Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3.20, à èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ öåïè ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè L1 è L2.Êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå L1 ñ ïîòåðÿìè R1 ðàâíîU 1 = éë R1+ jw (L1 + M) ùû I .(3.82)Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà âòîðîé êàòóøêå L2 ñ ïîòåðÿìè R2:U 2 = éë R2 + jw (L 2 + M) ùû I .(3.83)Ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèè êàòóøåê (ñì. ðèñ. 3.19, á) óðàâíåíèÿ(3.76) è (3.77) ïðèíèìàþò âèä92u = uR1 + uL1 - uM + uL2 + uR2 - uM == ( R1 + R2 ) i + ( L1 + L 2 - 2M ) ;(3.84)U = ( R1 + R2 ) I + jw ( L1 + L 2 - 2M ) I .(3.85)Êîìïëåêñíîå ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèèZýâ = Rý + jw Lýâ ,(3.86)ãäåLýâ = L1 + L 2 - 2M(3.87) ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü öåïè ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèèêàòóøåê èíäóêòèâíîñòè.Êàê ñëåäóåò èç (3.78) è (3.87) ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü ïðèñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè áîëüøå íà 2Ì, à ïðè âñòðå÷íîì ìåíüøå íà2Ì ñóììàðíîé èíäóêòèâíîñòè L1 + L2.Óðàâíåíèÿ äëÿ òîêà I, ôàçîâîãî ñäâèãà jýâ è íàïðÿæåíèé U1,U2 àíàëîãè÷íû (3.80) (3.83):U = Z ýâ I; j ýâ = j u - j i = arctg (wL ýâ R ý ),üýU 1 = [R1 + jw (L 1 - M)] I; U 2 = [R 2 + jw (L 2 - M)] I.
þ(3.88)Íà ðèñ. 3.20, á èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé äëÿ ñëó÷àÿ âñòðå÷íîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïðè âñòðå÷íîìâêëþ÷åíèè êàòóøåê ìîæåò íàáëþäàòüñÿ «åìêîñòíûé ýôôåêò», êîãäà ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì îäíîé èç êàòóøåêáóäåò îòðèöàòåëüíûé. Ýòî ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ L2 < M.  ýòîì ñëó÷àå UL2 < UÌ èj 2ýâ = arctg [w (L2 - M) R2] < 0(3.89)è íàïðÿæåíèå U2 áóäåò îòñòàâàòü îò òîêà I.
Îäíàêî âñÿ öåïü âñåãäà áóäåò íîñèòü èíäóêòèâíûé õàðàêòåð, òàê êàê ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ L1, L2 è Ì ñïðàâåäëèâî óñëîâèåj ýâ = arctg [w (L1 + L2 - 2M) Rý] > 0 .(3.90)Ýòî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè k = M L1L 2 > 0 ,L1 + L2 2M > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ( L1 - L2 ) 2 > 0 , òîL1 + L2 > 2 L1L2 . Íî èç (3.74) íàõîäèì, ÷òî M L1L2 (òàê êàêk l), ñëåäîâàòåëüíî, L1 + L2 > 2M îòñþäà è ñëåäóåò óñëîâèå(3.90).Óðàâíåíèÿ (3.79) è (3.87) ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè Ì.
Äëÿ ýòîãîäîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü òîê I, íàïðÿæåíèå U, ìîùíîñòü Ð â öåïèïðè ñîãëàñíîì è âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèÿõ êàòóøåê è íàéòèRý = Pc Ic2 = Pâ Iâ2 ; Zýñ = U Ic ; Zýâ = U Iâ ,93iiR1uMR2R1uMR2L1L2L1L2i1i2i1i2a)á)Ðèñ. 3.21ãäå èíäåêñû «ñ» è «â» îòíîñÿòñÿ ê ñîãëàñíîìó è âñòðå÷íîìó âêëþ÷åíèÿì.Ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïðè ñîãëàñíîì è âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèÿõ ìîæíî îïðåäåëèòü êàêX ýñ =2Zýñ- Rý2 ; X ýâ =2Zýâ- Rý2 .Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî Xýñ = w (L1 + L2 + 2M) è Xýâ = w (L1 + L2 - 2M) ,íàõîäèì âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü:M = (X ýñ - X ýâ ) 4w .(3.91)Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå. Äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿêàòóøåê (ðèñ.
