Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Åñëè ïðèíÿòü â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ â ôîðìóëå (7.1) a = 0,òî ð = jw, è ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2)F(p)p = jw= F ( jw ) =¥ò f (t )e- j wtdt,(9.25)0ò. å. ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ îäíîñòîðîííèì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå(9.24).Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà(7.4) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî dp = jdw:1 c + j¥1 ¥ptf (t ) =F ( p ) e dp =F ( jw ) e jwt dw ,òò2pj c - j¥2p -¥(9.26)÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ (9.7).Òàêèì îáðàçîì, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àéïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïðè a = 0. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òîïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò áîëåå óçêóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ,÷åì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, òàê êàê óñëîâèå (9.1), êîòîðûìäîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèè, ïðåîáðàçóåìûå ïî Ôóðüå áîëåå æåñòêîå, ÷åì óñëîâèå (7.3).
Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîéïðèìåíèìî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (9.6) âñåãäà ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà ïî Ëàïëàñó, íî íå íàîáîðîò.  ýòîé ñâÿçè èçîáðàæåíèå F(p) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñâîåãî ðîäà îáîáùåííûéñïåêòð ñèãíàëà f(t).2149.2. Îñíîâíûå òåîðåìû ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçàÊàê áûëî óñòàíîâëåíî âûøå, ìåæäó ñèãíàëîì è åãî ñïåêòðîìñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ ñâÿçü, îïðåäåëÿåìàÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Ïîñêîëüêó â ïðîöåññå ïåðåäà÷è ñèãíàëà îí ïîäâåðãàåòñÿ ðàçëè÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, î÷åíü âàæíî óñòàíîâèòüêàê ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ ñïåêòð ñèãíàëà. Ýòî èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå ñ òî÷êè çðåíèÿ âûáîðà îïòèìàëüíûõ ìåòîäîâ ïåðåäà÷è, ïðèåìà, òðåáîâàíèé ê ïàðàìåòðàì êàíàëà ñâÿçè.Ðàññìîòðèì îñíîâíûå òåîðåìû î ñïåêòðàõ, èìåþùèõ ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå â ýëåêòðîñâÿçè. Ó÷èòûâàÿ ñâÿçü ìåæäó ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è Ëàïëàñà è èìåÿ â âèäó äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõòåîðåì, äàííûõ â § 7.1, îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè îñíîâíûõ òåîðåì ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà.Ñïåêòð ñóììû ñèãíàëîâ (òåîðåìà ëèíåéíîñòè) ðàâåí ñóììåñïåêòðîâ ýòèõ ñèãíàëîâ.
Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Â áîëåå îáùåì âèäå îíî ìîæåò áûòüçàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:nnk =1k =1å ak fk ( t ) å ak Fk ( jw ),(9.27)ãäå ak êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ; çíàê ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ñèãíàëîì è åãî ñïåêòðîì, îïðåäåëÿåìîãî ïàðîé ïðåîáðàçîâàíèéÔóðüå.Ñäâèã ñèãíàëà âî âðåìåíè f (tt0) ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþåãî ñïåêòðà íà e - jw0t :f ( t - t 0 ) F ( jw ) e - jw 0t .(9.28)Èç (9.28) ñëåäóåò âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå ñèãíàëàâî âðåìåíè åãî àìïëèòóäíûé ñïåêòð íå èçìåíÿåòñÿ, à ôàçîâûé èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî wt0.
Ýòà òåîðåìà èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå, òàê êàê â ïðîöåññå îáðàáîòêè ñèãíàëîâ ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü îñóùåñòâëÿòü çàäåðæêó ñèãíàëà (ñì. ãë. 18, 19).Èçìåíåíèå ìàñøòàáà íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî (ñæàòèå ñèãíàëà) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåìf ( at ) 1 æ jw öFç÷.a è a ø(9.29)Èç (9.29) ñëåäóåò, ÷òî ñæàòèå ñèãíàëà âî âðåìåíè (à > 1) ïðèâîäèòê ðàñøèðåíèþ ñïåêòðà ñèãíàëà è íàïðîòèâ ðàñòÿæåíèå ñèãíàëà(à < 1) ê ñóæåíèþ ñïåêòðà.Ïåðåìíîæåíèå äâóõ ñèãíàëîâ (òåîðåìà ñâåðòêè). Ñïåêòð ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé f1(t) è f2(t) ñîîòâåòñòâóåò ñâåðòêå èõñïåêòðîâ F1(jw) è F2(jw):215f1 ( t ) f2 ( t ) 1 ¥ò F1 ( jW ) F2 ( jw - jW ) dW .2p -¥(9.30)Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò îáðàòíàÿ òåîðåìà î ïðîèçâåäåíèè ñïåêòðîâ ñèãíàëîâ:F1 ( jw ) F2 ( jw ) ¥ò-¥f1 ( t ) f2 ( t - t ) d t =¥ò-¥f1 ( t - t ) f2 ( t ) d t .
