Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Âåëè÷èíûH1 ( w ) = H ( w ) cos j ( w ) è ü(4.8)ýH 2 ( w ) = H ( w ) sin j ( w )þåñòü âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèè öåïè.Èç (4.5) (4.8) íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèåÀ×Õ è Ô×Õ ñ âåùåñòâåííûìè è ìíèìûìè ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîéïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H1 ( w ) è H 2 ( w )H ( w) =H12 ( w ) + H 22 ( w ) ;j ( w ) = arctgH2 ( w )H1 ( w ).(4.9)(4.10)À×Õ è Ô×Õ ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûìè ïîíÿòèÿìè òåîðèè öåïåé è øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ íà ïðàêòèêå.
Âàæíîñòüýòèõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ñèñòåì ýëåêòðè÷åñêîé ñâÿçè, ðàäèîâåùàíèÿ è òåëåâèäåíèÿ îáúÿñíÿåòñÿ ñàìîé ïðèðîäîé ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ îïðåäåëåííîãî ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ïî êàíàëàì ñâÿçè. Òðåáîâàíèÿ ê À×Õ è Ô×Õ ðàçëè÷íûõ óñòðîéñòâ ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ëþáîé àïïàðàòóðû ñâÿçè, òàê êàêîò ñòåïåíè èõ âûïîëíåíèÿ âî ìíîãîì çàâèñèò êà÷åñòâî ïåðåäà÷èèíôîðìàöèè.Ïðèìåð.
Îïðåäåëèòü ÊÏÔ ïî íàïðÿæåíèþ Hu (jw), À×Õ è Ô×Õ öåïè,èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.2.Ñîãëàñíî (4.1) çàïèøåì:H u ( jw ) = U 2 U 1 .Íàéäåì êîìïëåêñíîå äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà âûõîäå öåïè:U2 = IU1U111=×=.( jw C ) ( R + 1 jw C ) jw C 1 + jwRC111H(w)j (w )j1H(¥), j(¥)w0w -p/20H(0)à)á)w0H(w)â)Ðèñ. 4.3Ïîäñòàâèâ U2 â ôîðìóëû äëÿ Hu (jw), ïîëó÷èì ÊÏÔ:À×Õ öåïèH u ( jw ) = 1 ( 1 + jwRC ) ;(4.11)1 + ( w RC ) ;(4.12)Hu ( w ) = 12Ô×Õ öåïèj ( w ) = - arctg w RC(4.13)(À×Õ è Ô×Õ öåïè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4.3, à, á).À×Õ è Ô×Õ öåïè ìîæíî ïðåäñòàâèòü åäèíûì ãðàôèêîì, åñëèïîñòðîèòü çàâèñèìîñòü ÊÏÔ H(jw) îò ÷àñòîòû w íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè.
Ïðè ýòîì êîíåö âåêòîðà H(jw) îïèøåò íåêîòîðóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãîäîãðàôîì êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîéôóíêöèè (ðèñ. 4.3, â). ðÿäå ñëó÷àåâ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ â î÷åíü øèðîêèõ ïðåäåëàõ, ïîýòîìó áîëåå óäîáíî èõ îöåíèâàòü â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå. Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ îöåíêè À×Õââîäÿò ïîíÿòèå ëîãàðèôìè÷åñêîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè (ËÀÕ):K = 20 lg H ( w )(4.14)Îöåíèâàåòñÿ ËÀÕ ñîãëàñíî (4.14) â äåöèáåëàõ (äÁ).  àêòèâíûõöåïÿõ Ê íàçûâàþò åùå ëîãàðèôìè÷åñêèì óñèëåíèåì. Äëÿ ïàññèâíûõ öåïåé âìåñòî êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ îïåðèðóþò îñëàáëåíèåìöåïè:A = 20 lg éë 1 H ( w ) ùû ,(4.15)êîòîðîå òàêæå îöåíèâàåòñÿ â äåöèáåëàõ.Íàðÿäó ñ ïåðåäàòî÷íûìè ôóíêöèÿìè (4.1) (4.4) â ðÿäå ñëó÷àåâ (ñì. ãë.
