Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Íåçàâèñèìûåíà÷àëüíûå óñëîâèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ êîììóòàöèè(6.1) è (6.2).6.2. Êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îñíîâå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ëåæèò ñîñòàâëåíèå èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé. Ýòè óðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà,ìåòîäîâ êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ìîãóò ñîäåðæàòüêàê íåçàâèñèìûå, òàê è çàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ îáû÷íî ïðèíÿòî ñîñòàâëÿòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿîòíîñèòåëüíî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, â êà÷åñòâå êîòîðîé ìîæåòñëóæèòü iL èëè uC . Ðåøåíèå ïîëó÷åííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ïåðåìåííîé è ñîñòàâëÿåò ñóùíîñòü êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ïðîùå èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ, ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ñâîäÿò ê îäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé iL èëè uC .

Ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿ159åòñÿ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ íàêîïèòåëåé ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî èìàãíèòíîãî ïîëåé.Îáîçíà÷èì íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ (iL èëè uC ) ÷åðåç x = x(t).Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå m-ão ïîðÿäêà, îïèñûâàþùåå ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì èñòî÷íèêà w(t), îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:d mxd m -1xdx+ bm -1+ K + b1+ b0 x = w ( t ) ,(6.3)dt mdt m -1dtãäå b0, b1, ..., bm–1, bò — êîýôôèöèåíòû ïàðàìåòðîâ öåïè; w(t) —ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ õàðàêòåð âîçäåéñòâèÿ íà öåïü.Öåïü, ïàðàìåòðû êîòîðîé b0, b1, ..., bm–1, bò – íåèçìåííû, íàçûâàþò öåïüþ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Åñëè æå êàêîé-ëèáîèç êîýôôèöèåíòîâ b0, b1, ..., bm–1, bò — ïåðåìåíåí, òî öåïü íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêîé.

 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü öåïè ñïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè.Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.3) îòíîñèòñÿ ê ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì óðàâíåíèÿì ò-ãî ïîðÿäêà. Êàê èçâåñòíî, åãî ðåøåíèåíàõîäèòñÿ êàê ñóììà îáùåãî ðåøåíèÿ xñâ îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ m-ãî ïîðÿäêà:bmd m x ñâd m -1x ñâdx ñâ+ bm -1+ K + b1+ b0 x ñâ = 0dt mdt m -1dtè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ xïð óðàâíåíèÿ (6.3):bmx = x ïð + x ñâ ,(6.4)(6.5)ãäå xñâ è xïð — îáùåå è ÷àñòíîå ðåøåíèÿ.

Îáùåå ðåøåíèå xñâ îïðåäåëÿåò ñâîáîäíûå ïðîöåññû, êîòîðûå ïðîòåêàþò â öåïè áåç ó÷àñòèÿ èñòî÷íèêà w(t) (îòñþäà èíäåêñ «ñâ»). ×àñòíîå ðåøåíèå xïðîïðåäåëÿåò ïðèíóäèòåëüíûé ïðîöåññ (îòñþäà èíäåêñ «ïð»), êîòîðûé ïðîòåêàåò â öåïè ïîä âëèÿíèåì w(t).  òåîðèè öåïåé xïðîáû÷íî íàõîäÿò îäíèì èç ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòàöåïåé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå.Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà xñâ áóäåò çàâèñåòü îò õàðàêòåðà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:bm p m + bm -1p m -1 + K + b1p + b0 = 0.(6.6) ñëó÷àå, êîãäà êîðíè p1, p2, ..., ðò õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.6) âåùåñòâåííûå è ðàçëè÷íûå, ðåøåíèå (6.4) èìååò âèäx ñâ = A1e p1t + A2e p2t + K + Am e pmt .(6.7)ãäå A1, A2, ..., Aò — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé. ñëó÷àå, êîãäà êîðíè óðàâíåíèÿ (6.6) âåùåñòâåííûå è ðàâíûå,ò.