(9.31)Ñâåðòêà ôóíêöèé øèðîêî èñïîëüçîâàëàñü ðàíåå âî âðåìåííûõìåòîäàõ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (ñì. ãë. 8).Äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ñèãíàëà. Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ñèãíàëà åãî ñïåêòð óìíîæàåòñÿ íà îïåðàòîð jw:df ( t ) j wF ( j w ) ,dtà ïðè èíòåãðèðîâàíèè äåëèòñÿ íà jw:tòf ( t ) dt -¥1F ( jw ) .jw(9.32)(9.33)Äîêàçàòåëüñòâî (9.32)(9.33) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãîè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå.
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî(9.33) ñïðàâåäëèâî äëÿ ñèãíàëîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþF(0) = 0.Ñìåùåíèå ñïåêòðà ñèãíàëà íà ÷àñòîòó m W ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ñèãíàëà íà îïåðàòîð e ± jW t :F [ j ( w m W ) ] e ± jW t f ( t ) .(9.34)Òåîðåìà ñìåùåíèÿ (9.34) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñïåêòð ìîäóëèðîâàííîãî ñèãíàëà è èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêîé ñâÿçè.9.3. Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðåíåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëàÎïðåäåëèì ýíåðãèþ ñèãíàëà f (t) ïî åãî ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêå F(jw). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàïðÿæåíèå èëè òîê, ïðîòåêàþùèé â åäèíè÷íîì ñîïðîòèâëåíèè R = 1 Îì.Òîãäà ñîãëàñíî (1.4) ýíåðãèÿ âûäåëÿåìàÿ f (t) áóäåò ðàâíàW =¥òf 2 ( t ) dt.(9.35)-¥Ïðåäñòàâèì ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå (9.35) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ f 2 ( t ) = f ( t ) f ( t ) è ïðèìåíèì ê f (t) îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (9.7):216¥¥1 ¥()fdtF ( j w ) e j wt d w .tòòò2p -¥-¥-¥Ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ t è w, ïåðåïèøåì ïîñëåäíþþôîðìóëó â âèä奥1 ¥2j wtò f ( t ) dt = 2p ò F ( jw ) dw ò f ( t ) e dt .-¥-¥-¥Âíóòðåííèé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîïðÿæåííûé ñïåêòðF(jw).
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî F ( jw ) F ( - jw ) = F ( jw ) 2 , òî ïîëó÷èìñëåäóþùåå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (òåîðåìà Ðýëåÿ):¥f 2 ( t ) dt =1 ¥1¥22W = ò f ( t ) dt =F ( jw ) dw = ò F ( jw ) dw . (9.36)òp02p -¥-¥22Èç óðàâíåíèÿ (9.36) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà | F(jw) | ïðåäñòàâ1ëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ ñèãíàëà, ïðèõîäÿùóþñÿ íà 1 ñ òåêóùåé ÷à2ñòîòû w, ïîýòîìó êâàäðàò ìîäóëÿ ñïåêòðà | F(jw) | íàçûâàþò ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ñèãíàëà. Âèä ìîäóëÿ | F(jw) | ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè â ñïåêòðå íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèèöåïåé è ñèãíàëîâ ïðè âûáîðå ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ êàíàëà ñâÿçè,îáåñïå÷èâàþùåé íàèëó÷øåå èñïîëüçîâàíèå ýíåðãèè ñèãíàëà.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îòëè÷èå îò ôîðìóëû (5.23), ãäå ðàññìàòðèâàëàñü ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä Ò ìîùíîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî ñèãíàëà, äëÿ íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà òàêîå óñðåäíåíèå íåâîçìîæíî ( lim P = 0 ).
Îáùèì äëÿ îáåèõ ñëó÷àåâ ÿâëÿåòñÿT ®¥òî, ÷òî ìîùíîñòü è ýíåðãèÿ ñèãíàëîâ íå çàâèñÿò îò ôàç ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ.9.4. Ñïåêòðû òèïîâûõ ñèãíàëîâÎïðåäåëèì ñïåêòðû íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ òèïîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ.Åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (7.19) (ñì. ðèñ. 7.2, à).Ñòðîãî ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ (7.19) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè (ñì. § 9.1), ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ñëåctäóþùèì ïðèåìîì: óìíîæèì 1(t) íà «ãàñÿùèé» ìíîæèòåëü å(ñ = const). Ïðè ýòîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå (9.6):¥¥1t- ct - jwt()F ( jw, c ) = ò 1 t e edt = ò 1e ( c + jw ) dt =. (9.37)c + jw-¥0Ïðåîáðàçîâàíèå F(jw, c) íîñèò íàçâàíèå îáîáùåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñïåêòðà åäèíè÷íîé ôóíêöèè ïåðåéäåì ê ïðåäåëó:217|F (jw)|j (w)00-p /2wà)wá)Ðèñ. 9.4F ( jw ) = lim F ( jw, c ) =c ®011= e - j p 2.jw w(9.38)Èç óðàâíåíèÿ (9.38) ïîëó÷àåì àìïëèòóäíûé | F(jw) | = 1/w(ðèñ. 9.4, à) è ôàçîâûé ñïåêòð ôóíêöèè j(w) (ðèñ. 9.4, á): j(w) == p / 2, ò. å. àìïëèòóäíûé ñïåêòð ïðè w = 0 îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè â èñõîäíîé ôóíêöèè 1(t)ñêà÷êà ïðè t = 0 (ñì. ðèñ.
