Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 32
Текст из файла (страница 32)
6.17, áóäåòèìåòü âèä (ðèñ. 7.6). Ñîñòàâèâ äëÿ ýòîé ñõåìû óðàâíåíèÿ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðûõ ñóùåñòâåííî ïðîùå ñèñòåìû (6.86).Îïåðàòîðíûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè (ñì. § 6.7). Ïðè ýòîì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ (6.94) ñ ó÷åòîì ñâîéñòâäèôôåðåíöèðîâàíèÿ îðèãèíàëà è ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïðèìåòâèä:pX ( p ) - x ( 0 ) = AX ( p ) + BW ( p ) ,(7.38)ãäå Õ(ð), W(p) èçîáðàæåíèÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ x(t) è âõîäíûõ âîçäåéñòâèé W(t).Èç (7,38) ïîëó÷àåì íåïîñðåäñòâåííî ðåøåíèåX ( p ) = ( pI - A )-1BW ( p ) + ( pI - A )-1x (0),(7.39)ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Ïðèìåíèâ ê (7.39) òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ, ìîæíîïîëó÷èòü èñêîìûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿx (t ) X ( p ).7.4. Îïåðàòîðíûå ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèèÂàæíóþ ðîëü â ìåòîäàõ àíàëèçà è ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ èãðàþò îïåðàòîðíûå ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ êàê îòíîøåíèå èçîáðàæåíèÿ âûõîäíîé ðåàêöèè öåïè ê èçîáðàæåíèþ âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì ðàçëè÷àþò ÷åòûðå âèäàïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé:*Âîçìîæíû ñõåìû çàìåùåíèÿ çàðÿæåííîé åìêîñòè uC(0) è èíäóêòèâíîñòè ñ òîêîìiL(0) ñ ïîìîùüþ èñòî÷íèêîâ òîêà ñ çàäàþùèìè òîêàìè CuC(0) è iL(0)/p ñîîòâåòñòâåííî.196U2 ( p )I (p) ü, Hi ( p ) = 2,U1 ( p )I1 ( p ) ïïU2 ( p )I2 ( p ) ýïHZ ( p ) =, HY ( p ) =.I1 ( p )U1 ( p ) ïþHu ( p ) =(7.40)ãäå Íè (ð), Hi (p) èìåþò ñìûñë îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ïî íàïðÿæåíèþ è òîêó; ÍL(ð); ÍY (ð) îïåðàòîðíûå ïåðåäàòî÷íûå ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü ñîîòâåòñòâåííî.Åñëè â (7.40) çàìåíèòü îïåðàòîð ð íà jw, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèåêîìïëåêñíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé Í(jw), êîòîðûå áûëè ðàññìîòðåíû â § 4.1 è øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ÷àñòîòíûõ ìåòîäàõàíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (ñì.
§ 4.24.4, 9.5).Çíàÿ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè Í(ð), ñ ïîìîùüþ (7.40) íåòðóäíî íàéòè èçîáðàæåíèå ðåàêöèè öåïè, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñàìóðåàêöèþ íà çàäàííîå âîçäåéñòâèå.Îïåðàòîðíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ Í(ð) äëÿ ïàññèâíîé öåïèìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè:H(p) =èëè â âèäåan p n + an -1p n -1 + K + a1p + a0bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0H(p) = H=w( p);v(p)(7.41)( p - p0 ) ( p - p02 ) K ( p - p0n ),( p - p1 ) ( p - p2 ) K ( p - pm )(7.42)ãäå p01, p02, ..., p0n íóëè; p1, p2, ..., pm ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè; Í = àn /bm.Ñòåïåíè ïîëèíîìîâ ÷èñëèòåëÿ ï è çíàìåíàòåëÿ ò çàâèñÿò îò÷èñëà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïàññèâíîé öåïè.Çàìåíèâ â (7.41) îïåðàòîð ð íà jw, ïîëó÷èì êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïèH ( jw ) = H ( j w ) ejj ( w ),ãäå À×Õ öåïè( a0 - a2w 2 + a4w 4 - K ) + ( a1w - a3w 3 + a5w5 - K ) ; (7.43)22( b0 - b2w 2 + b4w 4 - K ) + ( b1w - b3w 3 + b5w5 - K )2H ( jw ) =Ô×Õ öåïè(a1w - a3w 3 + a5w 5 - K )j ( w ) = arctg24( a 0 - a 2w + a 4 w - K )(b1w - b3w 3 + b5w 5 - K )-arctg.( b0 - b2w 2 + b4w 4 - K )2(7.44)197Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî (7.43) | H(jw) | ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíîé, îáû÷íî ïðè àíàëèçå è ñèíòåçå öåïåé èìåþò äåëî ñ êâàäðàòîìÀ×Õ:c0w 2n + c1w 2n - 2 + K + cn -1w 2 + cn2H ( jw ) =,(7.45)d0w 2m + d1w 2m - 2 + K + dm -1w 2 + dmãäå êîýôôèöèåíòû ñk è dk ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì îáúåäèíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé w.Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõôóíêöèé è êâàäðàòà À×Õ ïàññèâíûõ öåïåé:1.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Âåùåñòâåííîñòü êîýôôèöèåíòîâ îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè îïðåäåëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ñõåìû.2. Ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàñïîëàãàþòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð. Íà ðàñïîëîæåíèå íóëåéîãðàíè÷åíèé íåò. Äîêàæåì ýòî ñâîéñòâî íà ïðèìåðå ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèè Íè(ð) = U2(ð)/U1(ð). Âûáåðåì âõîäíîå âîçäåéñòâèåu1(t) = d(t) èëè â îïåðàòîðíîé ôîðìå U(ð) = l.