16, 17,18) íàõîäÿò ïðèìåíåíèå êîìïëåêñíûå ôóíêöèè,îïðåäåëÿþùèåñÿ îòíîøåíèåì êîìïëåêñíîé ðåàêöèè ê êîìïëåêñíîìó âîçäåéñòâèþ íà âõîäíûõ çàæèìàõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè(ðèñ. 4.4)Zâõ ( jw ) = U 1 I 1 ; Y âõ ( jw ) = I 1 U 1 .(4.16)Ôóíêöèè âèäà (4.16) íîñÿò íàçâàíèå êîìïëåêñíûõ âõîäíûõ ôóíêöèé öåïåé.112U1RiI1ÄâóõïîëþñíèêÐèñ. 4.4uCLÐèñ. 4.54.2. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîñëåäîâàòåëüíîãîêîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà ðàäèîòåõíèêå è ýëåêòðîñâÿçè áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ÿâëåíèåðåçîíàíñà. Ðåçîíàíñîì íàçûâàþò òàêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîéöåïè, ñîñòîÿùåé èç ðàçíîõàðàêòåðíûõ ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, ïðèêîòîðîì ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó âõîäíûì òîêîì è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì ðàâåí íóëþ. Öåïè, â êîòîðûõ âîçíèêàåò ÿâëåíèå ðåçîíàíñà, íàçûâàþò êîëåáàòåëüíûìè êîíòóðàìè, èëè ðåçîíàíñíûìèöåïÿìè.Êîëåáàòåëüíûå êîíòóðû è ÿâëåíèÿ ðåçîíàíñà íàõîäÿò øèðîêîåïðèìåíåíèå â ðàäèîòåõíèêå è ýëåêòðîñâÿçè.
Ðåçîíàíñíûå öåïè ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ìíîãèõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ: èçáèðàòåëüíûå öåïè â ðàäèîïðèåìíèêàõ è óñèëèòåëÿõ, ÷àñòîòíî-çàâèñèìûå ýëåìåíòû àâòîãåíåðàòîðîâ, ôèëüòðîâ, êîððåêòîðîâ, äðóãèõ óñòðîéñòâ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûñîêèõ òåõíèêî-ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé (èçáèðàòåëüíîñòè, ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ, êîýôôèöèåíòàïðÿìîóãîëüíîñòè, ðàâíîìåðíîñòè è ò. ä.) ðåçîíàíñíûå öåïè äîëæíû èìåòü äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó (ìíîãîêîíòóðíûå ñâÿçàííûå öåïè, àêòèâíûå ðåçîíàíñíûå ñèñòåìû è äð.). Íåêîòîðûå èçýòèõ ñèñòåì áóäóò ðàññìîòðåíû â ãë. 15, 17.  íàñòîÿùåé ãëàâåèçó÷èì îñíîâíûå îñîáåííîñòè ðàáîòû öåïåé â ðåæèìå ðåçîíàíñà íàïðèìåðå ïðîñòåéøèõ êîëåáàòåëüíûõ êîíòóðîâ.Ïðîñòåéøèé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ñîäåðæèò èíäóêòèâíûé èåìêîñòíûé ýëåìåíòû, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî (ïîñëåäîâàòåëüíûé êîíòóð) èëè ïàðàëëåëüíî (ïàðàëëåëüíûé êîíòóð). Âïîñëåäíåå âðåìÿ øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ðåçîíàíñíûåöåïè íà áàçå îïåðàöèîííûõ óñèëèòåëåé (ÎÓ).
Ðàçëè÷àþò äâà òèïà ðåçîíàíñîâ: íàïðÿæåíèé è òîêîâ.  ïîñëåäîâàòåëüíîì êîíòóðåâîçíèêàåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé, à â ïàðàëëåëüíîì ðåçîíàíñòîêîâ.×àñòîòó, íà êîòîðîé íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå ðåçîíàíñà, íàçûâàþòðåçîíàíñíîé.Íà ðèñ. 4.5 èçîáðàæåíà ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîíòóðà ñ ðåàêòèâíûìè ýëåìåíòàìè L è Ñ è ðåçèñòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R, õàðàêòåðèçóþùèì ïîòåðè â êîíòóðå. Ïðèëîæèì ê êîíòóðó ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå ñ ÷àñòîòîé w. Êîìïëåêñíîå âõîäíîå ñîïðî113òèâëåíèå êîíòóðà íà äàííîé ÷àñòîòå îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþZ = R + jX = R + j ( wL - 1 wC ) ,(4.17)à òîê â êîíòóðå óðàâíåíèåìI =U Z =U( R + jX ) .(4.18)Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåìj = arctg [ ( wL - 1 wC ) R ] = arctg ( X R ) .(4.19)Ïðè ðåçîíàíñå j = 0, ÷òî âîçìîæíî, åñëèX = wL - 1 wC = 0 .(4.20)Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû w0:w = w0 = 1LC .(4.21)Íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå íîñèò ÷èñòîàêòèâíûé õàðàêòåð, ò.
