Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Ïðè ýòîì ðåøåíèå x íà (n + 1)øàãå îïðåäåëÿåòñÿ àëãîðèòìîìnx n +1 = xk - j + h å b i fk - i ,(6.105)i=0ãäå h — øàã; bi — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû; fk — çíà÷åíèå àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà â òî÷êå k. Êàê ñëåäóåò èç (6.105) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ õk + j ; íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ õ1, õ2, ...,õj — îíè íàõîäÿòñÿ îáû÷íî ëèáî àíàëèòè÷åñêè, ëèáî ìåòîäîì Ðóíãå—Êóòòà.Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1.

Êàêîâû ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ?2. Ñôîðìóëèðîâàòü çàêîíû êîììóòàöèè.3. Äàòü ïîíÿòèÿ ïåðåõîäíîãî, óñòàíîâèâøåãîñÿ è ñâîáîäíîãî ðåæèìîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.4. ×òî òàêîå íóëåâûå è íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ?5. Êàêîé âèä èìååò ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåõîäíûõ êîëåáàíèé â öåïÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêà?6. ×òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ?7. Êàê ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ â öåïÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêà?8. ×òî òàêîå ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè?9. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.22, îïðåäåëèòü òîê i (t) èíàïðÿæåíèå íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè uL(t), åñëè U = 90 Â;L = 0,25 Ãí; R1 = 20 Îì; R2 = R3 = 5 Îì.–100t–j100tÎòâåò: i (t) = 3,6 – 1,6å, À; uL(t) = 40å, Â.1831iR1R1L2R3UCUR2Ðèñ.

6.22iCUÐèñ. 6.23CiiRiLRLÐèñ. 6.24R3R2UR1LCR2Ðèñ. 6.2510. Äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.23, íàéòè uÑ (t), åñëè U == 60 Â; R1 = R2 = R3 = 5 êÎì; Ñ = 2,5 ìêÔ.–40tÎòâåò: uÑ (t) = 60 – 30å, Â.11. Êàê çàâèñèò õàðàêòåð ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â RLC-êîíòóðå îòðàñïîëîæåíèÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ?12. Êàê îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòîòà è ïåðèîä ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé?13.

×òî òàêîå ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ?14. Êàêîâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âðàçâåòâëåííûõ öåïÿõ âòîðîãî ïîðÿäêà?15. Äëÿ ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 6.24, íàéòè iL (t) è uÑ (t), åñëèU = 100 Â; L = 50 ìÃí; Ñ = 5 ìêÔ; R = 25 Îì.–540t–7460tÎòâåò: iL (t) = 0,29å– 0,29å, À;–7460t–540tuÑ (t) = 100 + 8å– 108å, Â.16. Äëÿ ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 6.25, íàéòè i (t) è uÑ (t), åñëèU = 60 Â; R1 = 250 Îì; R2 = 50 Îì; L = 50 ìÃí; C = 0,5 ìêÔ.–2500tÎòâåò: i (t) = 0,22 åsin (5800t + 67°), À;–2500tuÑ (t) = 60 + 69 åsin (5800t – 46,5°), Â.17.

 ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü ìåòîäà ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ? ×òîïîíèìàþò ïîä ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ?18. ×òî òàêîå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè? Êàêîâà åãî ìàòðè÷íàÿôîðìà çàïèñè?19.  ÷åì ñóùíîñòü ìåòîäà ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò?20. Ñóòü ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà.21. ×òî ëåæèò â îñíîâå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè?184ÃËÀÂÀ 7. ÎÏÅÐÀÒÎÐÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÀÍÀËÈÇÀÏÅÐÅÕÎÄÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑΠ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÖÅÏßÕ7.1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà è åãî ñâîéñòâàÎïåðàòîðíûé ìåòîä áåðåò íà÷àëî ñî âðåìåíè àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ âåëè÷èí, êîãäà áûëè îáíàðóæåíû îïðåäåëåííûå àíàëîãèè ìåæäó äèôôåðåíöèàëüíî-èíòåãðàëüíûìè è àëãåáðàè÷åñêèìèóðàâíåíèÿìè.  XIX â. áûë îïóáëèêîâàí ðÿä ðàáîò ïî îïåðàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ Ì.Å.

Âàùåíêî-Çàõàð÷åíêî, Î. Õýâèñàéäà,Ä. Êàðñîíà è äð. Îäíàêî ñòðîãîå îáîñíîâàíèå îïåðàòîðíûé ìåòîäïîëó÷èë òîëüêî â XX â. íà áàçå îáùåé òåîðèè ôóíêöèîíàëüíûõïðåîáðàçîâàíèé. îñíîâå îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâëåæèò ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïåðåíåñòè ðåøåíèå èç îáëàñòè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî t â îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ð:p = a + jw .(7.1)Ïðè ýòîì îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèé âðåìåíè çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè îïåðàöèÿìè óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî íà îïåðàòîð ð,÷òî ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàñ÷åò, òàê êàê ñâîäèò ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ.

