Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 24
Текст из файла (страница 24)
5.1, à), â ðàçëîæåíèè (5.3) îêàæóòñÿòîëüêî ÷åòíûå (êîñèíóñîèäàëüíûå) ãàðìîíèêè:*Ïîíÿòèå îòðèöàòåëüíîé ÷àñòîòû íå èìååò ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, îäíàêî îíî óäîáíî âòåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ, ïîýòîìó øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.146f(a)f (a)1-3p/2 -p/2 01p/23p/2a-2p-pp0-12pa-1a)á)Ðèñ. 5.1f (a) =¥a0+ å ak cos ka ,2 k =1à ïðè ñèììåòðè÷íîñòè f (a) îòíîñèòåëüíî(ðèñ. 5.1, á) íå÷åòíûå ãàðìîíèêèf (a) =(5.11)íà÷àëà¥å bk sin ka.êîîðäèíàò(5.12)k =1Ïðè ñäâèãå íà÷àëà îòñ÷åòà ôóíêöèè f (a) åå àìïëèòóäíûéñïåêòð íå èçìåíÿåòñÿ, à ìåíÿåòñÿ òîëüêî ôàçîâûé ñïåêòð.
Äåéñòâèòåëüíî, ñäâèíåì ôóíêöèþ f (a) ïî îñè âðåìåíè âëåâî íà t0 è îáîçíà÷èì a1 = w1 (t + t0).Òîãäà ðàçëîæåíèå (5.9) ïðèìåò âè䥥üaaf ( a 1 ) = 0 + å Ak cos ( ka 1 - j k ) = 0 + å Ak cos ( ka - j¢k ) ïý (5.13)2 k =12 k =1ïþãäå j¢k = j k + wt0 .Ïðèìåð. Ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïðÿìîóãîëüíûå êîëåáàíèÿ (ðèñ. 5.1, á).Ó÷èòûâàÿ, ÷òî f (a) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò â ðàçëîæåíèè (5.3) îñòàíóòñÿ òîëüêî ñèíóñîèäàëüíûå ãàðìîíèêè (5.12), ãäå bk îïðåäåëèòñÿ ñîãëàñíî (5.4):p24bk = ò f ( a ) sin ka da =, ãäå k = 1,3,5,Kkpp0Ïîäñòàâèâ bk â (5.12), ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå:f (a) =4 æ sin a sin 3a sin 5aö+++ K ÷.çpè 1ø35(5.14)Äàëåå ñäâèíåì f (a) íà p/2 âëåâî (ñì. ðèñ. 5.1, à). Òîãäà ñîãëàñíî (5.13)ïîëó÷èì4 é sin ( a + p 2 ) sin 3 ( a + p 2 ) sin 5 ( a + p 2 )ùf (a) = ê+++ Kú =pëû135(5.15)4 æ cos a cos 3a cos 5aö= ç+- K÷,pè 1ø35ò.
å. ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèå ïî êîñèíóñîèäàëüíûì ñîñòàâëÿþùèì êàê è äîëæíîáûòü äëÿ ñèììåòðè÷íîãî îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò ñèãíàëà.147f(an)f(a)m0anDa2p4paÐèñ. 5.2 ðÿäå ñëó÷àåâ, êîãäà ïåðèîäè÷íàÿ ôóíêöèÿ f (a) çàäàíà ãðàôè÷åñêè è èìååò ñëîæíóþ ôîðìó, åå ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüåìîæíî îñóùåñòâèòü ãðàôî-àíàëèòè÷åñêèì ñïîñîáîì.
Åãî ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðèîä ñèãíàëà Ò (ðèñ. 5.2) ðàçáèâàþò íà mèíòåðâàëîâ, ðàâíûõ Da = 2p/ò, ïðè÷åì òî÷êè ðàçðûâà f (a) íåäîëæíû ïîïàäàòü íà ñåðåäèíó ó÷àñòêîâ ðàçáèåíèÿ; îïðåäåëÿþòçíà÷åíèå ñèãíàëà f (an) â ñåðåäèíå êàæäîãî ó÷àñòêà ðàçáèåíèÿ.Íàõîäÿò êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ àk è bk ïóòåì çàìåíû èíòåãðàëà â (5.2) êîíå÷íîé ñóììîé2 m2p üf ( a n ) cos k ( n - 1 2 ),åm n =1m ïïý2 m2p ïbk »å f ( a n ) sin k ( n - 1 2 ) m . ïm n =1þak »(5.16)Óðàâíåíèå (5.16) ëåãêî ïðîãðàììèðóåòñÿ è ïðè âû÷èñëåíèè àkè bk, ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ÝÂÌ.5.2.
