Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 27
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Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òîâñÿ ýíåðãèÿ WL, çàïàñåííàÿ â èíäóêòèâíîñòè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè,ðàñõîäóåòñÿ íà òåïëîâûå ïîòåðè â R. Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõóñëîâèÿõ L âåäåò ñåáÿ êàê èñòî÷íèê òîêà.Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â RÑ-öåïÿõ. Ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõïðîöåññîâ â RÑ-öåïÿõ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé âûáèðàþòuC. Çàòåì òàêæå ñîñòàâëÿþò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ çàäàííîé RÑ-öåïè, ðåøåíèå êîòîðîãî ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿuC(0) è îïðåäåëÿåò çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè.Ðàññìîòðèì âíà÷àëå RC-öåïü ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ(ðèñ. 6.6), êîòîðàÿ ïîäêëþ÷àåòñÿ â ìîìåíò t = 0 ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî è(t) = U èëè ñèíóñîèäàëüíîãî è(t) = Um sin (wt + ju)íàïðÿæåíèÿ.
Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â äàííîé öåïè îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì164duC+ uC = u,(6.23)dtðåøåíèå êîòîðîãî èùåì òàêæå â ôîðìå ñóììû îáùåãî è ÷àñòíîãîðåøåíèé, îïðåäåëÿþùèõ ñâîáîäíóþ è ïðèíóæäåííóþ ñîñòàâëÿþùèå:uC + Ri = RCuC = uC ñâ + uC ïð .(6.24)Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿRCduC ñâdt+ uC ñâ = 0;(6.25)uC ñâ = Ae pt ,(6.26)ãäå ð îïðåäåëÿåòñÿ èç õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿRCp + 1 = 0; p = -1 RC .Âåëè÷èíà RC íîñèò íàçâàíèå ïîñòîÿííîé âðåìåíè RC-öåïè èîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç t.Îïðåäåëèì ïðèíóæäåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ uCïp äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà u(t) = U = const. Èç ðèñ. 6.6 ñëåäóåò, ÷òî â óñòàíîâèâøåìñÿðåæèìå uCïp = U.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì (6.24) è (6.26) óðàâíåt/tíèå äëÿ èC ïðèìåò âèä èC = Ae+ U. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ À ó÷òåì íóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ uC (0)è âòîðîé çàêîí êîììóòàöèè (6.2): uC (0) = uC (0+) = 0 = A + U,îòêóäà À = U. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî:uC = U ( 1 - e -t t ) .(6.27)Òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.12):duC U -t t=(6.28)e .dtRÍà ðèñ. 6.7 èçîáðàæåíû ãðàôè÷åñêèå çàâèñèìîñòè uÑ (t) è i(t).Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî â ìîìåíòt = 0+ åìêîñòü Ñ (ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ) âåäåò ñåáÿi=CuiU/RuÑ (t)u Ñ ïðuC (t)i(t)0uÑ ñâtj C /wtuÑ (t)u Ñ ñâ-UÐèñ. 6.7Ðèñ.
6.8165êàê êîðîòêîçàìêíóòûé ó÷àñòîê. Íàïðîòèâ, ïðè t = ¥ åìêîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íî áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå (ðàçðûâ öåïèäëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà).Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ãàðìîíè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ. Íåòðóäíî âèäåòü ÷òî ïðè ýòîìuC ïð = U mC sin ( wt + j u + j - p 2 ) ,(6.29)ãäå1UmüU mC = XC ImC =,ïw C R 2 + ( 1 wC ) 2 ý(6.30)ïj = arctg [ 1 ( wRC ) ] ,þà íàïðÿæåíèåuC = Ae -t t + U mC sin ( wt + j u + j - p 2 ) .Ïîñòîÿííàÿ À íàõîäèòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ uC (0+) ïðèt = 0+:A = -U mC sin ( j u + j - p 2 ) .Îêîí÷àòåëüíî çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿuC = U mC sin ( wt + j u + j - p 2 ) -U mC sin ( j u + j - p 2 ) e -t t.(6.31)Íà ðèñ.
