46)):U1 ( jw ) =wt2U1sin è ew2-jw tè2= U1 t èw tèw tè2 e-j 2 .w tè2sinÊîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà íàõîäèòñÿ ïîôîðìóëå (9.51)U 2 ( jw ) = H ( jw ) × U1 ( jw ) ,ãäå H ( jw ) êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ïî íàïðÿæåíèþ.Ôóíêöèÿ H ( jw ) íàõîäèòñÿ êàê îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ U 2 íà âûõîäå öåïè ê êîìïëåêñíîìó çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ U 1 òîé æå ÷àñòîòû, ïðèëîæåííîìó êî âõîäó öåïè:H ( jw ) = U 2 U 1 =1 + jwR2C.1 + jw ( R1 + R2 ) CÏðè ýòîì ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà:R1u12U1 ( 1 + jw R2C )w tè - jU 2 ( jw ) =sinew éë 1 + jw ( R1 + R2 ) C ùû2iR2CÐèñ.
9.12224u2w tè2.Îòñþäà íàõîäèì ìîäóëè: ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿU1 ( w ) = U1 ( jw ) =À×Õ öåïè2U1w tèsin;w2_9U1 ( f ) .10 ,  .c2502001501005001020304050 f, ÌÃö1020304050 f, ÌÃö1020304050 f, ÌÃöH( f )10,5_9U2 ( f ) .10 ,  .c0250200150100500Ðèñ. 9.13H ( w ) = H ( jw ) =1 + ( w R2 C )1 + w 2 ( R1 + R22)2 C2;ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿU 2 ( w ) = U 2 ( jw )2U1w tèsin=w21 + ( w R2 C )1 + w 2 ( R1 + R22)2 C2.Íà ðèñ. 9.13 èçîáðàæåí ñïåêòð âõîäíîãî ñèãíàëà, À×Õ öåïè è ñïåêòð âûõîäíîãî ñèãíàëà U 2 ( f ) .9.6.
Óñëîâèÿ áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ÷åðåç ëèíåéíóþ öåïü×àñòîòíûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûì è íàãëÿäíûì ïðè àíàëèçå ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ÷åðåç ëèíåéíóþ ñèñòåìó. Îí ïîçâîëÿåò îöåíèòü ÷àñòîòíûå èñêàæåíèÿ â êàíàëå ñâÿçè,òðåáîâàíèÿ ê õàðàêòåðèñòèêàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îñîáåííîâàæíî îïðåäåëèòü òðåáîâàíèÿ ê À×Õ è Ô×Õ öåïè ñ òî÷êè çðåíèÿ èñêàæåíèÿ ôîðìû ñèãíàëà. Îïðåäåëèì óñëîâèÿ íåèñêàæàåìîé ïåðåäà÷è ñèãíàëà ÷åðåç ëèíåéíóþ ñèñòåìó. Ïðåäïîëîæèì,225÷òî íà âõîäå ëèíåéíîé öåïè, êàê ÷åòûðåõïîëþñíèêà äåéñòâóåòñèãíàë f1 (t) îïðåäåëåííîé ôîðìû (ðèñ. 9.12).
Íà âûõîäå â ðåçóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà ÷åðåç ÷åòûðåõïîëþñíèê ñ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H(jw) àìïëèòóäà ñèãíàëàìîæåò èçìåíèòüñÿ (íà ðèñ. 9.12 óìåíüøèëàñü), è ñèãíàë âñëåäñòâèå êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæåò çàïàçäûâàòü îòíîñèòåëüíî âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ íà t 0 . Îäíàêî âàæíî,÷òîáû ïðè ýòîì íå èçìåíèëàñü ôîðìà ñèãíàëà. Òàêèì îáðàçîì,óñëîâèå áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâàf2 ( t ) = kf1 ( t - t0 ) ,(9.52)ãäå k íåêîòîðàÿ âåùåñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ; t0 âðåìÿ çàäåðæêè(çàïàçäûâàíèÿ) âûõîäíîãî ñèãíàëà îòíîñèòåëüíî âõîäíîãî. Ïðèìåíèâ ê (9.52) ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ó÷òÿ ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè è òåîðåìó çàïàçäûâàíèÿ (ñì.
