Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 28
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Ïðè R = 2r êîëåáàíèÿ ïðåêðàùàþòñÿ è ïåðåõîäíîé ïðîöåññ ñòàíîâèòñÿ àïåðèîäè÷åñêèì. Ïðè R = 0 îêàçûâàþòñÿ íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé wñ = w0 == 1 LC . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ, òàê êàê â ëþáîì ðåàëüíîì êîíòóðå èìåþòñÿ ïîòåðè.  ïðîöåññå êîëåáàòåëüíîãî ðàçðÿäà åìêîñòè (ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â RLC-êîíòóðå) èìååò ìåñòî ïîïåðåìåííîå çàïàñàíèå ýíåðãèè WC â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå åìêîñòè è ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòèâíîñòè WL: â íà÷àëå ýíåðãèÿ WC ðàñõîäóåòñÿ íà ñîçäàíèåìàãíèòíîãî ïîëÿ WL èíäóêòèâíîñòè è ïîêðûòèå òåïëîâûõ ïîòåðüñîïðîòèâëåíèÿ R, çàòåì çàïàñåííàÿ ýíåðãèÿ WL, ðàñõîäóåòñÿ íàïåðåçàðÿä åìêîñòè è ïîêðûòèå ïîòåðü â R è ò.
ä. äî ïîëíîãî ïåðåõîäà ïåðâîíà÷àëüíîé ýíåðãèè Wc(0) â òåïëîâûå ïîòåðè â ðåçèñòîðå R.Òðåòèé ñëó÷àé R = 2r ÿâëÿåòñÿ ïîãðàíè÷íûì ìåæäó êîëåáàòåëüíûì è àïåðèîäè÷åñêèì è ñîîòâåòñòâóåò êðèòè÷åñêîìó ðàçðÿäóåìêîñòè. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.39) ïðè ýòîì èìååò âèä (6.8)uC = uC ñâ = A1e pt + A2te pt .(6.59)Òîê îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìi=CduC= C ( A1p + A2 + A2 pt ) e pt ,dt(6.60)171+KURiuRCLuCuLãäå p1 = p2 = p = a êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.40); À1, À2 ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿåìûå èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ uC è i èçàêîíîâ êîììóòàöèè (6.1), (6.2):U = A1,0 = A1p1 + A2.Ðèñ.
6.14Îòñþäà À2 = aU. Îêîí÷àòåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ èòîêà ïðèíèìàþò âèäuC = U ( at + 1 ) e -at ;i=-U -atte ;Lu L = U ( at - 1 ) e -at .(6.61)(6.62)(6.63)Ïî ñâîåé ôîðìå ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (6.61)(6.63) àíàëîãè÷íû êðèâûì, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 6.12 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òîèõ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ áîëüøå, ÷åì ïðè R > 2r. Çíà÷åíèå R = 2ríîñèò íàçâàíèå êðèòè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà.6.5. Âêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîå èãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèåÂêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé uC (0) = 0, i(0) = 0, êîãäà RLC-êîíòóð âêëþ÷àåòñÿ íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 6.14).Îòëè÷èå äàííîãî ñëó÷àÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå çàêëþ÷àåòñÿ âíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è íàëè÷èè ïðèíóæäåííîé ñîñòàâëÿþùåé uCïð = U.
Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ uCñâ îïðåäåëÿåòñÿ, êàê èðàíåå, óðàâíåíèÿìè (6.43), (6.51) èëè (6.59) â çàâèñèìîñòè îò âèäàêîðíåé ð1 è ð2. Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ À1 è À2 íàõîäÿòñÿ ïðèýòîì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé i(0) = 0, uC (0) = 0 è çàêîíîâ êîììóòàöèè äëÿ i è uC . Îïðåäåëèì, íàïðèìåð, çàêîí èçìåíåíèÿ uC , i èuL â ñëó÷àå, êîãäà êîðíè ð1 è ð2 âåùåñòâåííûå è ðàçëè÷íûå.Ïðè ýòîì uCñâ îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì (6.43), à íàïðÿæåíèå uCè òîê i èìåþò ñëåäóþùèé âèä:uC = uC ñâ + uC ïð = A1e p1t + A2e p2t + U, üïduCýi=C= A1p1e p1t + A2 p 2e p2t .ïþdt(6.64)Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ À1 è À2 èñïîëüçóåì íà÷àëüíûåóñëîâèÿ uC (0) = 0 è i(0) = 0, à òàêæå çàêîíû êîììóòàöèè, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèÿìè (6.1),(6.2):172}0 = A1 + A2 + U,0 = A1p1 + A2 p2.(6.65)ÒîãäàA1 = Up 2( p1 - p2 ) ; A2 = -Up1 ( p1 - p2 ) .(6.66)Îêîí÷àòåëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ èÑ, i, èL èìåþò âèäU( p1e p2t - p2e p1t ) ;p1 - p2U( e p2t - e p1t ) ;i=L ( p1 - p2 )UuL =( p1e p1t - p2e p2t ) .p1 - p 2uC = U -(6.67)(6.68)(6.69)Íà ðèñ.
