Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 31
Текст из файла (страница 31)
7.4). Äëÿ ýòèõôóíêöèé ñ ó÷åòîì òåîðåìû çàïàçäûâàíèÿ èìååì:F1 ( p ) = 1 tp ;1 - ptF2 ( p ) =e .tpÄëÿ ðåçóëüòèðóþùåãî èçîáðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà ëèíåéíîñòèïîëó÷èì190F ( p ) = F1 ( p ) - F2 ( p ) =1( 1 - e - pt ) .tpÓñòðåìèâ t ® 0, íàéäåì èçîáðàæåíèå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîéôóíêöèè (d-ôóíêöèè): d ( t ) 1.Ýêñïîíåíöèàëüíûé ñèãíàë f ( t ) = e -a t ïðè t > 0:¥1F ( p ) = ò e -a t e - pt dt =,a+p0ò.
å.e -a t 1 ( a + p ) .(7.24)Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ìîæíî íàéòè èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñóäðóãèõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (7.3).  ëèòåðàòóðåèìåþòñÿ ñïåöèàëüíûå ñïðàâî÷íèêè, â êîòîðûõ ïðèâåäåíû îðèãèíàëû è èçîáðàæåíèÿ øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé.  òàáë. 7.1 ïðèâåäåíû îðèãèíàëû è èõ èçîáðàæåíèÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ôóíêöèé.7.2. Òåîðåìà ðàçëîæåíèÿÄëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà ïî èçîáðàæåíèþ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèáî òàáëèöàìè, ëèáî èñïîëüçîâàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.4).
Îäíàêî âû÷èñëåíèå îðèãèíàëà ñ ïîìîùüþ(7.4) îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ñëîæíûì. Ïîýòîìó, äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ïðèìåíÿþò òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåòïðè íàõîæäåíèè îðèãèíàëà çàìåíèòü îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ â(7.4) îïåðàöèåé ñóììèðîâàíèÿ, ÷òî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò âû÷èñëåíèÿ. Íàèáîëåå ñòðîãèé âûâîä ýòîé òåîðåìû ìîæíî îñóùåñòâèòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû âû÷åòîâ. Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ âûâîäîì ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ ïðèìåíèòåëüíî ê èçîáðàæåíèþ, ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ äðîáü:F1 ( p )an p n + an -1p n -1 + K + a1p + a0=F(p) =,F2 ( p ) bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0(7.25)ãäå an , an -1,K a1, a0 ; bm , bm -1,K b1, b0 âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû, ïðè÷åì F1 (p) è F2 (p) íå èìåþò îáùèõ êîðíåé.Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà f(t) ðàçëîæèì F(p) íà ïðîñòûåäðîáè:mF1 ( p )Ak= å,(7.26)F2 ( p ) k =1 p - pkãäå pk ïðîñòûå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿF2 ( p ) = bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0 = 0.(7.27)Ak êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ.191Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò Ak äîìíîæèì îáå ÷àñòè(7.26) íà (ð pk) è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó:lim ( p - pk )p ® pkmF1 ( p )Ak= lim ( p - pk ) å.F2 ( p ) p ® pkppk =1k(7.28)Ðàñêðûâàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.28) ïîïðàâèëó Ëîïèòàëÿ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî (7.27) ïðàâàÿ ÷àñòü(7.28) ðàâíà Ak, ïîëó÷àåìAk =F1 ( pk )dF2 ( p ), ãäå F2¢ ( pk ) =dpF2¢ ( pk ).(7.29)p = pkÏîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ Ak â ôîðìóëó (7.26), íàéäåì:F(p) =F1 ( p )=F2 ( p )mF ( pk )å F1¢1.p - pk( pk )1 ( p - pk ) e pktk =12(ñì.
òàáë. 7.1), òîÅñëè ó÷åñòü, ÷òî èçîáðàæåíèåíà îñíîâàíèè ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:m F (p )F1 ( p )F(p) = f ( t ) = å 1 k e pk t .(7.30)F2 ( p )k =1 F2¢ ( pk )Ôîðìóëà (7.30) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêîé òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ è ïîçâîëÿåò íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ ââèäå (7.25), â ñëó÷àå ïðîñòûõ êîðíåé. Åñëè ñðåäè êîðíåé pk èìååòñÿ îäèí íóëåâîé êîðåíü, ò.