 îïåðàòîðíîììåòîäå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòèìè îáñòîÿòåëüñòâàìè îáúÿñíÿåòñÿ øèðîêîå ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðàêòèêå.Ðàçëè÷àþò ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà. Ïðÿìîåïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì.F(p) =¥ò f (t ) e- ptdt,(7.2)0ãäå f (t) — ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî t, îïðåäåëåííàÿïðè t  0 (ïðè t < 0; f (t) = 0) è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì îãðàíè÷åííîãî ðîñòà:c tf ( t ) < Me 0 ,(7.3)ãäå ìíîæèòåëü Ì è ïîêàçàòåëü ðîñòà ñ0 — ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Íà ðèñ. 7.1 èçîáðàæåíà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî F(p).Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îïðåäåëÿþò èç ðåøåíèÿ(7.2):c + j¥1f (t ) =F ( p ) e ptdp.ò2pj c - j¥(7.4)185jwÔóíêöèÿ F(p), îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì(7.2), íîñèò íàçâàíèå èçîáðàæåíèÿ ïî Ëàïëàñó, à ôóíêöèÿ f (t) â (7.4) — îðèãèíàëà.

Ñëåäîâàòåëüíî, îðèãèíàë è èçîáðàæåíèå ïðåä0c0añòàâëÿþò ñîáîé ïàðó ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî f (t) è êîìïëåêñíîãî F(p) ïåðåìåííîãî,ñâÿçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà. ÄëÿÐèñ. 7.1ñîêðàùåííîé çàïèñè ïðåîáðàçîâàíèé (7.2),(7.4) èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ ñèìâîëèêó:f ( t )  F ( p ) ; f ( t ) € F ( p ) ; F ( p ) = L f ( t ) ; f ( t ) = L-1 F ( p ) ,ãäå L — îïåðàòîð Ëàïëàñà.  äàëüíåéøåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü çíàê ñîîòâåòñòâèÿ  .Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà.Ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, åãî ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìånnk =1k =1å ak fk ( t )  å ak Fk ( p ) ,(7.5)ãäå ak — ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ.

Ñâîéñòâî (7.5)ëåãêî äîêàçàòü, åñëè ïðèìåíèòü ê ëåâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (7.5)ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2).Äèôôåðåíöèðîâàíèå îðèãèíàëà. Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ: f (0–) ¹ 0 äèôôåðåíöèðîâàíèå îðèãèíàëà ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþf ¢ ( t )  pF ( p ) - f ( 0 - ) .(7.6)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (7.6) ïîäñòàâèì f ¢(t) â ïðåîáðàçîâàíèå (7.2)â âèä奥00- ptò f ¢ ( t ) e dt =òe- ptdf ( t ).Îòñþäà ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåì:¥òe- ptdf = e0- ptf (t )¥0¥+ p ò e - pt f ( t ) dt = pF ( p ) - f ( 0 - ) .0 ñëó÷àå íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèéf ¢ ( t )  pF ( p ) ; f ¢¢ ( t )  p 2F ( p ) ; K f n ( t )  p n F ( p ) .(7.7)Èíòåãðèðîâàíèå îðèãèíàëàtò f ( t ) dt 0F(p);pttnòK ò f (t ) d t 0{0n ðàç186F(p)pn.(7.8)Äîêàçàòåëüñòâî îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâàäèôôåðåíöèðîâàíèÿ îðèãèíàëà (7.6), (7.7).Èçìåíåíèå ìàñøòàáà íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî (òåîðåìà ïîäîáèÿ)f ( at ) 1 æpöF ç ÷,a èaø(7.9)ãäå à — ïîñòîÿííûé âåùåñòâåííûé êîýôôèöèåíò.

Ñâîéñòâî (7.9)ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì çàìåíû íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t = at âïðÿìîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà (7.2).Ñìåùåíèå â îáëàñòè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî (òåîðåìàçàïàçäûâàíèÿ):f ( t ± t0 )  e ± pt0 F ( p ) .(7.10)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (7.10) ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:Y(p) =¥ò f ( t ± t0 ) e- ptdt.0Îñóùåñòâèì çàìåíó ïåðåìåííîé t = t ± t0.Y(p) =¥ò f (t)e0=e± pt0- p ( t m t0 )dt = e± pt0¥ò f (t)e- ptdt =0F ( p ),÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Èç ñîîòíîøåíèÿ (7.10) ñëåäóåò, ÷òî ñäâèã îðèãèíàëà ïî îñèâðåìåíè íà t0 ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ èçîáðàæåíèÿ íà e ± pt0 .Ñìåùåíèÿ â îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî (òåîðåìà ñìåùåíèÿ):F ( p m l )  e ±lt f ( t ) .(7.11)Òåîðåìà (7.11) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, åñëè â (7.2) âìåñòî f (t) ïîäñòàâèòü e ±lt f ( t ) .

