Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 15
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3.14, á). Îïðåäåëèòü àêòèâíûå è ðåàêòèâíûåñîñòàâëÿþùèå òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà îáîèõ ó÷àñòêàõ. ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (3.57) ïîëó÷àåìG=RR2 + ( 1 wC )2=R2w2C21 wCwC, B= 2= 2.2221 + ( wRC )R + ( 1 wC )R + ( 1 wC )Èç ðèñ. 3.14 íàõîäèì óðàâíåíèÿ äëÿ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùèõíàïðÿæåíèÿ è òîêà:Ua = RI, Up = I ( wC ) ; Ia = GU, Ip = BU .Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä îñîáåííî ýôôåêòèâåí ïðè àíàëèçå ñëîæíûõ ðàçâåòâëåííûõ öåïåé. Ïðè÷åì ïîñêîëüêó âñå ìåòîäû ðàñ÷åòàïîäîáíûõ öåïåé (ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ,íàëîæåíèÿ è äð.) áàçèðóþòñÿ íà çàêîíàõ Îìà è Êèðõãîôà, òî ýòèìåòîäû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ è ïðè êîìïëåêñíîé ôîðìå ñ çàìåíîéñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí (òîêîâ, íàïðÿæåíèé, ñîïðîòèâëåíèé,ïðîâîäèìîñòåé) èõ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè.Ïðèìåð.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 3.15 ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Çàìåíèì ýëåìåíòû âåòâåé â èñõîäíîé ñõåìå èõ êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè, à èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêè èõ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè (ðèñ.
3.16):Z1 = R1+ jwL1; Z2 = R2 - j ( 1 wC 2 ) ; Z 3 = R3 + j ( wL 3 - 1 wC3 ) .Ðàññ÷èòàåì òåïåðü ýòó öåïü ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå,èñïîëüçóÿ êîìïëåêñû äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé.86R1L1 i1 1 i2 C2R3+uã 1L3R2Z1I1 1 I2 Z2++u ã2+U ã1 I ê1Z3I ê2U ã2I3C3i322Ðèñ. 3.15Ðèñ. 3.161. Ìåòîä íàëîæåíèÿ. Ñðàâíåíèå ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3.16 èðèñ. 2.5.
à ïîêàçûâàåò èõ îäèíàêîâóþ òîïîëîãèþ. Òàêèì îáðàçîì, ïóòåì ïåðåõîäà îò R ê Z, îò Uã ê Uã è îò I ê I ìîæíî ñðàçó ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèåóðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ I1, I2, I3 (ñì. § 2.3).2. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ § 2.4 ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó èçäâóõ óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ I è II:Z11 I ê1 + Z12 I ê2 = U ê1, üZ21 I ê1 + Z22 I ê2 = U ê2, ýþãäå(3.58)Z11 = Z + Z3 ; Z22 = Z2 + Z3 ; Z12 = Z21 = Z3 ; U ê1 = U ã1; U ê2 = U ã2 .Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.58) ñîãëàñíî (2.14), (2.15), ïîëó÷àåìI ê1 = U ê1ãäå D Z =D11DDD+ Uê2 21 ; I ê2 = U ê1 12 + Uê2 22 ,DZDZDZDZZ11 Z12, D11, D12, D 21, D 22 àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëèZ21 Z22òåëÿ D Z .Òîêè âåòâåé íàéäóòñÿ èç ðàâåíñòâ: I1 = I ê1; I 2 = I ê2; I 3 = I ê1 + I ê2 .3.
Ìåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (§ 2.5) äëÿçàäàííîé ñõåìû, ñîãëàñíî (2.27) íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü òîëüêî îäíî óðàâíåíèåäëÿ óçëà 1:Y11V1 - Y12V 2 = I ó1 ,ãäåY11 = Y12 = Y1 + Y 2 + Y 3 = 1 Z1 + 1 Z2 + 1 Z3; I ó1 = U ã1Y1 + U ã2Y 2 .Òîãäà U12 = V1 - V 2 = ( U ã1Y1 + U ã2Y 2 ) ( Y1 + Y 2 + Y 3 ) . Òîêè I1, I 2, I 3 íàéäåì ïî çàêîíó Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè â êîìïëåêñíîé ôîðìå:I1 = ( U ã1 - U12 ) Z1; I 2 = ( U ã2 - U12 ) Z2; I 3 = U12 Z3 .Ïðè ýòîì äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ ÇÒÊ: - I1 - I 2 + I 3 = 0 .4. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà.