å. Z = R, òîê ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì è äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ I0 == U/R. Ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå w0 ðàâíû äðóã äðóãó:X L0 = XC 0 = w 0 L = 1 w 0 C =L C = r.(4.22)Âåëè÷èíà r íîñèò íàçâàíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà.Ðåçîíàíñíûå ñâîéñòâà êîíòóðà õàðàêòåðèçóþòñÿ äîáðîòíîñòüþêîíòóðà, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîéQ = 2pWðWà Ò,(4.23)ãäå Wð ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ðåàêòèâíîé ýíåðãèè, çàïàñåííîé â êîíòóðå ïðè ðåçîíàíñå; WaÒ àêòèâíàÿ ýíåðãèÿ, ïîãëîùàåìàÿ â êîíòóðå çà ïåðèîä Ò. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ äîáðîòíîñòè, íàçûâàåòñÿ çàòóõàíèåì êîíòóðà è îáîçíà÷àåòñÿ d:d = 1 Q.(4.24)Âåëè÷èíà Q áåçðàçìåðíà è îáû÷íî êîëåáëåòñÿ äëÿ ðåàëüíûõêîíòóðîâ îò 10 äî 100 è âûøå.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ñìûñëàïàðàìåòðà Q èññëåäóåì ýíåðãåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â êîíòóðå ïðèðåçîíàíñå. Ïîëîæèì, íàïðèìåð, ÷òî ïðè ðåçîíàíñå òîê â öåïèi = Im 0 sin w 0 t . Îïðåäåëèì ñîãëàñíî (1.10) è (1.13) ñóììó ýíåðãèéýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé:22Cu 2 Li 2 CU mCLIm200Wð = WC + WL =+=cos w 0t +sin 2 w 0t .2222114Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïðè ðåçîíàíñå U mC0 = Im0r = Im0 L C , ò. å.22CU mC0 = LIm 0 , òî ïîëó÷èì, ÷òî ñóììà ýíåðãèé ýëåêòðè÷åñêîãî èìàãíèòíîãî ïîëåé ïðè ðåçîíàíñå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé22Wð = CU mC0 2 = LIm 0 2 = const ,òàê êàê óìåíüøåíèå WL ñîïðîâîæäàåòñÿ óâåëè÷åíèåì WC è íàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, ïðîèñõîäèò ïåðèîäè÷åñêèé îáìåí ýíåðãèåéìåæäó ýëåìåíòàìè L è Ñ áåç ó÷àñòèÿ èñòî÷íèêà.
Ýíåðãèÿ èñòî÷íèêà ðàñõîäóåòñÿ òîëüêî íà ïîêðûòèå òåïëîâûõ ïîòåðü â ýëåìåíòåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R; ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïðè ðåçîíàíñåíå ïîòðåáëÿåòñÿ.Àêòèâíàÿ ýíåðãèÿ, ðàññåèâàåìàÿ â êîíòóðå çà ïåðèîä Ò, ðàâíà2Im0 RT.2Îòêóäà ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî T = 2p LC , ñ ó÷åòîì (4.23),ïîëó÷àåìWa T = I 2RT =Q=L C R = r R.(4.25)Íàéäåì îòíîøåíèå äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé íà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ (L è Ñ) ê äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè ðåçîíàíñå:U L0 UC0I w LI0r== 0 0 ===QUUUw 0CUR(4.26)Òàêèì îáðàçîì, äîáðîòíîñòü Q ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç ðåçîíàíñíûå íàïðÿæåíèÿ íà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ ïðåâûøàþò ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå.
Îòñþäà ñëåäóåò è òåðìèí «ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé». Ýòî ñâîéñòâî êîíòóðà «óñèëèâàòü» ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå.Âåëè÷èíû r, w0, Q, d ÿâëÿþòñÿ âòîðè÷íûìè ïàðàìåòR, X, ZXLZðàìè êîíòóðà â îòëè÷èå îò âåëè÷èí R, L, Ñ íàçûâàåìûõXïåðâè÷íûìè.RÀíàëèçèðóÿ õàðàêòåð óðàâíåíèé íàïðÿæåíèé è òîêîâ âXCRLC-öåïè, ôàçîâûõ ñäâèãîâìåæäó íèìè ïðè ãàðìîíè÷åñ0w0wêîì âîçäåéñòâèè íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñRCRRLòîòíî-çàâèñèìûìè.