å. F2(ð) = pF3 (p), òî òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ ïðèìåò âèämF1 ( pk ) pktF1 ( p )F1 ( 0 )F(p) = f (t ) =+ åe .pF3 ( p )F3 ( 0 ) k =1 pk F3¢ ( pk )(7.31)Ôîðìóëó (7.31) ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïîäñòàâèòü â (7.30) âìåñòîF2 (ð) çíà÷åíèå pF3 (ð) è îñóùåñòâèòü îïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.Åñëè ñðåäè êîðíåé óðàâíåíèÿ (7.27) (ïîëþñîâ ôóíêöèè F(p))èìåþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå êîðíè pk è pk+1, òî â ôîðìóëå(7.30) äîñòàòî÷íî âçÿòü pk, à äëÿ pk+1 âçÿòü ñîïðÿæåííîå çíà÷åíèå,ïðè ýòîì ñóììà ñîîòâåòñòâóþùàÿ äâóì ýòèì êîðíÿì ñ ó÷åòîì äåéñòâèòåëüíîñòè f (t) áóäåò ðàâíàé F1 ( pk ) ù pkt2Re ê(7.32)úe .¢Fp()ë 2 k ûÏðè ýòîì â óðàâíåíèè äëÿ f (t) ïîÿâÿòñÿ ñîñòàâëÿþùèå òèïà (6.9):Ae -at sin ( w ct + q ) .Òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ ìîæíî îáîáùèòü è íà áîëåå îáùèå ñëó÷àè. ÷àñòíîñòè, åñëè ñðåäè ïîëþñîâ (7.25) èìåþòñÿ ïîëþñà êðàòíîñòèl, òî â îðèãèíàëå f (t) ïîÿâÿòñÿ ñëàãàåìûå òèïà (6.8).192Ïðèìåð.
Çàäàíî èçîáðàæåíèå â âèäåF(p) =p+2p ( p + 5p + 4 )2.2Îáîçíà÷èì F1 (p) = p + 2; F2 (p) = p(p + 5 p + 4). Ïðè ýòîì ïîëó÷èì F(p) â2âèäå (7.25). Íàéäåì êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ F2 (p) = p(p ++ 5 p + 4) = 0.p1 = 0 ; p 2 = -1;p 3 = -4 .Ïðè ýòîì F1(p1) = 2; F1(p2) = 1; F1(p3) = 2.Îïðåäåëèì ïðîèçâîäíóþF2¢ ( p ) = 3 p 2 + 10 p + 4.Îòñþäà F2¢(p1) = 4; F2¢(p2) = 3; F2¢(p3) = 12. Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (7.30), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:f (t ) =F1 ( p1 ) p1t F1 ( p2 ) p2t F1 ( p 3 ) p3t1 11e +e+e= - e -t - e -4t .F2¢ ( p1 )F2¢ ( p2 )F2¢ ( p3 )2 36Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ F2 (p) = 0èìååì îäèí íóëåâîé êîðåíü, ïðè íàõîæäåíèè f (t) ìîæíî áûëî âîñïîëüçîâàòüñÿ è ôîðìóëîé (7.31).
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îáîçíà÷èìòî ïîëó÷èìF3 ( p ) = p 2 + 5 p + 4 ,F(p) =F1 ( p ).pF3 ( p )Òîãäà êîðíè óðàâíåíèÿ F3 (p) = 0 áóäóò ðàâíû p1 = l, p2 =4. Ñ ó÷åòîìçíà÷åíèéF3¢ ( p ) = 2p + 5 ; F3¢ ( p1 ) = 3 ; F3¢ ( p 2 ) = -3 ;F3 ( 0 ) = 4 ; F1 ( 0 ) = 2; F1 ( p1 ) = 1; F1 ( p2 ) = -2ñîãëàñíî (7.31) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìf (t ) =F (p )F1 ( p2 ) p2 t æ 1 1 -t 1 -4tF1 ( 0 )+ 1 1 e p1t +e=ç - e - eF3 ( 0 ) p1F3¢ ( p1 )p 2 F3¢ ( p2 )è2 36ö,÷ø÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ïîëó÷åííûì ðåøåíèåì.7.3.
Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîìÏîëüçóÿñü îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà,ìîæíî ïîëó÷èòü îñíîâíûå çàêîíû òåîðèè öåïåé â îïåðàòîðíîéôîðìå. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíûé RLC-êîíòóð(ñì. ðèñ. 6.14), íàõîäÿùèéñÿ ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõuC (0) ¹ 0; iL(0) ¹ 0. Äëÿ ýòîãî êîíòóðà óðàâíåíèå ïî ÇÍÊ èìååòâèä:di 1 tdi1tu = Ri + L+ò idt = Ri + L dt + uC ( 0 - ) + C ò idt. (7.33)dt C -¥0193Ïðèìåíèâ ê (7.33) ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà è ïðèíèìàÿ âîâíèìàíèå ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè, äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãèíàëà ïîëó÷èì:U ( p ) = RI ( p ) + pLI ( p ) - Li ( 0 ) +uC ( 0 )1I ( p ).+ppCÎòñþäà ïîëó÷àåì çàêîí Îìà â îïåðàòîðíîé ôîðìå äëÿ äàííîéöåïè:U ( p ) + Li ( 0 ) - uC ( 0 ) p U 0 ( p )I(p) ==,(7.34)R + pL + 1 pCZ( p)ãäå U0 (p) = U(p) + Li (0) uC (0) / p íîñèò íàçâàíèå îïåðàòîðíîãî íàïðÿæåíèÿ; Z(p) = R + pL + 1/ pC îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè.