Îïðåäåëèì òîê I3 ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà íàïðÿæåíèÿ. Ðàçîìêíóâ âåòâü ñ Z3 ïî àíàëîãèè ñðèñ. 2.12, á, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ U õõ = U ã2 - I 2 Z2 è Zã = Z1 Z2 (Z1 + Z2) .Òîê I3 íàéäåì èç (2.34) çàïèñàííîãî â êîìïëåêñíîé ôîðìå: I3 = Uõõ (Z3 + Zã ) .Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé òîêîâ I è íàïðÿæåíèé U ìîæíî çà87ïèñàòü óðàâíåíèÿ äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé i è u. Òàê, åñëè óãëîâàÿ ÷àñòîòàçàäàþùèõ èñòî÷íèêîâ ñèíóñîèäàëüíûõ êîëåáàíèé uã1 è uã2 ðàâíà w, òî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå òîêà i3 = Im 3 sin (wt + j 3 ) , ãäå Im 3 = I 3 2 ; j3 = arg I 3 ;jI 3 = I3 e j 3 .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåðæàùèõ êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ.Êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, ñîåäèíåííûå çâåçäîé ïðåîáðàçóþòñÿ â òðåóãîëüíèê ïóòåì çàìåíû â ôîðìóëàõ (2.6)(2.9) ïàðàìåòðîâ R è G íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñû Z è Y.
Òî÷íîòàêæå îñóùåñòâëÿåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå òðåóãîëüíèêçâåçäà.Íàïðèìåð, ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé (1.9) è (1.12) ìîæíî ïîëó÷èòüôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ «çâåçäàòðåóãîëüíèê» èíäóêòèâíûõ èåìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ. Òàê, äëÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè «òðåóãîëüíèêçâåçäà» èìååì:C1 = C12 + C31 + C12C 31 C23 , üïC2 = C23 + C12 + C 23C12 C31 , ýC3 = C31 + C23 + C 31C 23 C12 , ïþ(3.59)à ïðè îáðàòíîì ïðåîáðàçîâàíèè «çâåçäàòðåóãîëüíèê»C12 = C1C2 ( C1 + C2 + C3 ), üïC23 = C2C3 ( C1 + C2 + C3), ýC31 = C3C1 ( C1 + C2 + C3 ). ïþ(3.60)Ïðåîáðàçîâàíèå «òðåóãîëüíèêçâåçäà» è îáðàòíî äëÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì(2.6) (2.8).Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ïðåîáðàçóþòñÿ ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèåóðàâíåíèÿ öåïåé â êîìïëåêñíóþ ôîðìó. Íàïðèìåð, ìàòðè÷íûåóðàâíåíèÿ (1.18), (1.20), (2.17) â êîìïëåêñíîé ôîðìå ïðèíèìàþòñëåäóþùèé âèä:ÇÒÊ:A 0Iâ = 0 ,(3.61)ÇÍÊ:BU â = 0 .(3.62)Çàêîí Îìà: (ïðè íàëè÷èè âåòâåé ñ èñòî÷íèêàìè òîêà Jãâ):I â + I ãâ = Y â ( U ãâ + U â ) .(3.63)Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ óçëîâ ïîòåíöèàëîâ (2.33) ñ ó÷åòîì Jãâ:Y ó V ó = ( A 0 Y â A 0ò ) V ó = A 0 ( J ãâ - Y â U ãâ ) = I ó .(3.64)Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ (2.23)ZêIê = Uê ,88(3.65)ãäå Yâ, Yy ìàòðèöû êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè âåòâåé è êîìïëåêñíîé óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè.Zâ, Zê ìàòðèöà êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâè è ìàòðèöàêîìïëåêñíîãî êîíòóðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.Uãâ, Jãâ, Uâ ìàòðèöû-ñòîëáöû êîìïëåêñíûõ çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ âåòâè è íàïðÿæåíèé âåòâåé.3.7.
Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ýòîé ãëàâû ðàññìàòðèâàëèñü öåïèáåç ó÷åòà ÿâëåíèÿ âçàèìíîé èíäóêöèè.  òî æå âðåìÿ, ïðè ïðîòåêàíèè òîêà i1 â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè ñ ïàðàìåòðîì L1 â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèèñîçäàåòñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê Ô11 (ðèñ. 3.17, à). Åñëè êàêàÿ-ëèáî÷àñòü ýòîãî ïîòîêà Ô12 ïðîíèçûâàåò âèòêè äðóãîé êàòóøêè ñ L2, òîâ ïîñëåäíåé íàâîäèòñÿ ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, îïðåäåëÿåìàÿ çàêîíîì ÌàêñâåëëàÔàðàäåÿ:di1,(3.66)dtãäå êîýôôèöèåíò M12 íîñèò íàçâàíèå âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòèêàòóøåê L1 è L2. Åäèíèöà èçìåðåíèÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè Ì ãåíðè (Ãí).Çíàê «» â óðàâíåíèè (3.66) îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëóËåíöà íàïðàâëåíèåì èíäóêöèîííîãî òîêà, êîòîðûé èìååò òàêóþîðèåíòàöèþ, ÷òîáû ñîçäàâàåìûé èì ìàãíèòíûé ïîòîê ïðåïÿòñòâîâàë òîìó èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô12, êîòîðîå ýòîò òîê âûçûâàåò.
Íàïðÿæåíèå âçàèìîèíäóêöèè íà çàæèìàõ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè L2:e M2 = - M12u M2 = -e M2 = M12i1udi1.dt(3.67)i2i1L1L2Ô 11u Ì2uL1L2Ô 11Ô 22RÔ 21Ô 1sÔ 12Ô 1sa)Ô 12 Ô 2sá)Ðèñ. 3.1789Åñëè íàïðÿæåíèå è ïðèëîæåíî ê êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè L2, òîïîä äåéñòâèåì òîêà i2 â êàòóøêå L1 òàêæå áóäåò íàâåäåíà ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè:di2.(3.68)dt ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì âçàèìíîñòè (ñì. § 1.7) äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé M12 = M21.Ðàññìîòðåííàÿ íèæå èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü íîñèò îäíîñòîðîííèéõàðàêòåð: òîê i1 âûçûâàåò ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè åM2, èëè òîê i2 ÝÄÑ åM1.
 ñëó÷àå çàìûêàíèÿ êàòóøêè L2 íà êîíå÷íîå ñîïðîòèâëåíèå R (ðèñ. 3.17, á) â ïîñëåäíåé ïîä âîçäåéñòâèåì uM2, ïîòå÷åòèíäóêöèîííûé òîê i2, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü, âûçîâåò â ïåðâîéêàòóøêå L1 ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè åM1 (3.68). Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâèòñÿ äâóõñòîðîííÿÿ èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü êàòóøåê L1 è L2. Ïðèýòîì êàæäàÿ èç êàòóøåê L1 è L2 áóäåò ïðîíèçûâàòüñÿ äâóìÿ ìàãíèòíûìè ïîòîêàìè: ñàìîèíäóêöèè, âûçâàííûì ñîáñòâåííûì òîêîì,è âçàèìîèíäóêöèè, âûçâàííûì òîêîì äðóãîé êàòóøêè. Ñëåäîâàòåëüíî, â êàòóøêå L1 èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑe M1 = - M 21e1 = e L1 + e M1 = - L1à â êàòóøêå L2 ÝÄÑdi1di- M 21 2 ,dtdt(3.69)di2di- M12 1 .(3.70)dtdtÂçàèìíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêîâ ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè çàâèñèòêàê îò íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ, òàê è îò èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ.Åñëè êàòóøêè âêëþ÷àþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïîòîêè ñàìî- èâçàèìîèíäóêöèè ñêëàäûâàþòñÿ, òî òàêîå âêëþ÷åíèå íàçûâàåòñÿ ñîãëàñíûì.