6.8 èçîáðàæåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè uC (t). Àíàëèç óðàâíåíèÿ (6.31) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå íåóäà÷íîãî âêëþ÷åíèÿ ïðèju = p j è áîëüøîé t â öåïè ìîãóò âîçíèêàòü ïåðåíàïðÿæåíèÿ,äîñòèãàþùèå íà åìêîñòè âåëè÷èíû uC max » 2UmC.  ñëó÷àå óäà÷íîãî âêëþ÷åíèÿ, êîãäà ju = p/2 j, â öåïè ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì.Òîê â öåïèduC= ImC sin ( wt + j u + j ) +dt(6.32)1+ ImCsin ( j u + j - p 2 ) e -t t .wRCÐàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, êîãäàåìêîñòü Ñ, çàðÿæåííàÿ äî íàïðÿæåíèÿ U, ðàçðÿæàåòñÿ íà ñîïðîòèâëåíèå R (ðèñ. 6.9). Ê ìîìåíòó êîììóòàöèè â åìêîñòè áûëà2çàïàñåíà ýíåðãèÿ WC = CU /2.
Ïîñëå êîììóòàöèè âîçíèêàåò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, îïðåäåëÿåìûé óðàâíåíèåìi=CduC+ uC = 0,dtò. å. èìååò ìåñòî ñâîáîäíûé ðåæèì ðàçðÿäà (åìêîñòè):RCuC = uC ñâ = Ae pt = Ae -t t .166(6.33)(6.34)+2Uu, iUi1KRuC (t)CuC0ti(t)-U/RÐèñ. 6.9Ðèñ. 6.10Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ À íàõîäèì èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿäëÿ uC (0+) = U è çàêîíà êîììóòàöèè (6.2):uC ( 0 - ) = uC ( 0 + ) = U = A.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòèuC = Ue -t t(6.35)è òîêà â öåïèduUi = C C = - e -t t .(6.36)dtRÇíàê «» â óðàâíåíèè (6.36) äëÿ òîêà ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì,÷òî òîê ðàçðÿäà íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî îïîðíîìó íàïðàâëåíèþíàïðÿæåíèÿ èÑ â åìêîñòè (ñì. § 1.2).
Íà ðèñ. 6.10 ïðèâåäåíû ãðàôèêè èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ èÑ (t) è òîêà i(t) äàííîé RÑ-öåïè.Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âñÿ çàïàñåííàÿ ýíåðãèÿ WC åìêîñòè ñòå÷åíèåì âðåìåíè ïðåîáðàçóåòñÿ â ýëåìåíòå R â òåïëî. Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ Ñ âåäåò ñåáÿ êàê èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ.6.4. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ âòîðîãî ïîðÿäêàÐàíåå ðàññìàòðèâàëèñü ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â RL- è RÑ-öåïÿõ, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê öåïÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà, òàê êàê îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà (6.11),(6.23). Ïðè íàëè÷èè â öåïè äâóõ íåçàâèñèìûõ íàêîïèòåëåéýíåðãèè ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â íèõ îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåìâòîðîãî ïîðÿäêà.