å. p1 = p2 = ... = ðò = p, ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèåì160x ñâ = ( A1 + A2t + A3t 2 + K + Amt m -1 ) e pt .(6.8)Ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ è ñëó÷àé, êîãäà êîðíè ïîïàðíî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ðk,k–1 = —a ± jwñ. Ïðè ýòîì âôîðìóëå (6.7) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà êîðíåé ðk,k–1 çàìåíÿåòñÿ ñëàãàåìûìè âèäàAe -at sin ( w ct + q ) ,(6.9)ãäå A, q — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿåìûå òàêæå èçíà÷àëüíûõ óñëîâèé.6.3. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêàÐàññìîòðèì ïðèìåíåíèå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ê ðàñ÷åòó ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ýòî öåïè, ñîäåðæàùèåòîëüêî îäíîòèïíûå ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû (åìêîñòè èëè èíäóêòèâíîñòè), ïðîöåññû, â êîòîðûõ îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìèóðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêàdx+ b0 x = w ( t ) .(6.10)dtÏðèìåðîì öåïåé ïåðâîãî ïîðÿäêà ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèå RL èRC öåïè.Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â RL-öåïÿõ.

Ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå RLöåïè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ u(t) (ðèñ. 6.1). Èç ðèñ. 6.1 ñëåäóåò,÷òî äî êîììóòàöèè êëþ÷ Ê ðàçîìêíóò, ïîýòîìó òîê iL(0–) = 0 èöåïü íàõîäèòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.  ìîìåíò t = 0êëþ÷îì Ê çàìûêàåì (îñóùåñòâèì êîììóòàöèþ) öåïü, ïîäêëþ÷èâ ååê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ u(t). Ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à Ê â öåïèíà÷íåòñÿ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. Äëÿ åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿâûáåðåì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé iL = i è ñîñòàâèì îòíîñèòåëüíî íåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïî ÇÍÊ:b1di= u (t ).(6.11)dtÓðàâíåíèå (6.11) îòíîñèòñÿ ê ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà òèïà (6.3), ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî çàïèñàòü ñîãëàñíî (6.5) â ôîðìåRi + u L = Ri + Li = iïð + iñâ ,ãäå iñ⠗ ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà,îáóñëîâëåííàÿ ñâîáîäíûìè ïðîöåññàìè,ïðîòåêàþùèìè â öåïè áåç ó÷àñòèÿ èñòî÷íèêà u(t); inp — ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà, îáóñëîâëåííàÿ äåéñòâèåì èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ u(t).(6.12)KRu(t)LuLÐèñ.

6.1161Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà iñâ åñòü îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿRiñâ + Lè ñîãëàñíî (6.7)diñâ=0dtiñâ = Ae pt ,(6.13)(6.14)ãäå À — ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ; ð — êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òèïà (6.6);pL + R = 0.(6.15)Îòñþäà p = —R/L. Âåëè÷èíà 1/ | ð | íîñèò íàçâàíèå ïîñòîÿííîéâðåìåíè öåïè.  íåðàçâåòâëåííîé RL-öåïè t = L/R.Ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ iïp ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.11). Îäíàêî, êàê áûëî óêàçàíî âûøå, iïp ìîæíî íàéòè áîëåå ïðîñòî ìåòîäàìè ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà öåïè. Ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:1) u ( t ) = U = const; 2) u ( t ) = U m sin ( wt + j u ) . ïåðâîì ñëó÷àå ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà: iïp = U/R.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ–t/ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ A ïåðåïèøåì (6.12) â ôîðìå i = Àå t ++ U/R è ó÷òåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ i, à òàêæå ïåðâûé çàêîíêîììóòàöèè (6.1):i ( 0- ) = i ( 0+ ) = 0 = A + U R.Îòñþäà À = —U/R. Òàêèì îáðàçîì, çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â RLöåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìU( 1 - e -t t ) .RÍàïðÿæåíèå íà èíäóêòèâíîñòè ñîãëàñíî (1.9)i=u, iUi(t)U/eu L(t)0ti ñâ=U eR-U/RÐèñ. 6.2162t tdi= Ue -t t .(6.17)dtÍà ðèñ. 6.2 èçîáðàæåíû ãðàôèêèçàâèñèìîñòè i(t) è uL(t). Àíàëèç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé (6.16) è (6.17)ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷åì áîëüøå ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè t, òåì ìåäëåííåå çàòóõàåò ïåðåõîäíîé ïðîöåññ.Íà ïðàêòèêå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ïåðåõîäíîé ïðîöåññ çàêîí÷åííûì ïðèt = (3 ...