Äåéñòâóþùåå, ñðåäíåå çíà÷åíèå è ìîùíîñòüïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëàÄëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèì, ÷òî f (t) èìååò ñìûñë òîêà i (t).Òîãäà äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî òîêà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.5), ãäå i (t) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì(5.10):i(t ) =¥åk =0Imk cos ( ka - j k ) = I0 +¥å Imk cos ( kw1t - j k ).(5.17)k =1Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå òîêà â (3.5), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì¥ I2¥mk22I = I0 + å= I0 + å Ik2 ,(5.18)2k =1k =1ò. å.
äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî òîêàI ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè åãî ãàðìîíèêIk è íå çàâèñèò îò èõ íà÷àëüíûõ ôàç jk.148Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèì äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ:U=U 02+¥2U mkk =12å= U 02 +¥å Uk2 ,(5.19)k =1Ñðåäíåå çíà÷åíèå òîêà îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî îáùåìó âûðàæåíèþ (3.9).
Ïðè÷åì îáû÷íî áåðóò ñðåäíåå çíà÷åíèå i(t) ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíåIñð ( 2 )1T= ò i ( t ) dt.T0(5.20)Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ Uñð (2).Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè öåïåé, áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåòñðåäíÿÿ àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà è ðàñïðåäåëåíèå åå ìåæäó îòäåëüíûìè ãàðìîíèêàìè.Ñðåäíÿÿ àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãîñèãíàëàP=1Tò u ( t ) i ( t ) dt,T0(5.21)ãäå¥üïïk =0(5.22)ý¥ïu ( t ) = å U mk cos ( kw 1t - j k + y k ) ,ïþk=0yk ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì k-é ãàðìîíèêè.Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ i(t) è u(t) èç (5.22) â óðàâíåíèå (5.21), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì:i(t ) =åP=Imk cos ( kw 1t - j k ),¥å Uk Ik cos y k =k =0¥åk =0Pk ,(5.23)ò, å.
ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà ðàâíà ñóììå ìîùíîñòåé îòäåëüíûõ ãàðìîíèê.Ôîðìóëà (5.23) ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ôîðì øèðîêî èçâåñòíîãî ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ.Àíàëîãè÷íî íàõîäèì ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòüQ=¥å Uk Ik sin y k¥=k =0å Qk(5.24)Ik2 .(5.25)k =0è ïîëíóþ ìîùíîñòüS = UI =¥å Uk2k=0¥åk =0149Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â îòëè÷èå îò ãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ(ñì. (3.121)) äëÿ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâS¹P 2 + Q2.(5.26)Âåëè÷èíà Pècê = S 2 - ( P 2 + Q 2 ) íîñèò íàçâàíèå ìîùíîñòèèñêàæåíèé è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàçëè÷èÿ â ôîðìàõ òîêà i(t) èíàïðÿæåíèÿ u(t).Êðîìå ìîùíîñòè èñêàæåíèé ïåðèîäè÷åñêèå íåãàðìîíè÷åñêèåñèãíàëû õàðàêòåðèçóþòñÿ åùå ðÿäîì êîýôôèöèåíòîâ: ìîùíîñòè,kì = P/S; ôîðìû Kô = U/Uñð (2); àìïëèòóäû Ka = Um/U; èñêàæåíèé kè = U1/U; ãàðìîíèê kã =¥å Uk2k=2äàëüíîãî ñèãíàëà kô = p/2 2 » 1,11; ka =U1 è äð. Äëÿ ñèíóñîè2 » 1,41; kè = 1; kã = 0.5.3.
Ñïåêòðû ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ,èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 5.3, à. Ñèãíàëû ïîäîáíîé ôîðìû íàõîäÿòî÷åíü øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðàäèîòåõíèêå è ýëåêòðîñâÿçè: òåëåãðàôèÿ, öèôðîâûå ñèñòåìû ïåðåäà÷è, ñèñòåìû ìíîãîêàíàëüíîé ñâÿçè ñ âðåìåííûì ðàçäåëåíèåì êàíàëîâ, ðàçëè÷íûå èìïóëüñíûå èöèôðîâûå óñòðîéñòâà è äð. (ñì. ãë.
19). Èìïóëüñíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè:*àìïëèòóäîé èìïóëüñà Aè , åãî äëèòåëüíîñòüþ tè è ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ Ò. Îòíîøåíèå ïåðèîäà Ò ê äëèòåëüíîñòè tè íàçûâàåòñÿñêâàæíîñòüþ èìïóëüñîâ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç q = T/tè. Îáû÷íîçíà÷åíèÿ ñêâàæíîñòè èìïóëüñîâ ëåæàò â ïðåäåëàõ îò íåñêîëüêèõåäèíèö (â èçìåðèòåëüíîé òåõíèêå, óñòðîéñòâàõ äèñêðåòíîé ïåðåäà÷è è îáðàáîòêè èíôîðìàöèè), äî íåñêîëüêèõ ñîòåí èëè òûñÿ÷ (âðàäèîëîêàöèè).Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ âîñïîëüçóåìñÿ ðÿäîì Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå (5.6).f (t)Aè-tè /20tèf (t)Aètè /2Tta)0á)Ðèñ.
5.3*Âåëè÷èíà Aè ìîæåò èìåòü ñìûñë êàê íàïðÿæåíèÿ, òàê è òîêà.150tèTtAk /2Àè /2Ak /2q=2-6 -5 -4-2 -1 0 1 2-33à)q=44 5 6 k-12 -8-404812 ká)Ðèñ. 5.4Êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà k-é ãàðìîíèêè ðàâíà ñîãëàñíî (5.8) ïîñëåâîçâðàùåíèÿ ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé t.2Ak =TT 22ò f ( t ) e - jkw1tdt = T-T 2tè 2òAè e jkw 1 t dt =-t è 2(5.27)2 Aè sin ( kw 1 t è 2 )=.qkw 1t è 2Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå Ak â óðàâíåíèå (5.6), ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå âðÿä Ôóðüå:f (t ) =A1 ¥A k e jkw 1t = èå2 k = -¥q¥sin ( kw 1t è 2 )k = -¥kw 1 t è 2åe jkw 1t .(5.28)Íà ðèñ. 5.4 èçîáðàæåí ñïåêòð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä äëÿ q = 2è q = 4. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, ñïåêòð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíûé ñïåêòð ñ îãèáàþùåé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 5.4), êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿôóíêöèåéf ( x ) = sin ( x ) x , ãäå x = kp q ,(5.29)íîñÿùåé íàçâàíèå ôóíêöèè îòñ÷åòîâ (ñì.
ãë. 19). ×èñëî ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ìåæäó íà÷àëîì îòñ÷åòà ïî îñè ÷àñòîò è ïåðâûì íóëåìîãèáàþùåé ðàâíî q1. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà (ñðåäíåå çíà÷åíèå) a0 2 = Aè q , à äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå A = Aè q ,ò. å. ÷åì áîëüøå ñêâàæíîñòü, òåì ìåíüøå óðîâåíü ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ñèãíàëà. Ñ óâåëè÷åíèåìñêâàæíîñòè q ÷èñëî äèñêðåòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ óâåëè÷èâàåòñÿ ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ.
5.4, á), è àìïëèòóäà ãàðìîíèêóáûâàåò ìåäëåííåå. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ(5.27) ñïåêòð ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ âåùåñòâåííûé.Èç ñïåêòðà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä (5.27) ìîæíî âûäåëèòü àìïëèòóäíûé Ak = | Ak | è ôàçîâûé ñïåêòð jk = arg Ak , èçîáðàæåííûéíà ðèñ. 5.5 äëÿ ñëó÷àÿ q = 4. Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî àìïëèòóäíûéñïåêòð ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, à ôàçîâûé íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû.Ïðè÷åì, ôàçû îòäåëüíûõ ãàðìîíèê ïðèíèìàþò ëèáî íóëåâîå çíà151jkAk /2Àè /2p-8-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k-8à)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 48 ká)Ðèñ. 5.5÷åíèå ìåæäó óçëàìè, ãäå ñèíóñ ïîëîæèòåëüíûé, ëèáî ±p, ãäå ñèíóñîòðèöàòåëüíûé (ðèñ. 5.5, á)Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5.28) ïîëó÷èì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþôîðìó ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ÷åòíûì ãàðìîíèêàì (ñðàâíè ñ(5.15)):f (t ) =Aè 4 Aè æ cos w 1t cos 3w 1t cos 5w 1tö++- K ÷.çqp èø135(5.30)Ïðè ñäâèãå èìïóëüñíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îñè âðåìåíè(ðèñ.
