Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.24, à èìååì:U à0 = jwL1 I 1 + jwMI 2, üU á0 = jwMI 1 + jwL2 I 2. ýþ(3.104)Äëÿ ðàçâÿçíîé ñõåìû íà ðèñ. 3.24, á èìååì:àáàáàáL1 - M12 + M13D ML2L1I2I1 0 ¢ DL 1 - M L2 - ML 1 + M L2 + MI 1 0¢I 1 0¢I2M0Ià)0Iá)Ðèñ. 3.24-M0II2L3 + M12 + M13I1 I2R1+Uã 1I3L2 - M12 + M13R2+U ã2R3C3â)Ðèñ. 3.2597U à0 = jw (L1 - M) I 1 + jwMI, üýU á0 = jw (L2 - M) I 2 + jwMI. þ(3.105)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I1 = I I2 è I2 = I I1 ïîñëå ïîäñòàíîâêè I1 èI2 â (3.104) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå (3.105). Ïîäîáíûìæå îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü è âòîðîé ñõåìû ïðèâêëþ÷åíèè L1 è L2 ðàçíîèìåííûìè çàæèìàìè. êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ.
3.25 èçîáðàæåíà ñõåìà ñ ðàçâÿçàííûìè èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè, ýêâèâàëåíòíàÿ èçîáðàæåííîé íàðèñ. 3.23. Ïîñëå ðàçâÿçêè èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ðàñ÷åò ïîëó÷åííîéýêâèâàëåíòíîé ñõåìû ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ëþáûì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ.Íàëè÷èå èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ìàòðèöûñîïðîòèâëåíèÿ Zâ è ïðîâîäèìîñòè Yâ. Èç äèàãîíàëüíûõ ìàòðèöîíè ïðåâðàùåíû â êâàäðàòíûå ìàòðèöû, ïî äèàãîíàëè êîòîðûõ çàïèñûâàþòñÿ ñîáñòâåííûå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ïðîâîäèìîñòè âåòâåé, à íà ïåðåñå÷åíèè k-é ñòðîêè è l-ãî ñòîëáöà çàïèñûâàþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ïðîâîäèìîñòè âçàèìíîé ñâÿçè ìåæäó k-é è l-é âåòâÿìè ñî çíàêîì «+» ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè è ñîçíàêîì «» ïðè âñòðå÷íîì.Åñëè öåïü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ âçàèìíîñòè (ñì.
§ 2.4), òîZkl = Zlk, Ykl = Ylk è ìàòðèöà áóäåò ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíîãëàâíîé äèàãîíàëè.Íàïðèìåð, ìàòðèöà ñîïðîòèâëåíèé öåïè, èçîáðàæåííîé íàðèñ. 3.23, èìååò âèäZ1 - Z12 Z13Z â = - Z 21 Z 2 0,Z 31 0Z3ãäåZ1 = R1 + jwL1; Z 2 = R2 + jwL2; Z 3 = R3 + j (wL3 - 1 w C3);Z12 = Z 21 = jwM12; Z13 = Z 31 = jwM13.3.9. ÒðàíñôîðìàòîðÒðàíñôîðìàòîðîì íàçûâàåòñÿ ñòàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî, ïðåäíàçíà÷åííîå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàïðÿæåíèé èòîêîâ. Ïðîñòåéøèé òðàíñôîðìàòîð ñîñòîèò èç äâóõ èíäóêòèâíîñâÿçàííûõ êàòóøåê ñ èíäóêòèâíîñòÿìè L1 è L2, ðàñïîëîæåííûõ íàîáùåì ñåðäå÷íèêå. Êàòóøêà, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê,íàçûâàþò ïåðâè÷íîé, à ê êîòîðîé ïîäêëþ÷àþò íàãðóçêó âòîðè÷íîé.