Ýòà çàâèLñèìîñòü âûòåêàåò íåïîñðåäñòCâåííî èç çàâèñèìîñòè ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ XL è XC îòÐèñ. 4.6115jI(w)p/2I00w0w0-p/2w0Ðèñ. 4.7wÐèñ. 4.8÷àñòîòû w. Íà ðèñ. 4.6 è 4.7 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè XL(w),XC(w), Z(w), j(w), îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè:X L ( w ) = wL, XC ( w ) = 1 wC , X ( w ) = wL - 1 ( wC ) , üï2ý (4.27)1 öæ2Z ( w ) = R + ç wL ;÷ïèwC øþj ( w ) = arctg { ( wL - 1 ( wC ) ) R } .(4.28)Èç ïðåäñòàâëåííûõ õàðàêòåðèñòèê ñëåäóåò, ÷òî ïðè w < w0 öåïüèìååò åìêîñòíûé õàðàêòåð (Õ < 0; j < 0) è òîê îïåðåæàåò ïî ôàçåïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ïðè w > w0 õàðàêòåð öåïè èíäóêòèâíûé(Õ > 0; j > 0) è òîê îòñòàåò ïî ôàçå îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ;ïðè w = w0 íàñòóïàåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé (Õ = 0; j = 0) è òîêñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì.
Ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðèíèìàåò ïðè ýòîì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå Z = R.Çàâèñèìîñòü äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ òîêà îò ÷àñòîòû ìîæíî*íàéòè èç óðàâíåíèÿ (4.18) :I ( w) = U2R 2 + ( wL - 1 wC ) .(4.29)Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõìîæíî íàéòè ñîãëàñíî çàêîíó Îìà:UL ( w ) = I ( w ) XL ( w ) =UC ( w ) = I ( w ) XC ( w ) =U wLR + ( wL - 1 w C )22,Uw C R + ( wL - 1 w C )22(4.30).(4.31)Çàâèñèìîñòè I(w), U L(w), U C (w) íàçûâàþòñÿ ðåçîíàíñíûìèõàðàêòåðèñòèêàìè òîêà è íàïðÿæåíèé. Àíàëèç çàâèñèìîñòèI(w) ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè ðåçîíàíñåw = w0*Çàâèñèìîñòü (4.29) íîñèò íàçâàíèå ðåçîíàíñíîé êðèâîé òîêà (ðèñ. 4.8).116I0 = U R .(4.32)Âûõîäíîå íàïðÿæåíèå îáû÷íî ñíèìàåòñÿ ñ åìêîñòíîãî èëè èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà êîíòóðà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåòíàèáîëüøèé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ÊÏÔ ïî íàïðÿæåíèþ îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòîâ Ñ è L:HC ( j w ) = U C U =1,jwC [ R + j ( wL - 1 wC ) ](4.33)jwL.R + j ( wL - 1 wC )(4.34)H L ( jw ) = U L U =Èç óðàâíåíèé (4.33) è (4.34) íåòðóäíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿÀ×Õ è Ô×Õ ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîíòóðàHC ( w ) = HC ( jw ) =1w C R 2 + ( wL - 1 wC )H L ( w ) = H L ( jw ) =wLR + ( wL - 1 wC )222;j C ( w ) = - p 2 - arctg [ ( wL - 1 wC ) R ] , üýj L ( w ) = p 2 - arctg [ ( wL - 1 wC ) R ] . þ;(4.35)(4.36)(4.37)Íà ðèñ.
4.9 èçîáðàæåíû À×Õ è Ô×Õ ïîñëåäîâàòåëüíîãî êîíòóðà, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (4.35)(4.37).Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííûõ çàâèñèìîñòåé, À×Õ HC (w),HL(w) íîñÿò ýêñòðåìàëüíûé õàðàêòåð, ïðè÷åì ïðè w = ¥, HL(¥) == 1; HC(¥) = 0; ïðè w = w0 ñîãëàñíî (4.25) èìååìH L ( w 0 ) = H L0 = HC ( w 0 ) = HC0 = Q .(4.38)Ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ HC (w) è HL(w) äîñòèãàþòñÿ íà ÷àñòîòàõwC è wL , êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû èç óñëîâèé|H(jw)|QHCmHLmH L (w )H C (w )j (w )pp/201jLw0-p/20wCw0 wLà)wwjC-pá)Ðèñ. 4.9117¶HC ( w )¶H L ( w )= 0;= 0.¶w¶w(4.39)Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ HC (w) è HL (w) èç (4.35) è (4.36) â (4.39) èðåøèâ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èìwC = w 0( 2Q 2 - 1 ) ( 2Q 2 );w L = w0( 2Q 2 ) ( 2Q 2 - 1 ) .(4.40)Ïðè ýòîì À×Õ HC (w) è HL (w) ïðèìóò ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ:HCm = H Lm = 2Q 24Q 2 - 1 = 2 ( d 4 - d 2 ) .(4.41)Àíàëèç ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé ïîêàçûâàåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì äîáðîòíîñòè Q (óìåíüøåíèåì çàòóõàíèÿ d) ÷àñòîòû wC è wLñáëèæàþòñÿ ñ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé w0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