Ïðè÷åì l ìîæåò áûòü êàê äåéñòâèòåëüíîé, òàê è êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé.Äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå îðèãèíàëà ïî ïàðàìåòðó (ñâîéñòâî êîììóòàòèâíîñòè):¶¶f ( t, x ) F ( p, x ) ;¶x¶xx2x2x1x1ò f ( t, x ) dx  òF ( p, x ) dx.(7.12)(7.13)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ (7.12), (7.13) äîñòàòî÷íî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü èëè ïðîèíòåãðèðîâàòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2) ïî ïàðàìåòðó õ.187Ïðîèçâåäåíèå èçîáðàæåíèé:tt00F1 ( p ) F2 ( p )  ò f1 ( t - x ) f2 ( x ) dx = ò f1 ( x ) f2 ( t - x ) dx. (7.14)Èíòåãðàëû â (7.14) íîñÿò íàçâàíèå ñâåðòêè ôóíêöèé f1(t) è f2(t).Äèôôåðåíöèðîâàíèå èçîáðàæåíèÿ:d nF ( p )dpn ( -t ) n f ( t ) .(7.15)Ñâîéñòâî (7.15) ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.2).Èíòåãðèðîâàíèå èçîáðàæåíèÿ:¥ò F ( p ) dp 0f (t ).t(7.16)Äàííîå ñâîéñòâî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî (7.15). çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îðèãèíàëà è èçîáðàæåíèÿ:lim f ( t ) = lim pF ( p ) ;(7.17)lim f ( t ) = lim pF ( p ) .(7.18)t ®0p ®¥t ®¥p ®0Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ñâîéñòâà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îðèãèíàëà ìîæíî çàïèñàòü:¥ò f¢(t )e- ptdt = pF ( p ) - f ( 0 ) .0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî lim e - pt = 0 , ïîëó÷àåì:p ®¥lim [ pF ( p ) - f ( 0 ) ] = lim pF ( p ) - lim f ( t ) = 0.p ®¥p ®¥t ®0Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå (7.17).

Àíàëîãè÷íîäîêàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâî (7.18). êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñó òèïîâûõ ñèãíàëîâ. Äëÿ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è ïåðåäà÷è ñîîá1(t)1/t110à)0tá)Ðèñ. 7.2188ttùåíèé ïî êàíàëàì ñâÿçè èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå òèïû ñèãíàëîâ: ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, óðîâíè ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèé, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ è òàê äàëåå.Îñîáî âàæíóþ ðîëü â òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èãðàþò èñïûòàòåëüíûå ñèãíàëû â ôîðìå åäèíè÷íîéôóíêöèè 1(t) è åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè d(t) (ôóíêöèÿÄèðàêà).Åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì(ðèñ.

7.2, à)1 ïðè t  0,1( t ) =(7.19)0 ïðè t < 0.{Èçîáðàæåíèå ôóíêöèè (7.19) áóäåò ðàâíî:¥F ( p ) ò 1e- pt01dt = e - ptp¥=011, ò. å., 1  .pp(7.20)Åäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ (ôóíêöèÿ Äèðàêà). Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ åùå d-ôóíêöèåé; îíà çàäàåòñÿ óðàâíåíèåììï 0 ïðè t < 0,d ( t ) = í ¥ ïðè t = 0,ïî 0 ïðè t > 0.(7.21)Ôóíêöèÿ Äèðàêà ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè íåðåàëèçóåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé àáñòðàêöèåé, îäíàêî îáëàäàåò ðÿäîì èíòåðåñíûõ ñâîéñòâè èãðàåò î÷åíü âàæíóþ ðîëü â òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Ôîðìàëüíî îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà, íàïðèìåð, ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì (ïðè t ® 0) åäèíè÷íîãî èìïóëüñà (ñì. ðèñ.

7.2, á), ïëîùàäüêîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå:S=¥òd ( t ) dt = 1.(7.22)-¥Îäíèì èç èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ ôóíêöèè d(t) ÿâëÿåòñÿ åå ôèëüòðóþùåå ñâîéñòâî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì (ðèñ. 7.3):¥ò-¥ff(t0)f ( t ) d ( t - t0 ) dt = f ( t0 ) .f(t)1/td(t-t0)0t0Ðèñ. 7.3(7.23)0ttt-1/tÐèñ.

7.4189Òàáëèöà 7.1¹ï/ïÎðèãèíàë f (t)1A = const2e pk tAp1p - pke jjp - jwap( p + a)wj ( wt +j )3e41 - e -a t5sin w t6cos w t7sin ( w t + j )8cos ( w t + j )9e -a t sin w t10e -a t cos w t11At12Ate -a tÈçîáðàæåíèå F (p)p 2 + w2pp 2 + w2p sin j + w cos jp 2 + w2p cos j - w sin jp 2 + w2w( p + a ) 2 + w2p+a( p + a ) 2 + w2Ap2A( p + a )2Íàéäåì èçîáðàæåíèå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè â ôîðìåèçîáðàæåíèÿ ðàçíîñòè äâóõ åäèíè÷íûõ ôóíêöèé âåëè÷èíû 1(t),ñäâèíóòûõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà t (ðèñ.

Характеристики

Список файлов книги