§ 9.2), ïåðåïèøåì óñëîâèå(9.52) â ÷àñòîòíîé îáëàñòè:F2 ( jw ) = kF1 ( jw ) e - jwt0 .(9.53)Òàê êàê êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ñ ó÷åòîì (4.5)äîëæíà áûòüF ( jw )jj wH ( jw ) = H ( j w ) e ( ) = 2= ke - jwt0 ,F1 ( jw )òî îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáîâàíèå ê À×Õ è Ô×Õ íåèñêàæàþùåé öåïèH ( jw ) = k = const;(9.54)j ( w ) = -wt0 ,(9.55)ò. å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíàÿ öåïü íå èñêàæàëà ôîðìó ñèãíàëà ååÀ×Õ äîëæíà áûòü ðàâíîìåðíîé (ðèñ. 9.13, à), à Ô×Õ ëèíåéíîé(ðèñ. 9.13, á).Óñëîâèå áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è âî âñåì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíåìîæíî âûïîëíèòü ëèøü äëÿ ðåçèñòèâf (t)*íûõöåïåé.
 öåïÿõ ñ ðåàêòèâíûìèf1 (t)ýëåìåíòàìè óñëîâèÿ (9.54) è (9.55)f2 (t)ìîæíî îáåñïå÷èòü ëèøü â îãðàíè÷åííîì÷àñòîòíîì äèàïàçîíå w 0 (íà ðèñ. 9.13ïîêàçàíî ïóíêòèðîì).0 ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñt0têèé èíòåðåñ âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôîðìóñèãíàëà îòêëîíåíèÿ À×Õ è Ô×Õ îòÐèñ. 9.12*Åñëè ïðåíåáðå÷ü çàâèñèìîñòüþ ñîïðîòèâëåíèé ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ îò ÷àñòîòû(ñì. ãë.
1).226|H (jw)|j (w)k00w0à)|H(jw)|1w0ww-w 0á)Ðèñ. 9.130w0 wÐèñ. 9.14èäåàëüíîé. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðîõîæäåíèå ñèãíàëà âôîðìå åäèíè÷íîé ôóíêöèè, â ôîðìå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà è èìïóëüñà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû ÷åðåç öåïü ñ À×Õ, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 9.14. Ýòà öåïü ñîîòâåòñòâóåò èäåàëüíîìó ÔÍ× (ñì.
ãë. 17) èçàäàåòñÿ óñëîâèåììï1 × e - jwt0 ïðè - w 0 < w w 0 , üï(9.56)H ( jw ) = íýïðè - w 0 w > w 0. ïþïî 0Ôèëüòð íèæíèõ ÷àñòîò ïðîïóñêàåò áåç èñêàæåíèé âñå ÷àñòîòíûåñîñòàâëÿþùèå îò 0 äî w 0 è çàäåðæèâàåò ñîñòàâëÿþùèå áîëüøå w 0.Åäèíè÷íûé èìïóëüñ. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå âõîäíîé ñèãíàë f1(t)â ôîðìå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà (ðèñ. 7.2, á). Òàê êàê äëÿ åäèíè÷íîãî èìïóëüñà F1(jw) = 1, òî ñ ó÷åòîì (9.56) è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.7), ïîëó÷èì:ww1 0 j w( t - t 0 )f2 ( t ) =dw =ò e2p -w0w01 0=coswdw+jttéù0 )ûòò sin éë w ( t - t0 ) ùû dw .ë (2p -w0-w0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, îêîí÷àòåëüíî ïîñëåèíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì:f2 ( t ) =w 0 sin éë w 0 ( t - t0 ) ùû×.pw 0 ( t - t0 )(9.57)Íà ðèñ.
9.15 èçîáðàæåíà ôîðìà âûõîäíîãî ñèãíàëà f2 (t), îïðåäåëÿåìàÿ ôóíêöèåé (9.57). Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ôîðìà âûõîäíîãî ñèãíàëà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò âõîäíîãî èìïóëüñà f1 (t):îí èñêàæàåòñÿ ïî ôîðìå è ðàñòÿãèâàåòñÿ âî âðåìåíè (òåîðåòè÷åñêèíà áåñêîíå÷íîñòü), ÷òî îòðàæàåò óñòàíîâëåííîå ðàíåå ñîîòíîøåíèåìåæäó äëèòåëüíîñòüþ ñèãíàëà è øèðèíîé åãî ñïåêòðà: ñèãíàë îãðàíè÷åííûé ïî ÷àñòîòå áåñêîíå÷åí âî âðåìåíè è íàîáîðîò (ñì.§ 9.4). Çàïàçäûâàíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà t 0 îïðåäåëÿåòñÿ êðóòèçíîé Ô×Õ: t 0 = dj / dw). Ñ óâåëè÷åíèåì w 0 (ñ ðàñøèðåíèåì ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ ôèëüòðà) øèðèíà ãëàâíîãî ëåïåñòêà èìïóëüñà227f (t)1/tf2 (t)f1 (t)1w 0/p0t0,5t2p /w 0t0Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