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì òàêîé öåïè ÿâëÿåòñÿïîñëåäîâàòåëüíûéêîëåáàòåëüíûéêîíòóð (ðèñ. 6.11). Äëÿ ýòîãî êîíòóðài1 K R+ìîæíî ïî àíàëîãèè ñ RL- è RÑöåïüþ ñîñòàâèòü äèôôåðåíöèàëüíîå2UL uLóðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà, âûáðàâ âCêà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé íàïðÿæåíèå íà åìêîñòèu L + u R + uCdi=L+ Ri + uC = u.dtuCÐèñ. 6.11167Ó÷èòûâàÿ, ÷òî i = C duC / dt îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìd 2 uCdu+ RC C + uC = u.(6.37)dt 2dtÐåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.37) èùåòñÿ ñîãëàñíî(6.5) â ôîðìå ñóììû ñâîáîäíîé uCñâ è ïðèíóæäåííîé uCïð ñîñòàâëÿþùèõ:uC = uC ñâ + uC ïð .(6.38)LCÂèä uCïð çàâèñèò îò õàðàêòåðà ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ, àuCñâ îïðåäåëèòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà:d 2uC ñâ+ RCduC ñâ+ uC ñâ = 0.(6.39)dt 2dtÐåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.39) çàâèñèò îò âèäà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿLCp 2 + RCp + 1 = 0.(6.40)LCÊîðíè óðàâíåíèÿ (6.40) îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ïàðàìåòðàìè öåïèíåçàâèñèìî îò âûáðàííîé ïåðåìåííîé:p1,22R1R öæ=± ç.÷ 2LLCè 2L ø(6.41)Âåëè÷èíà a = R / 2L íîñèò íàçâàíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿêîíòóðà, à w 0 = 1 LC åñòü ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà êîíòóðà (ñì.§ 4.2).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (6.41) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåp1,2 = -a ± a 2 - w 02 .(6.42)Õàðàêòåð ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèòîò âèäà êîðíåé ð1, ð2, êîòîðûå ìîãóò áûòü:1) âåùåñòâåííûìè è ðàçëè÷íûìè (ïðè R > 2r);2) êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè (ïðè R < 2r);3) âåùåñòâåííûìè è ðàâíûìè (ïðè R = 2r).Çäåñü r = L C õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà(ñì.
ôîðìóëó (4.22)).Ðàçðÿä åìêîñòè íà RL-öåïü. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ õàðàêòåðà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà âî âñåõ ýòèõ ñëó÷àÿõ ðàññìîòðèì ðàçðÿä åìêîñòè Ñ íà öåïü RL (ñì. ðèñ. 6.11). Òàê êàê äî êîììóòàöèè åìêîñòü Ñ áûëà çàðÿæåíà äî íàïðÿæåíèÿ U, òî èìååì íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:uC ( 0 - ) = U; WC ( 0 - ) = CU 2 2.Ïîñëå êîììóòàöèè (ïåðåêëþ÷åíèå êëþ÷à Ê èç ïîëîæåíèÿ 1 âïîëîæåíèå 2 åìêîñòü íà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ è â öåïè âîçíèêíåò ñâî168áîäíûé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. Íàéäåì çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ öåïè äëÿ ñëó÷àÿ 1)3). ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà R > 2r êîðíè p1 è ð2 â (6.41) áóäóò âåùåñòâåííûìè è ðàçëè÷íûìè, è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ îïðåäåëèòñÿ ñîãëàñíî (6.7):uC = uC ñâ = A1e p1t + A2e p2 t ,(6.43)ãäå A1 è A2 ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ A1 èA2 çàïèøåì åùå óðàâíåíèå äëÿ òîêà â öåïè:duC= C ( p1 A1e p1t + p2 A2e p2 t ) .(6.44)dtÏîñòîÿííûå A1 è A2 ìîæíî íàéòè èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿuC (0) = U è i(0) = 0 (ïðè t = 0) è çàêîíîâ êîììóòàöèè (6.1),(6.2):A1 + A2 = U,(6.45)p1 A1 + p2 A2 = 0.i=C}Èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèå (6.45)A1 = -Up 2( p1 - p2 ) ; A2 = Up1 ( p1 - p2 ) . ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ UC è òîêà i:U( p1e p2t - p2e p1t ) ,p1 - p2U( e p2t - e p1t ) .i=L ( p1 - p 2 )uC =(6.46)(6.47)Çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè îïðåäåëÿåòñÿïðè ýòîì óðàâíåíèåìuL = LdiU=( p2e p2t - p1e p1t ) .dt p1 - p 2(6.48)Èç óðàâíåíèé (6.46)(6.48) ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íàéäåííûõâåëè÷èí uC, i, uL ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ, çàòóõàþùèõ ïî ýêñïîíåíòå ñ êîýôôèöèåíòàìè p1 < 0 è p2 < 0.