7.2, à). Äëÿ îáðàçîâàíèÿ ýòîãî ñêà÷êà âñîîòâåòñòâèè ñ (9.38) ïðè t = 0 îñóùåñòâëÿåòñÿ ñóììèðîâàíèå áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ñèíóñîèäàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ. Ñïåêòð(9.38) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí è ñ ïîìîùüþ èçîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîéôóíêöèè (7.20):1F ( j w ) = F ( p ) p = jw =.jwÅäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ d(t) çàäàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè óñëîâèÿìè (7.21).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà d-ôóíêöèèâîñïîëüçóåìñÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå (9.6), êîòîðîå ñó÷åòîì (9.8)(9.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåF ( jw ) =¥òd(t )e- jwtdt =-¥¥ò-¥d ( t ) cos w dt - j¥òd ( t ) sin w dt .-¥Òàê êàê âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, à ïåðâîå åäèíèöå âñëåäñòâèå ñâîéñòâ (7.21)(7.23), òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìF ( jw ) =¥òd ( t ) dt =1 × e j0 = 1.(9.39)-¥Òàêèì îáðàçîì, d-ôóíêöèÿ èìååò ðàâíîìåðíûé àìïëèòóäíûé èíóëåâîé ôàçîâûé ñïåêòðû.
Ðàâåíñòâî íóëþ íà âñåõ ÷àñòîòàõ ôàçîâîãî ñïåêòðà îçíà÷àåò, ÷òî âñå ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå dôóíêöèè, ñóììèðóÿñü ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè, îáðàçóþòïðè t = 0 ïèê áåñêîíå÷íî áîëüøîãî çíà÷åíèÿ.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñäâèã d-ôóíêöèè íà âðåìÿ t ïðèâîäèò ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ñì. § 9.2) ê ñïåêòðóF ( jw ) = 1 × e - jwt , ò.
å. àìïëèòóäíûé ñïåêòð ôóíêöèè d (tt) îñòàåòñÿ ïðåæíèì, à ôàçîâûé èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî wt.218Èç ðàâåíñòâà (9.39) ñîãëàñíî îáðàòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå(9.7) ñëåäóåò, ÷òî1 ¥ j wt(9.40)d(t ) =ò e dw .2p -¥Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå âçàèìîçàìåíÿåìîñòè ïàðàìåòðîâ t è w (ñì.§ 9.1), ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:d( w) =1 ¥ ± j wtò e dt .2p -¥(9.41)Óðàâíåíèÿ (9.40) è (9.41) øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â òåîðèè ñèãíàëîâ è öåïåé.Ñïåêòð ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ôóíêöèè a0 / 2 = 1/ 2 ñ ó÷åòîì (9.41) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì1 ¥ - j wtF ( jw ) = ò edt = pd ( w ) .2 -¥(9.42)Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ðàâåí íóëþ íàâñåõ ÷àñòîòàõ, êðîìå w = 0, ãäå F(jw) îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü,òî åñòü èìååì íà ÷àñòîòå w = 0 äèñêðåòíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ÷àñòîòûâ ôîðìå d-ôóíêöèè.Ñïåêòð ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîäèêóèñïîëüçîâàíèÿ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðè îïðåäåëåíèèñïåêòðà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿf ( t ) = Am cos w 0 t .(9.43)Ïðåîáðàçîâàíèå (9.6) äëÿ ôóíêöèè (9.43) èìååò âèäF ( jw ) =¥ò-¥Am e - jwt cos w 0 t dt .(9.44)Ôîðìàëüíî ôóíêöèÿ (9.43) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè, òàê êàê èìååò ïîêàçàòåëü ðîñòà ñ = 0. Ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (9.44) âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîéÝéëåðà (3.18) è óðàâíåíèåì (9.41):Am ¥ - j ( w-w0 ) tAm ¥ - j ( w+w0 ) tF ( jw ) =dt +dt =òeòe2 -¥2 -¥= p Am éë d ( w - w 0 ) + d ( w + w 0 ) ùû.(9.45)ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