5.2, á) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.13) åå àìïëèòóäíûé ñïåêòð îñòàíåòñÿ ïðåæíèì, à ôàçîâûé ñïåêòð èçìåíèòñÿ:f (t ) =Aè 4 Aè æ sin w 1t sin 3w 1t sin 5w 1tö++++ K ÷.çqp èø135(5.31) ñëó÷àå, êîãäà ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ðàçíîïîëÿðíóþ ôîðìó (ñì. ðèñ. 5.1), â ñïåêòðå áóäåò îòñóòñòâîâàòü ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ (ñðàâíèòå (5.30) è (5.31) ñ (5.14) è (5.15)).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî èññëåäîâàòü ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ äðóãîé ôîðìû. Âòàáë. 5.1 ïðèâåäåíî ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå íåêîòîðûõ íàèáîëååðàñïðîñòðàíåííûõ ñèãíàëîâ.5.4. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõâîçäåéñòâèÿõ îñíîâå ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, íàõîäÿùèõñÿïîä âîçäåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ, ëåæèòïðèíöèï íàëîæåíèÿ (ñì.
§ 1.6). Åãî ñóòü ïðèìåíèòåëüíî ê íåãàðìîíè÷åñêèì âîçäåéñòâèÿì çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçëîæåíèè íåãàðìîíè÷åñêîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà â îäíó èç ôîðì ðÿäà Ôóðüå(ñì. § 5.1) è îïðåäåëåíèè ðåàêöèè öåïè îò êàæäîé ãàðìîíèêè â îòäåëüíîñòè. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ íàõîäèòñÿ ïóòåì ñóïåðïîçèöèè (íàëîæåíèÿ) ïîëó÷åííûõ ÷àñòè÷íûõ ðåàêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàäà÷ó àíàëèçà ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ñèãíàëà (ðàçëîæåíèå åãî â ðÿä Ôóðüå), ðàñ÷åò öåïè îò êàæäîé ãàð152Òàáëèöà 5.1Òèïû ñèãíàëàf (t)1Ðàçëîæåíèå â ðÿä ÔóðüåAètèf (t ) =tT2Aèf (t)4f (t )T2T1å k sinkw 1tk =12cos kw 1ttAèt 2 t1 0 t1 t2¥é1 1 ¥ 1ùf ( t ) = Aè ê - å sin kw 1t úë 2 p k =1 kû034 AèptT¥é ( t + t2 )2T1+ 2´f ( t ) = Aè ê 1åTp ( t 2 - t1 ) k =1 k 2ëp ( t1 + t 2 )p ( t 2 - t1 )ù´ sin ksin kcos kw 1t úûTTAèT/20 T/4T3/4Tt8Af ( t ) = 2èp¥åk =1sin 2 kk2p2 cos kw t1-A è5f (t) Aèf (t ) =-T -T/2 T/2 T6f (t )-tè /2 0tAètè /2Tt2 Aèp¥ cos 2 kw t + p ùé()112+êúå4k 2 - 1ëûk =1ét4T ¥f ( t ) = Aè ê è + 2 å ´ë 2T p t è k =1ptùsin 2 k è2T cos kw t ú´1 ú2ûkìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé è çàäà÷ó ñèíòåçà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãîîïðåäåëÿåòñÿ ðåçóëüòèðóþùèé âûõîäíîé ñèãíàë êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè (÷àñòîòû) èëè åãî äåéñòâóþùåå (àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå).Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è àíàëèçà îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé (5.3) èëè êîìïëåêñíîé (5.6) ôîðìîé ðÿäà Ôóðüå ñ îãðàíè÷åííûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê íåêîòîðîéïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè èñòèííîãî ñèãíàëà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