Íà ðèñ. 6.12 ïîêàçàíõàðàêòåð çàâèñèìîñòåé (6.46)(6.48). Ìîìåíò âðåìåíè t1, ñîîòâåòñòâóþùèé òî÷êå ïåðåãèáà uC, ìàêñèìóìó | i | è íóëåâîìó çíà÷åíèþ uL îïðåäåëÿåòñÿ èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ di / dt = 0, à ìîìåíò t2èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ duL / dt = 0:t1 =1pln 2 ; t 2 = 2t1.p1 - p 2p1(6.49)Àíàëèç ïîëó÷åííûõ êðèâûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîìñëó÷àå ïðîèñõîäèò àïåðèîäè÷åñêèé ðàçðÿä åìêîñòè Ñ, ïðè÷åì âèíòåðâàëå îò 0 äî t1 ýíåðãèÿ WC ðàñõîäóåòñÿ íà ïîêðûòèå òåï169u, iUu, iUuC (t)U10uC (t)t1t2tuC (t + T C)0tTC-i m-U uL (t) i(t)-U i(t)Ðèñ. 6.12Ðèñ.
6.13ëîâûõ ïîòåðü â ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè R è ñîçäàíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ â èíäóêòèâíîñòè (pC = uC i < 0; pL = uL i > 0).  äàëüíåéøåì (ïðè t > t1) êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ åìêîñòè WC,òàê è çàïàñåííàÿ ê ìîìåíòó t = t1 ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ èíäóêòèâíîñòè WL ðàñõîäóåòñÿ íà ïîêðûòèå òåïëîâûõ ïîòåðü â ñîïðîòèâëåíèèR. Îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå òîêà ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè òîêà ðàçðÿäà îòíîñèòåëüíî îïîðíîãî íàïðàâëåíèÿ.Âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè R < 2r, êîãäà êîðíè p1 è p2 íîñÿò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûé õàðàêòåð,p1,2 = -a ± j w 02 - a 2 = -a ± jw c ,(6.50)ãäå w c = Öw 02 - a 2 íàçûâàþò ÷àñòîòîé ñîáñòâåííûõ çàòóõàþùèõêîëåáàíèé. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.39) èìååò âèä (6.9)uC = uC ñâ = Ae -at sin ( w ct + q ) ,(6.51)ãäå A è q ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà âöåïèduC= -aAe -at sin ( w ct + q ) + w c Ae -at cos ( w ct + q ) .
(6.52)dtÏîñòîÿííûå A è q îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ uC è iè çàêîíîâ êîììóòàöèè (6.1), (6.2):i=CuC ( 0 - ) = uC ( 0 + ) = U = A sin q,üi ( 0 - ) = i ( 0 + ) = -a A sin q + w c A cos q. ýþÎòñþäà(6.53)A = U w 0 w c ; q = arctg ( w c a ) .Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèÿ äëÿ uC, i è è ïðèíèìàþò âèäuC = U170w 0 -atesin ( w ct + q ) ;wc(6.54)i = -UuL = U1e -at sin w ct;wc Lw 0 -atesin ( w ct - q ) .wc(6.55)(6.56)Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå èìååòìåñòî êîëåáàòåëüíûé ðàçðÿä åìêîñòè ñ ÷àñòîòîé wñ, çàâèñÿùåéòîëüêî îò ïàðàìåòðîâ R, L, Ñ öåïè.
Èíòåðâàë âðåìåíè Òc = 2p/wñíîñèò íàçâàíèå êâàçèïåðèîäà. Íà ðèñ. 6.13 èçîáðàæåíû ãðàôèêèçàâèñèìîñòåé uC (t) è i(t) îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèÿìè (6.54) è(6.55). Ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññà ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿþò êàêîòíîøåíèå äâóõ ñîñåäíèõ àìïëèòóä òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ îäíîãîçíàêà (ñì. ðèñ. 6.13):uC ( t )D== e -aTc .(6.57)uC ( t + Tc )Íà ïðàêòèêå ÷àùå èñïîëüçóåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿpRd a = ln D = aTc =.(6.58)r 2 - R2 4Èç óðàâíåíèé (6.57) è (6.58) ñëåäóåò, ÷òî çàòóõàíèå òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå R.
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