Èçîáðàæåíèå âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ U2(ð) = U1(ð) Íè(ð) â ýòîì ñëó÷àå ÷èñëåííîðàâíî Íè(ð), ò. å.w( p)=U2 ( p ) = Hu ( p ) = mp + bm -1p m -1 + K + b1p + b0w( p)AmA1A2==++K+,p - pm( p - p1 ) ( p - p2 ) K ( p - pm ) p - p1 p - p2ãäå w(p) ïîëèíîì ÷èñëèòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè; A1, A2, ...,Am, êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèèíà ñóììó ïðîñòûõ äðîáåé.Ïåðåéäåì îò èçîáðàæåíèÿ U2 (p) ê îðèãèíàëó u2(t):u 2 ( t ) = A1ep1t+ A2ep 2t+ K + Am e pmt ,(7.46)ãäå â îáùåì ñëó÷àå pi = a i + jw i . ïàññèâíûõ è óñòîé÷èâûõ àêòèâíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêàõ êîëåáàíèÿ íà âûõîäå ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ âîçäåéñòâèÿ äîëæíû èìåòü çàòóõàþùèé õàðàêòåð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â(7.46) âåùåñòâåííûå ÷àñòè ïîëþñîâ pi äîëæíû áûòü îòðèöàòåëüíûìè (a i < 0), ò.
å. ïîëþñû äîëæíû íàõîäèòüñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé ð.3. Ñòåïåíè ïîëèíîìîâ ÷èñëèòåëåé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè èêâàäðàòà À×Õ íå ïðåâûøàþò ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ çíàìåíàòåëåé,ò. å. ï < ò. Åñëè áû ýòî ñâîéñòâî íå âûïîëíÿëîñü, òî íà áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ÷àñòîòàõ À×Õ ïðèíèìàëà áû áåñêîíå÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå (òàê êàê ÷èñëèòåëü ðîñ áû ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû áûñòðååçíàìåíàòåëÿ), ò. å. öåïü îáëàäàëà áû áåñêîíå÷íûì óñèëåíèåì, ÷òîïðîòèâîðå÷èò ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó.198R1i1 R1Ri3Li2R2UCR2ERCR3Ðèñ. 7.7Ðèñ.
7.8Ðèñ. 7.94. Êâàäðàò À×Õ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé w ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòî ñâîéñòâî ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò èç ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ êâàäðàòà À×Õ ïî ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè.5. Êâàäðàò À×Õ íå ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûõ è áåñêîíå÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé ïðè w > 0.
Íåîòðèöàòåëüíîñòü H ( jw ) 2ñëåäóåò èç ñâîéñòâ êâàäðàòà ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû. Êîíå÷íîñòü çíà÷åíèé À×Õ íà ðåàëüíûõ ÷àñòîòàõ îáúÿñíÿåòñÿ òàê æå,êàê è â ñâîéñòâå 3.Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóùíîñòü îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà öåïè?2. ×òî òàêîå îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè?3. ×òî òàêîå îïåðàòîðíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ ïðè ñîñòàâëåíèè ýêâèâàëåíòíîé îïåðàòîðíîé ñõåìû?4. ×åì çàìåíÿþòñÿ èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè â îïåðàòîðíîé ñõåìåçàìåùåíèÿ?5. Êàê ó÷èòûâàþòñÿ íåçàâèñèìûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ?6. Çàïèñàòü çàêîí Îìà è çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå.7. ×òî òàêîå åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ è d-ôóíêöèÿ?8. ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé? Êàêîâû åå ñâîéñòâà?9.
Êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïåðåéòè îò èçîáðàæåíèÿ ê îðèãèíàëó?10. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 7.7, îïåðàòîðíûì ìåòîäîìîïðåäåëèòü íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå uC (t). U = 20 Â; R1 == R2 = 100 Îì; Ñ = 4 ìêÔ.3Îòâåò: uC (t) = 10 10e -5×10 t , Â.11. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 7.8, íàéòè èçîáðàæåíèå òîêàI2 (p).1,675 × 10 -3 p + 5Îòâåò: I2 (p) =.p ( p + 2 × 10 3 )12. Çíàÿ èçîáðàæåíèå òîêà (ðèñ. 7.8), îïðåäåëèòü îðèãèíàë i2 (t).3Îòâåò: i2 (t) = 2,5 0,825 e -2×10 t .19913. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 7.9, îïðåäåëèòü:1) îïåðàòîðíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ Hu (p);2) íàéòè À×Õ öåïè.RRÎòâåò: H u ( p ) =; H ( w) =.2R + pL4R 2 + w 2L2ÃËÀÂÀ 8. ÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÅÒÎÄ ÀÍÀËÈÇÀ ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÕÏÐÎÖÅÑÑΠ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ8.1. Ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêèýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îñíîâå âðåìåííîãî ìåòîäà ëåæèò ïîíÿòèå ïåðåõîäíîé è èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèê öåïè. Ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïèíàçûâàþò ðåàêöèþ öåïè íà âîçäåéñòâèå â ôîðìå åäèíè÷íîé ôóíêöèè (7.19).
Îáîçíà÷àåòñÿ ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè g(t).Èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè íàçûâàþò ðåàêöèþ öåïè íàâîçäåéñòâèå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè (d-ôóíêöèè) (7.21).Îáîçíà÷àåòñÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h (t). Ïðè÷åì, g(t) è*h (t) îïðåäåëÿþòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â öåïè . Âçàâèñèìîñòè îò òèïà ðåàêöèè è òèïà âîçäåéñòâèÿ (òîê èëè íàïðÿæåíèå) ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ìîãóò áûòü áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, ëèáî èìåþò ðàçìåðíîñòü À/ èëè Â/À.Èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèé ïåðåõîäíîé è èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèê öåïè ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðàñ÷åò ðåàêöèè öåïè îò äåéñòâèÿ íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ê îïðåäåëåíèþ ðåàêöèèöåïè íà ïðîñòåéøåå âîçäåéñòâèå òèïà åäèíè÷íîé 1(t) èëè èìïóëüñíîé ôóíêöèè d(t), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóåòñÿ èñõîäíûé ñèãíàë.
Ïðè ýòîì ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ ëèíåéíîé öåïè íàõîäèòñÿ (ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ) êàê ñóììà ðåàêöèé öåïè íà ýëåìåíòàðíûå âîçäåéñòâèÿ 1(t) èëè d(t).Ìåæäó ïåðåõîäíîé g(t) è èìïóëüñíîé h (t) õàðàêòåðèñòèêàìèëèíåéíîé ïàññèâíîé öåïè ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ñâÿçü.
Åå ìîæíî óñòàíîâèòü, åñëè ïðåäñòàâèòü åäèíè÷íóþ èìïóëüñíóþ ôóíêöèþ÷åðåç ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ðàçíîñòè äâóõ åäèíè÷íûõ ôóíêöèé âåëè÷èíû 1/t, ñäâèíóòûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà âðåìÿ t (ñì.ðèñ. 7.4):1( t ) - 1( t - t )d=1 ( t ) = 1¢ ( t ) ,t® 0tdtd ( t ) = lim*(8.1)Èìïóëüñíûå è ïåðåõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïåé îòíîñÿòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì íîðìèðîâàííûì âðåìåííûì õàðàêòåðèñòèêàì, ïîñêîëüêó îíè ðàññìàòðèâàþòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê åäèíè÷íîé ïëîùàäè èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ èëè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà.200Rò. å.
åäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà ïðîèçâîäíîé åäèíè÷íîé ôóíêöèè. Òàêêàê ðàññìàòðèâàåìàÿ öåïü ïðåäïîëàãàåòñÿëèíåéíîé, òî ñîîòíîøåíèå (8.1) ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ èìïóëüñíûõ è ïåðåõîäíûõðåàêöèé öåïèu1 = UCuC = u2Ðèñ. 8.1dg ( t )= g¢ ( t ) ,(8.2)dtò. å. èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè.Óðàâíåíèå (8.2) ñïðàâåäëèâî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà g(0) = 0 (íóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ öåïè). Åñëè æå g(0) ¹ 0, òî ïðåäñòàâèâg(t) â âèäå g(t) = g1 ( t ) + g ( 0 ) 1 ( t ) , ãäå g1 ( 0 ) = 0, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñâÿçè äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:h (t ) =h ( t ) = g¢ ( t ) = g1¢ ( t ) + g ( 0 ) d ( t ) .(8.3)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðåõîäíûõ è èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê öåïèìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê êëàññè÷åñêèé, òàê è îïåðàòîðíûé ìåòîäû.Ñóùíîñòü êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè âðåìåííîéðåàêöèè öåïè (â ôîðìå íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà â îòäåëüíûõ âåòâÿõöåïè) íà âîçäåéñòâèå åäèíè÷íîé 1(t) èëè èìïóëüñíîé d(t) ôóíêöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