6.15 èçîáðàæåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (6.67)(6.69),ãäå ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2 îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè (6.49).Ñðàâíåíèå ôîðìóë (6.67)(6.69) ñ (6.46)(6.48) ïîêàçûâàåò, ÷òîòîê i è íàïðÿæåíèå èL îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, à íàïðÿæåíèåèÑ íàëè÷èåì ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé U.Àíàëîãè÷íûì ìîæíî íàéòè óðàâíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêà äëÿñëó÷àÿ R < 2r:w0éùuC = U ê 1 e -at sin ( w ct + q ) ú ;wcëûU -ati=esin w ct;wc Lw0u L = -Ue -at sin ( w ct - q ) .wc(6.70)(6.71)(6.72)Íà ðèñ.
6.15 øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü (6.70),êîòîðàÿ ñâèäåòåëüñòâóåò î êîëåáàòåëüíîì õàðàêòåðå çàðÿäà åìêîñòè. Òàêèì æå îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ uC , i èuL äëÿ ñëó÷àÿ êðèòè÷åñêîãî çàðÿäà åìêîñòè Ñ ïðè R = 2r.Âêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå. Ïðèâêëþ÷åíèè RLC-êîíòóðà íà ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå u = Um sin (wt +u, iu C (t)uC ïð+ ju) ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿUíàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòèuC ïð = U mC sin ( wt + j C ) ,(6.73)imãäå jC = ju + j p/2.
Çäåñü ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì â êîíòóðå èïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì0j = arctg ( wL - 1 wC ) R ,(6.74)i(t)t1t2tu L (t)Ðèñ. 6.15173à àìïëèòóäà ïðèíóæäåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòèU mC =1Um1×=× ImC .2wCwC2R + ( wL - 1 wC )(6.75)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîëåáàòåëüíûé êîíòóð â ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, êàê ïðàâèëî èìååò âûñîêóþ äîáðîòíîñòü, ò.
å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå R = 2r, òî ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ uCñâ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (6.51), è çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòèáóäåò èìåòü âèäuC = U mC sin ( w t + j C ) + Ae -at sin ( w ct + q ) .(6.76)Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò âûðàæåíèÿ (6.76), è ó÷òÿ, ÷òî äëÿ çàäàííîãî êîíòóðà a = w 0 » w C , ïîëó÷èì óðàâíåíèå òîêàduC» ImC cos ( w t + j C ) + w 0CAe -at cos ( w 0t + q ) .
(6.77)dtÏîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ A è q íàõîäèì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé è çàêîíîâ êîììóòàöèè:i=CuC ( 0 - ) = uC ( 0 + ) = 0 = U mC sin j C + A sin q, üi ( 0 - ) = i ( 0 + ) = 0 = ImC cos j C + w 0CA cos q. ýþ(6.78)Îòêóäàæ wA = U mC sin 2 j Ñ + çè w0q = arctg { w 0 tg j2ö÷ cos 2 j Ñ ;øw} .(6.79)(6.80)Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ À è q èç óðàâíåíèé (6.79), (6.80) â (6.76) è(6.77), ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûé çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íàåìêîñòè è òîêà â RLC-êîíòóðå:uC = U mC sin ( wt + j C ) + U mC sin 2 j C + ( w w 0 ) cos 2 j C ×(6.81)× e -at sin ( w 0t + q ) ;2i = ImC cos ( wt + j C ) + ImC× e -at cos ( w 0t + q ) .( w0w ) sin 2 j C + cos 2 j C ×2(6.82)Àíàëèç óðàâíåíèé (6.81), (6.82) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà÷àñòîòà ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ w ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó êîíòóðà w0 ïðè jC » 0 â öåïè ìîãóò âîçíèêíóòüñâåðõíàïðÿæåíèÿ, à â ñëó÷àå w = w 0 è jC » p/2 ñâåðõòîêè.Åñëè ÷àñòîòà çàäàþùåãî íàïðÿæåíèÿ w = w0, òî ïðè ýòîì âöåïè âîçíèêàþò ÿâëåíèÿ èçîõðîíèçìà, êîãäà íàïðÿæåíèå íà åìêîñòè è òîê â êîíòóðå ïëàâíî èçìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèÿìè:174uCuC0-UmÑtUmC (t)0T = 2p/w0tT = 2p/w0á)à)Ðèñ.
6.16uC = U mC ( 1 - e -at ) sin ( w 0t + j C ) ;(6.83)i = ImC ( 1 - e -at ) cos ( w 0t + j C ) .(6.84)Ïðè ýòîì ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðîòåêàåò áåç ïåðåíàïðÿæåíèé èñâåðõòîêîâ (ðèñ. 6.16, à). ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà çàäàííîãî íàïðÿæåíèÿ w è ðåçîíàíñíàÿ÷àñòîòà êîíòóðà w0 áëèçêè ìåæäó ñîáîé, òî â êîíòóðå âîçíèêàþòÿâëåíèÿ áèåíèé. Ïîëîæèì, ÷òî a = 0, òîãäàuC = U mC éë sin ( wt + j C ) + sin ( w 0t + j C ) ùû == U mC ( t ) sin ( w 0t + j C ) ,(6.85)ãäå UmÑ (t) = 2UmÑ ños Wt àìïëèòóäà áèåíèé ñ óãëîâîé ÷àñòîòîéW = (w w0)/2. Íà ðèñ. 6.16, á, ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé áèåíèé (6.85).6.6.
Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõÏðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõêëàññè÷åñêèì ìåòîäîì ñîñòàâëÿåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïî ÇÒÊ è ÇÍÊ. Çàòåì ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (èÑ èëè iL). Ïîñëå ýòîãî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ðåøàR1 i1 KR2 i2åòñÿ ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèÿìè,+ðàññìîòðåííûìè â § 6.26.5. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòUCLIIIðèì ðàçâåòâëåííóþ öåïü âòîðîãîi3ïîðÿäêà,èçîáðàæåííóþíàðèñ. 6.17. Äëÿ äàííîé öåïè èìååìÐèñ.
6.17íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:175uC (0) = U; iL (0) = 0. Ñîñòàâèì äëÿ íåå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïîçàêîíàì Êèðõãîôà:i1 = i2 + i3 = i2 + CduC dt , üïU = R1i1 + uC ,ýïþuC = R2i2 + Ldi2 dt .(6.86)Âûáåðåì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé i2 = iL è, ðåøàÿ(6.86) îòíîñèòåëüíî i2, ïîëó÷àåì:LCR öd 2i2 æ LUö diæ+ R2C ÷ 2 + ç 1 + 2 ÷ i2 =+ç,R1 ødt 2 è R1R1ø dt è(6.87)ò. å. âûðàæåíèå (6.87) åñòü íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà, àíàëîãè÷íîå (6.37). Åãî ðåøåíèå, êàêîáû÷íî, íàõîäèì â âèäåi2 = i2ñâ + i2ïð ,(6.88)ãäå i2np = U/(R1 + R2), à i2ñâ îïðåäåëèì èç ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿR öæ Lö di2ñâ æ+ R2C ÷+ç+ ç 1 + 2 ÷ i2ñâ = 0.(6.89)R1 ødt 2è R1ø dtèÐåøåíèå ïîñëåäíåãî èìååò âèä, àíàëîãè÷íûé (6.43), (6.51) èëè(6.59) â çàâèñèìîñòè îò âèäà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿLCd 2i2ñâR öæ Löæ+ R2C ÷ p + ç 1 + 2 ÷ = 0.LCp 2 + ç(6.90)R1 øè R1øèÏîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé è çàêîíîâ êîììóòàöèè, ïðè÷åì äëÿ íàõîæäåíèÿ èÑ èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (6.86).
Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ âåùåñòâåííûõ è ðàçëè÷íûõ êîðíåé ïðè R1 = R2 = R ïîëó÷èìU+ A1e p1t + A2e p2t ;2Rdi2Uö= Ri2 + L= R æç+ A1e p1t + A2e p2t ÷ +dtè 2Rø+ L ( p1 A1e p1t + p2 A2e p2t ) ,i2 = i2ïð + i2ñâ =uCãäå A1 è À2 îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé è çàêîíîâ êîììóòàöèè:U+ A1 + A2;2RuC ( 0 - ) = uC ( 0 + ) = U = U 2 + L ( p1 A1 + p 2 A2 ) + R ( A1 + A2 ) ,i2 ( 0 - ) = i2 ( 0 + ) = 0 =îòêóäà176u, iUULp 2 + 2R×;2RL p1 - p 2ULp1 + 2R×A2 = .2RL p1 - p 2A1 =uC (t)U/2i 2 (t)i 2 ïð = U/2RÍà ðèñ. 6.18 èçîáðàæåíû ãðàôèêèuC (t) è i2 (t).0t1tÊàê ñëåäóåò èç âûøåóêàçàííîãî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà ïåÐèñ.
6.18ðåõîäíîãî ïðîöåññà è çàïèñè óðàâíåíèÿ ñâîáîäíîé ñîñòàâëÿþùåé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé íåîáõîäèìî ðàñïîëàãàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì öåïè. Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç ñîîòâåòñòâóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè èëè èç àíàëèçà åå îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ñì. § 7.3). Ïîñëåäíåå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, åñëè â óðàâíåíèèäëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè Z = Z(jw) çàìåíèòü îïåðàòîð jw íà ð è ïðèðàâíÿòü åãî ê íóëþ:Z ( p ) = Z ( jw )jw= p= 0.(6.91)Íàïðèìåð äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.17, èìååì:Z = Z ( jw ) = R1 +ÎòñþäàZ ( p ) = R1 +( R2 + jwL ) jwCR2 + jwL + 1 jwC( R2 + pL ) pCR2 + pL + 1 pC.= 0,èëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèéR öæ Löæ+ R2C ÷ p + ç 1 + 2 ÷ = 0,LCp 2 + çR1 øè R1øè÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ (6.90).Òàêèì îáðàçîì, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâûâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ê îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ âûáðàííîé íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé. çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå êëàññè÷åñêîãîìåòîäà ðàñ÷åòà ê öåïÿì áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà âñòðå÷àåò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè.
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