Ñåðäå÷íèê ìîæåò áûòü âûïîëíåí èç ôåððîìàãíèòíîãî èëè íåôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà. Ïðèìåðîì òðàíñôîðìàòîðà ïîñëåäíåãî òèïà ÿâëÿåòñÿ âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð, íàõîäÿùèé øèðîêîå ïðèìåíåíèå â òåõíèêå ñâÿçè, èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ, ðàçëè÷íûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ.98MÂîçäóøíûéòðàíñôîðìàòîð.R1 iR2 i 21Íà ðèñ. 3.26 èçîáðàæåíà ñõåìàïðîñòåéøåãî âîçäóøíîãî òðàíñu1 I L1u2ôîðìàòîðà ñ ïîòåðÿìè â ïåðâè÷ZíL2 IIíîé R1 è âòîðè÷íîé R2 êàòóøêàõ(îáìîòêàõ),íàãðóæåííîãîíàêîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Zí =Ðèñ. 3.26= Rí + jÕí.Ñîñòàâèì óðàâíåíèå òðàíñôîðìàòîðà ïî ÇÍÊ äëÿ I è II êîíòóðîâ:U 1 = Z11 I 1 - Z12 I 2,(3.106)0 = - Z12 I 1 + Z 22 I 2,ãäåZ11 = R11 + jX11 = R1 + jwL1; Z12 = jX12 = jwM, üý (3.107)Z 22 = R22 + jX 22 = (R2 + Rí ) + j (wL2 + X í ).þ}Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (3.106) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ I1è I 2:I1 =U12Z11 - Z12 Z 22; I2 =U 1 Z12 Z112Z 22 - Z12 Z11.(3.108)Ïî àíàëîãèè ñ (3.93) ââåäåì ïîíÿòèå âíîñèìûõ ñîïðîòèâëåíèé:2Z1âí = - Z12 Z 22;2Z 2âí = - Z12 Z11 .(3.109)Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.108) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:I1 =U1U Z Z; I 2 = 1 12 11 .Z11 + Z1âíZ 22 + Z 2âí(3.110)Óðàâíåíèÿì (3.110) ñîîòâåòñòâóþò îäíîêîíòóðíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ âîçäóøíîãî òðàíñôîðìàòîðà, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
3.27.Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí R1âí è X1âí, R2âí è X2âí îïðåäåëÿþòñÿ èç (3.109)ñ ó÷åòîì (3.107):R1âíI122X12X12= 2R22; R2âí = 2R11;22R22 + X 22R11 + X11R11X11I2R1âíU1X1âía)R22(3.111)X22R2âíZU1 12Z11X2âíá)Ðèñ. 3.2799I 1 R1I 1 R1L2 --M I 2 R2L1 - MR2L1MU1IZíZí+Ðèñ. 3.28X1âíL2U1Hz I2I2+U2Hz I1Ðèñ. 3.2922X12X12=- 2X 22; X 2âí = - 2X11.22R22 + X 22R11 + X11(3.112)Çíàê «» â óðàâíåíèÿõ (3.112) ñâèäåòåëüñòâóåò î ðàçìàãíè÷èâàþùåì äåéñòâèè âòîðè÷íîé îáìîòêè íà ïåðâè÷íóþ.Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ R1âí è R2âí ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýêâèâàëåíòíûå ðåçèñòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, âíîñèìûå çà ñ÷åò âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâåííî â êîíòóðû I è II.Ïðè ýòîì íà R1âí ïðè ïðîòåêàíèè òîêà I1 ðàññåèâàåòñÿ òà æåìîùíîñòü, ÷òî è íà R2 ïðè ïðîòåêàíèè òîêà I2 è ñîîòâåòñòâåííî íàR2âí ïðè ïðîòåêàíèè I2 ðàññåèâàåòñÿ òà æå ìîùíîñòü, ÷òî è íà R1ïðè ïðîòåêàíèè I1.Âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí äâóõêîíòóðíîé ñõåìîé çàìåùåíèÿ, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
3.28. Ýòà ñõåìàïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.26ïîñëå îáúåäèíåíèÿ â îäèí óçåë îäíîèìåííûõ çàæèìîâ è ðàçâÿçêèèíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ñîãëàñíî ðèñ. 3.24. Òàêèì, îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîêîâ â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû îäíî- ëèáî äâóõêîíòóðíûå ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ.Åñëè â óðàâíåíèÿõ (3.107) îáîçíà÷èòü Z12 = jwM = Hz, òî âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñõåìîé çàìåùåíèÿ ñçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè (ðèñ.
3.29).Èç îáùèõ óðàâíåíèé äëÿ êîìïëåêñíûõ òîêîâ I1 è I2 ñ ó÷åòîì(3.106), (3.107) ìîæíî íàéòè îòíîøåíèå êîìïëåêñíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå:I 1 I 2 = (Z 2 + Z í ) Z12 ;2U 1 U 2 = [(Z 2 + Z í ) Z11 - Z12] (Z í Z12),(3.113)ãäå U2 = ZíI2.Èç óðàâíåíèÿ (3.113) ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå êàê êîìïëåêñíûõòîêîâ, òàê è íàïðÿæåíèé â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå ñ ïîòåðÿìèçàâèñèò îò ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè Zí. ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ïîòåðü (R1 = R2 = 0) èìååì:I 1 I 2 = Z í Z12 + 1 kòð; U 1 U 2 = kòð ,100(3.114)ãäå kòð = L1/M êîýôôèöèåíòXS1 I 1 I 2 X S¢2R2¢R1òðàíñôîðìàöèè. Êàê âèäíî, âäàííîì ñëó÷àå îòíîøåíèå íàïI0ðÿæåíèé íå çàâèñèò îò íàãðóçêè,U1 Uôà îòíîøåíèå òîêîâ çàâèñèò îòZ í¢ U2¢G0 B 0Zí.