5) t, ïðè t = 3t òîê äîñòèãàåò 95% ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíàuL = Li ïðU/Rt(6.16)÷åíèÿ, à ïðè t = 5t — áîëåå 99%. Ãðàôè÷åñêè ïîñòîÿííàÿ âðåìåíèt ìîæåò îïðåäåëèòüñÿ êàê èíòåðâàë âðåìåíè íà îñè t îò t = 0 äîòî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíîé ê uL (ðèñ. 6.2), â óêàçàííûé ìîìåíòíàïðÿæåíèå íà uL óìåíüøàåòñÿ â å ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì.Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè íóëåâûõíà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â ìîìåíò t = 0+ èíäóêòèâíîñòü âåäåò ñåáÿ êàêáåñêîíå÷íî áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå (ðàçðûâ öåïè), à ïðè t = ¥ êàêáåñêîíå÷íî ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå (êîðîòêîå çàìûêàíèå öåïè).Äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà ñîãëàñíî § 3.6 iïð = Im sin ( wt + j u - j ) , ãäå Im = U m R 2 + (wL) 2 , j == arctg (wL/R).

Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿiL ( 0 - ) = iL ( 0 + ) = 0 = A + Im sin ( j u - j ) ,îòêóäà A = - Im sin ( j u - j ) . Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí èçìåíåíèÿ òîêàâ öåïè â ýòîì ñëó÷àå áóäåòi = Im sin ( wt + j u - j ) - Im sin ( j u - j ) e -t t .(6.18)Íà ðèñ. 6.3 èçîáðàæåíà âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü òîêà (6.18). Íàïðÿæåíèå íà èíäóêòèâíîñòèuL = Ldi= U mL sin ( wt + j u - j + p 2 ) +dtR+ U mLsin ( j u - j ) e -t t ,wL(6.19)ãäå UmL = wLIm.Àíàëèç óðàâíåíèÿ (6.18) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå ïîäêëþ÷åíèÿöåïè ê èñòî÷íèêó u(t) â ìîìåíò, êîãäà ju = j ± p/2 â ïîñëåäíåéìîãóò âîçíèêàòü ñâåðõòîêè.

Åñëè ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè t äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî ñêà÷îê òîêà â íà÷àëüíûé ïåðèîä ìîæåò äîñòèãàòüimax » 2Im. Íàïðîòèâ, ïðè âêëþ÷åíèè öåïè â ìîìåíò, êîãäà ju = j,â íåé ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Àíàëîãè÷íàÿ êàðòèíà íàáëþäàåòñÿ è ñ íàïðÿæåíèåì íà èíäóêòèâíîñòè (6.19). êà÷åñòâå âòîðîãî ïðèìåðà ðàñ÷åòà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â RL-öåïè (ðèñ. 6.4). Ê ìîìåíòó êîììóòàöèè â äàííîé öåïè áûëà çàïàñåíà ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ,2ðàâíàÿ WL = Li (0–)/2, ãäå i(0–) = U/(R0 + R).

Ïîñëå êîììóòàöèè â RL-öåïè âîçíèêàåò ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, îïèñûâàåìûéóðàâíåíèåì:di+ Ri = 0,(6.20)dt= 0. Ðåøàÿ óðàâíåíèå (6.20), íàõîäèì ñ ó÷åòîì (6.13) –Lò. å. iïp(6.15):i = iñâ = Ae pt = Ae -t t .163u, iUR + R0ii ïði(t)00 j i /wttu L (t)ii ñâu L (0+)Ðèñ. 6.3R0+Ðèñ. 6.5RiiKUu(t)LKRÐèñ. 6.4CuCÐèñ. 6.6Ïîñòîÿííóþ À íàõîäèì èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ i(0–) è çàêîíà êîììóòàöèè (6.1):i ( 0 - ) = i ( 0 + ) = U ( R + R0 ) = A.Îêîí÷àòåëüíî çàêîí èçìåíåíèÿ òîêà â ïåðåõîäíîì ðåæèìå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìi=Ue -t t .R + R0(6.21)Íàïðÿæåíèå uL îïðåäåëÿåòñÿ êàêuL = LdiU=Re -t t .dtR + R0(6.22)Íà ðèñ. 6.5 èçîáðàæåíû ãðàôèêè i è uL.

Характеристики

Список файлов книги