Åñëè æå ïîòîêè ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè âû÷èòàþòñÿ, òîòàêîå âêëþ÷åíèå ïðèíÿòî íàçûâàòü âñòðå÷íûì. Íà ðèñ. 3.17, áïîêàçàí ñëó÷àé ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ.Ñòåïåíü ñâÿçè ìåæäó L1 è L2 îöåíèâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ñâÿçèe 2 = e L2 + e M2 = - L2k = k12k21 .ãäå êîýôôèöèåíòûk12 = Ô12 Ô11 è k21 = Ô 21 Ô 22(3.71)(3.72)õàðàêòåðèçóþò îäíîñòîðîííþþ ñâÿçü ìåæäó êàòóøêàìè L1 è L2.Ìàãíèòíûå ïîòîêè Ô12, Ô21, Ô11 è Ô22 ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïàðàìåòðû êàòóøåê L1, L2, Ì12, Ì21 è òîêè i1, i2 ñ ïîìîùüþ ôîðìóëÔ11 = L1 i1 w1; Ô12 = M12 i1 w2;Ô 21 = M 21 i2 w1; Ô 22 = L22 i2 w2 ,ãäå w1, w2 ÷èñëî âèòêîâ êàòóøåê L1 è L2 ñîîòâåòñòâåííî.90(3.73)MMi1i2L1i1L2i2L1L2a)á)Ðèñ. 3.18iuR1L1R2L2iuMa)R1L1R2L2Má)Ðèñ.
3.19Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3.73) â (3.71) ñ ó÷åòîì (3.72) ïîëó÷èì äëÿêîýôôèöèåíòà ñâÿçèk=ML1L2 ,(3.74)ãäå Ì12 = Ì21 = Ì.Çíà÷åíèå k èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 (îòñóòñòâèå ñâÿçè) äî 1(æåñòêàÿ èëè ïîëíàÿ ñâÿçü). Èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü ñóùåñòâåííûìîáðàçîì çàâèñèò îò ïîòîêîâ ðàññåÿíèÿ Ô1s è Ô2s, ïîýòîìó ñòåïåíüñâÿçè èíîãäà õàðàêòåðèçóþò êîýôôèöèåíòîì ðàññåÿíèÿ s2 = 1 k2.Äëÿ êîìïàêòíîñòè è óäîáñòâà èçîáðàæåíèÿ ñõåì ýëåêòðè÷åñêèõöåïåé ñ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòüþ ââîäÿò ïîíÿòèå îäíîèìåííûõçàæèìîâ.
Ïîñëåäíèìè ïðèíÿòî íàçûâàòü óçëû, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå òîêè ñîçäàþò ñêëàäûâàþùèåñÿïîòîêè ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè. Íà ðèñ. 3.18 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû îäíîèìåííûå çàæèìû äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî è âñòðå÷íîãîâêëþ÷åíèé êàòóøåê L1 è L2. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âèäà âêëþ÷åíèÿ L1 è L2 íà ñõåìå äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü, êàê îðèåíòèðîâàíû òîêè i1 è i2 îòíîñèòåëüíî îäíîèìåííûõ çàæèìîâ (íàðèñ. 3.18 îáîçíà÷åíû òî÷êîé): ïðè îäèíàêîâîé îðèåíòàöèè èìååìñîãëàñíîå (ðèñ. 3.18, à), à ïðè ðàçíîé âñòðå÷íîå âêëþ÷åíèå(ðèñ. 3.18, á).Ó÷åò âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ðåçóëüòàòû àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå èïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êàòóøåê ñ èíäóêòèâíîñòÿìè L1 è L2 è ïîòåðÿìè R1 è R2, íàõîäÿùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ:u = Um sin ( wt + ju )(3.75)Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå. Äëÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ êàòóøåê (ñì. ðèñ. 3.19, à) â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÍÊ è óðàâíåíèÿìè(3.66) è (3.67) ìîæíî çàïèñàòü:91jjUMU2UUL1a)UMUL2UR 2UMj ýñU1j u j i UR 1UL 2UMU2UIU1UUL1 R2j ýâj u j i UR 1+á)I+Ðèñ. 3.20u = uR1 + uL1 + uM + uL2 + uM + uR2 == ( R1 + R2 ) i + ( L1 + L 2 + 2M ) di dt.(3.76) êîìïëåêñíîé ôîðìå óðàâíåíèå (3.76) ñîãëàñíî § 3.6 çàïèøåòñÿ ââèäåU = ( R1 + R2 ) I + jw ( L1 + L2 + 2M ) I .(3.77)Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z êîìïëåêñíîå ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèåâñåé öåïè ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè êàòóøåêãäåZýñ = Rý + jwLýñ ,(3.78)Rý = R1 + R 2; Lýñ = L1 + L 2 + 2M .(3.79)Òîãäà óðàâíåíèå (3.77) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåU = Zýñ I ,(3.80)îòðàæàþùåì çàêîí Îìà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè.Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì i è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì èjýñ = ju - ji = arctg ( wL ýñ Rý ) .(3.81)Íà ðèñ.
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