Òàêîé òðàíñôîðìàòîð íàçûIïIôâàþò ñîâåðøåííûì. Äëÿ íåãî êîýôôèöèåíò ñâÿçè k = 1, à êîýôôèöèåíò ðàññåÿíèÿ s = 0.Ðèñ. 3.30Ñóùåñòâóåòåùåïîíÿòèåèäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà, ó êîòîðîãî ïîòåðè ðàâíû íóëþ,èíäóêòèâíîñòè êàòóøåê áåñêîíå÷íî âåëèêè, à èõ îòíîøåíèå ðàâíî êîýôôèöèåíòó òðàíñôîðìàöèè kòð = L1/L2 = w1/w2, ãäå w1,w2 ÷èñëî âèòêîâ ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé êàòóøåê.  èäåàëüíîìòðàíñôîðìàòîðå îòíîøåíèå êàê òîêîâ, òàê è íàïðÿæåíèé íå çàâèñèò îò íàãðóçêè è îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòîì òðàíñôîðìàöèè kòð.Òðàíñôîðìàòîð ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì. Ôåððîìàãíèòíûé ñåðäå÷íèê ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ óâåëè÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà èñâÿçè ìåæäó êàòóøêàìè, ÷òî ïðèâîäèò ê ðîñòó ìîùíîñòè, îòäàâàåìîé âî âòîðè÷íóþ öåïü òðàíñôîðìàòîðà. Ïðè ýòîì ïî ñâîèì ñâîéñòâàì îí ïðèáëèæàåòñÿ ê èäåàëüíîìó òðàíñôîðìàòîðó, íî ñòàíîâèòñÿ â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûì óñòðîéñòâîì âñëåäñòâèå ïîÿâëåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïîòåðü íà ãèñòåðåçèñ è âèõðåâûå òîêè.
Îäíàêî íà ïðàêòèêå òðàíñôîðìàòîð ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ñòàðàþòñÿ êîíñòðóèðîâàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íåëèíåéíîñòüáûëà ìàëà è åþ ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà ðàñ÷åò ïîäîáíîãîòðàíñôîðìàòîðà ìîæíî îñóùåñòâèòü íà îñíîâå äâóõêîíòóðíîé ñõåìû çàìåùåíèÿ, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.30 ñ ïàðàìåòðàìè, ïðèâåäåííûìè ê ïàðàìåòðàì ïåðâè÷íîé îáìîòêè. Äàííàÿ ñõåìà ìîæåòáûòü ïîëó÷åíà ïî àíàëîãèè ñî ñõåìîé ðèñ.
3.28 ñ ó÷åòîì ïîòåðü âñòàëè G0 è íàìàãíè÷èâàíèÿ Â0. Ïðèâåäåííûå çíà÷åíèÿ Õ¢s2, I¢2 îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì:22X¢s 2 = kòðX s 2; R¢2 = kòðR2; I ¢2 = I 2 kòð; U ¢2 = kòðU 2;2Z ¢í = kòðZ í.(3.115)ãäå Õs1, Õs2 èíäóêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîéêàòóøåê (èíäóêòèâíîñòè ðàññåÿíèÿ).
Âåëè÷èíû òîêà ïîòåðü â ñòàëèIï = G0Uô è íàìàãíè÷èâàþùåãî òîêà Iô = B0Uô îïðåäåëÿþò ñóììàðíûé òîê ïîòåðü:I 0 = Iô + jIí = I0 e jd ,(3.116)ãäå àðãóìåíò d íàçûâàåòñÿ óãëîì ïîòåðü.1013.10. Áàëàíñ ìîùíîñòèÏðåäñòàâèì ïàññèâíóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, íàõîäÿùóþñÿ ïîäâîçäåéñòâèåì èñòî÷íèêà ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ, â ôîðìåäâóõïîëþñíèêà (ñì. ðèñ. 1.1). Ïîä âîçäåéñòâèåì íàïðÿæåíèÿ èàb == Umsin wt â öåïè ïðîòåêàåò òîê i = Imsin ( wt j). Îòäàâàåìàÿ èñòî÷íèêîì â öåïü çà ïåðèîä Ò ñðåäíÿÿ ìîùíîñòüP = PñðU I1T= ò uidt = m m cos j = UI cos j .2T0(3.117)Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà U = ZI èëè ñ ó÷åòîì (3.35) U = RI/cos j.Òîãäà óðàâíåíèå (3.117) ïðèíèìàåò âèäP = I 2R = U 2G .(3.118)Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü Ð ðàâíà ìîùíîñòè,ðàññåèâàåìîé íà ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè (ïðîâîäèìîñòè) öåïè. ýòîé ñâÿçè ìîùíîñòü Ð íîñèò íàçâàíèå àêòèâíîé è èçìåðÿåòñÿ ââàòòàõ (Âò).Êðîìå àêòèâíîé ìîùíîñòè Ð â öåïÿõ ãàðìîíè÷åñêîãî òîêà èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ðåàêòèâíîé ìîùíîñòèQ = UI sin j = I 2X = U 2Bè êîìïëåêñíîé ìîùíîñòèS = P + jQ .(3.119)(3.120)Ìîäóëü êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìîùíîñòüþ:S= S =P 2 + Q2 .(3.121)Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè ÂÀð, à ïîëíîé âîëüòàìïåð (Â×À).Ìîùíîñòè P, Q, S ìîæíî âûðàçèòü è â äðóãîé ôîðìå.