Åñëè â Z(p) çàìåíèòü ð íà jw, òî ïîëó÷èì êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè. Âåëè÷èíû Li (0) è uC (0) / p íàçûâàþò ðàñ÷åòíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Îíè õàðàêòåðèçóþò ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé, çàïàñåííóþ â L è Ñ ê ìîìåíòóêîììóòàöèè.
Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ Z(p) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðíîéïðîâîäèìîñòüþ öåïè:11Y(p) ==.Z ( p ) R + pL + 1 pCÄëÿ íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé çàêîí Îìà ïðèìåò âèäI(p) =U(p)= U ( p )Y ( p ).Z( p)(7.35)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå:ïåðâûé çàêîí (ÇÒÊ)må Ik ( p ) = 0;(7.36)k =1âòîðîé çàêîí (ÇÍÊ)nå Uk ( p ) = 0.(7.37)k =1Òàêèì îáðàçîì, çàêîí Îìà è çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîéôîðìå àíàëîãè÷íûì ýòèì æå çàêîíàì â êîìïëåêñíîé ôîðìå (ñì.(3.48)(3.50)) ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â (7.37) â êàæäîé èç ïâåòâåé ïðè íàëè÷èè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé äåéñòâóþò äîïîëíèòåëüíûå ðàñ÷åòíûå èñòî÷íèêè Lkik(0) è uCk(0)/ ð, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ âûáðàííûì ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà â ýòîé âåòâè.Èñïîëüçóÿ çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, ìîæíî íàéòè èçîáðàæåíèÿ èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â öåïè.
Äëÿîïðåäåëåíèÿ îðèãèíàëîâ òîêîâ è íàïðÿæåíèé ìîæíî âîñïîëüçî194âàòüñÿ ëèáî òàáëèöàìè îðèãèíàëîâ è èçîáðàæåíèé, ëèáî ïðèìåíèòüòåîðåìó ðàçëîæåíèÿ.Äëÿ èëëþñòðàöèè îñíîâíûõ òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé íàéäåìîïåðàòîðíûì ìåòîäîì çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â ïîñëåäîâàòåëüíîìRLC-êîíòóðå ïðè âêëþ÷åíèè åãî íà èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (ñì. § 6.5). Óðàâíåíèå äëÿ èçîáðàæåíèÿ òîêà ìîæíî íàéòèïî çàêîíó Îìà äëÿ íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (7.35) ñ ó÷åòîìèçîáðàæåíèÿ ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U(p) U/ p:I(p) =U(p)F1 ( p )U pCU===.Z( p)R + pL + 1 pC LCp 2 + RCp + 1 F2 ( p )Íàéäåì êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿF2 ( p ) = LCp 2 + RCp + 1 = 0;p1,221RR öæ.=± ç÷ 2LLCè 2L øÏðè R > 2r êîðíè áóäóò âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà òîêà i (t) âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ(7.30).
Äëÿ ýòîãî íàéäåì ïðîèçâîäíûå F2¢(p1) è F2¢(p2):F2¢ ( p1 ) = 2LCp1 + RC;F2¢ ( p 2 ) = 2LCp 2 + RC.Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ F1 (p) = F1 (p2) = CU è F2¢(p1) è F2¢(p2) â(7.30) ïîëó÷èì îðèãèíàë òîêàCUCUi(t ) =e p1 t +e p2 t2LCp1 + RC2LCp2 + RCU=( e p2 t - e p1 t ) ,L ( p1 - p2 )÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ðàíåå ïîëó÷åííûì óðàâíåíèåì(6.68).Èç ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà õîðîøî âèäíû ïðåèìóùåñòâà îïåðàòîðíîãî ìåòîäà: ïðîñòîòà, îòñóòñòâèå ãðîìîçäêèõ îïåðàöèé ïîîïðåäåëåíèþ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü,÷òî áàçèðóÿñü íà çàêîíàõ Îìà è Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå,ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ëþáûì èç ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ: êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è äð.Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ýêâèâàëåíòíûìè îïåðàòîðíûìèñõåìàìè.
Ïðè ñîñòàâëåíèè ýêâèâàëåíòíûõ îïåðàòîðíûõ ñõåì èñòî÷íèêè òîêà è íàïðÿæåíèé i(t) è u(t) çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè èçîáðàæåíèÿìè I(p) è U(p), èíäóêòèâíîñòü L çàìåíÿåòñÿ íà pL, à åìêîñòü Ñ íà 1/pC ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Åñëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íåíóëåâûå, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñ pL äîáàâëÿåòñÿ èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ Li(0), à ñ Ñ èñòî÷íèê195i(0)LCu C (0) Li(0)pL+1/pCR 2 I 2(p)R 1 I 1(p)+1/pCI 3(p)+u C (0)/pU/pu C (0)/p+Ðèñ. 7.5pLÐèñ. 7.6*íàïðÿæåíèÿ uC (0)/ð (ðèñ. 7.5) . Íàïðèìåð, ýêâèâàëåíòíàÿîïåðàòîðíàÿ ñõåìà äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