Ïðåäñòàâèì S ñ ó÷åòîì (3.117) è (3.119) â âèäå*S = UI cos j + jUI sin j = UIe jj = U I .(3.122)Òîãäà íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî**P = Re [U I] = Re [S]; Q = Im [U I] = Im [S]; S = UI = S(3.123)ò. å. àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ðàâíà ðåàëüíîé ÷àñòè, à ðåàêòèâíàÿ ìíèìîé ÷àñòè êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè S. Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë(3.117) è (3.123):cos j = P S .(3.124)Ýòî îòíîøåíèå â ýíåðãåòèêå íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè (êîñèíóñîì j) è ÿâëÿåòñÿ âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è ëèíèé ýëåêòðîïåðåäà÷è. ×åì âûøå cos j, òåì102SIj>0XãUíRã+UãRíà)PPj<0XíSá)Ðèñ. 3.31Q>0Q<0Ðèñ. 3.32ìåíüøå ïîòåðè ýíåðãèè â ëèíèè è âûøå ñòåïåíü èñïîëüçîâàíèÿýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è àïïàðàòîâ. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåcos j = l, ïðè ýòîì Ð = S, Q = 0, ò.
å. öåïü íîñèò ÷èñòî àêòèâíûéõàðàêòåð è ñäâèã ôàç ìåæäó òîêîì i è íàïðÿæåíèåì è ðàâåí íóëþ.Óñëîâèå ïåðåäà÷è ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè îò ãåíåðàòîðà â íàãðóçêó ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ*Zã = Zí ,(3.125)*ãäå Zã êîìïëåêñíîå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà; Z í êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîå ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêè. Ýòî óñëîâèåñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ðàññìîòðåíèÿ ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû,ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 3.31. Òîê â äàííîé öåïè äîñòèãàåò ìàêñèìóìàïðè Õã = Õí è âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Rã = Rí (ñì.
§ 2.6), ÷òî è äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (3.125). Ïðè ýòîì ìîùíîñòü â íàãðóçêå áóäåòîïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèåìPí = U ã2 4Rã .(3.126)Ïî àíàëîãèè ñ òðåóãîëüíèêàìè òîêîâ è íàïðÿæåíèé, ñîïðîòèâëåíèé è ïðîâîäèìîñòåé (§§ 3.4 è 3.5) ìîæíî ââåñòè òðåóãîëüíèêèìîùíîñòåé. Òàê ñîãëàñíî (3.121) è (3.122) òðåóãîëüíèê ìîùíîñòåéäëÿ öåïè, íîñÿùèé èíäóêòèâíûé õàðàêòåð áóäåò èìåòü âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3.32, à, à äëÿ öåïè ñ åìêîñòíûì õàðàêòåðîì íà ðèñ. 3.32, á.Ðàññìîòðèì óñëîâèå áàëàíñà ìîùíîñòè â öåïÿõ ïðè ãàðìîíè÷åñêîì âîçäåéñòâèè.
 ñèëó ñïðàâåäëèâîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ êîìïëåêñíûõ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêà I èíàïðÿæåíèé U â êàæäîé èç âåòâåé ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ìîæíîçàïèñàòü òåîðåìó Òåëëåäæåíà (1.35) â êîìïëåêñíîé ôîðìå:nBå U k Ik= 0.(3.127)k =1Îäíàêî ïîñêîëüêó ÇÒÊ ñïðàâåäëèâ è ïî îòíîøåíèþ ê ñîïðÿæåí*íûì òîêàì I k , òî óðàâíåíèå (3.127) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå103nBnB*å U k Ik =å Skk =1= 0.(3.128)k =1Óðàâíåíèå (3.128) îòðàæàåò áàëàíñ êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñóììà êîìïëåêñíûõ ìîùíîñòåé, ïîòðåáëÿåìûõâñåìè âåòâÿìè öåïè, ðàâíà íóëþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