3.21, à) â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÒÊ è ÇÍÊ ìîæíî çàïèñàòü:I = I 1 + I 2,üïU = I 1 Z1 + I 2 Z12, ýU = I 1 Z 21 + I 2 Z 22, ïþ(3.92)ãäå Z1 = R1 + jwL1; Z 2 = R2 + jwL2; Z12 = Z 21 = jwM .Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.92) îòíîñèòåëüíî I1 è I2, ïîëó÷àåì2I 1 = U / (Z1 Z 2 - Z12) (Z 2 - Z12);2I 2 = U / (Z1 Z 2 - Z12) (Z1 - Z12).(3.93)Âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â çíàìåíàòåëÿõ (3.93), èìåþò ñìûñë ýêâèâàëåíòíûõ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõâåòâåé Z1ýc è Z2ýc:2Z1ýñ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z 2 - Z12);2Z 2ýñ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z 2 - Z12).(3.94)Ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñîáñòâåííûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé Z1 è Z2 è ñîïðîòèâëåíèé, âíîñèìûõçà ñ÷åò èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé Z1âíñ è Z2âíñ:Z1ýñ = Z1 + Z1 âí ñ; Z 2ýñ = Z 2 + Z 2 âí ñ .94(3.95)jjUÌ2UÌ 1 UÌ 2 I1UUL 2UL1Uj ýñUR1 UL 20Ijýâ0+UR2UR1I+UR 2I2UÌ 1UL1I1I2a)á)Ðèñ.
3.22Êîìïëåêñíûå âíîñèìûå ñîïðîòèâëåíèÿ Z1âíñ è Z2âíñ ìîæíî îïðåäåëèòü, ðåøèâ ñîâìåñòíî (3.94) è (3.95):Z1 âí ñ = (Z1 Z12 - Z12) (Z 2 - Z12) , üïý2Z 2 âí ñ = (Z 2 Z12 - Z12) (Z1 - Z12). ïþ2(3.96)Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I ñ ó÷åòîì (3.93)I = U Z ýñ ,ãäå2Z ýñ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z 2 + Z 2 - 2Z12) .(3.97)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ èíäóêòèâíîé ñâÿçè(Z12 = Z21 = 0) ýêâèâàëåíòíîå êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïèZýñ = Z1Z2/(Z1 + Z2), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîé ôîðìóëå ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ Z1 è Z2.Íà ðèñ.
3.22, à èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ L1 è L2. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ âñòðå÷íîãîâêëþ÷åíèÿ êàòóøåê (ñì. ðèñ. 3.21, á). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìîó÷åñòü, ÷òî â óðàâíåíèÿõ ïåðåä ñëàãàåìûìè ñ Z12 è Z21 íåîáõîäèìîçàìåíèòü çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé.
Òàê, óðàâíåíèÿ (3.94), (3.96),(3.97) ïðèíèìàþò âèä2Z1ýâ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z 2 + Z12);2Z 2ýâ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z1 + Z12);(3.98)2Z1 âí â = - (Z1 Z12 + Z12) (Z 2 + Z12);Z 2 âí â = - (Z 2 Z12 +22Z12)(Z1 + Z12);Z ýâ = (Z1 Z 2 - Z12) (Z1 + Z 2 + 2Z12) .(3.99)(3.100)Íà ðèñ. 3.22, á èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ âñòðå÷íîãî âêëþ÷åíèÿ.95Èç óðàâíåíèé (3.94), (3.98) íåòðóäíî íàéòè ýêâèâàëåíòíûå èíäóêòèâíîñòè âåòâåé:L1ý = (L1L2 - M 2) (L2 m M);L2ý = (L1L2 - M 2) (L1 m M) ,(3.101)ãäå çíàê «» îòíîñèòñÿ ê ñîãëàñíîìó, à «+» ê âñòðå÷íîìó âêëþ÷åíèþ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ ýëåìåíòîâ.3.8.
Îñîáåííîñòè àíàëèçà èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öåïåéÏðè ðàñ÷åòå èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öåïåé îáû÷íî èñïîëüçóþòçàêîíû Êèðõãîôà è ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ. Äðóãèå ìåòîäû ëèáîíåöåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü èç-çà ãðîìîçäêîñòè ðåøåíèÿ, ëèáîíåëüçÿ ïðèìåíÿòü âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ èíäóêòèâíîé ñâÿçè (ìåòîäûóçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ, ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà). Äëÿ òîãî ÷òîáûìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü âñå ðàññìîòðåííûå ðàíåå ìåòîäû ðàñ÷åòà, ïðèìåíÿþò «ðàçâÿçêó» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ ìåòîäîâ íà ïðèìåðå öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íàðèñ.
3.23.Ðàñ÷åò ïî çàêîíàì Êèðõãîôà. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ÇÒÊ èÇÍÊ, â êîìïëåêñíîé ôîðìå:I 1 = I 2 + I 3,üï(R1 + jwL1) I 1 + jwM13 I 3 - jwM12 I 3 +ï+ (R2 + jwL2) I 2 - I 1 jwM12 = U ã1 - U ã2, ý-(R2 + jwL2) I 2 + jwM12 I 1 + (R3 + jwL3 + ïï+ 1 jwC3 ) I 3 + jwM13 I 1 = U ã2.þ(3.102)Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî ÇÍÊ íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿñëåäóþùèì ïðàâèëîì çíàêîâ: íàïðÿæåíèå âçàèìîèíäóêöèè, ñîçäàâàåìîå â k-é âåòâè îò òîêà, ïðîòåêàþùåãî â l-é âåòâè, áåðåòñÿ ñîçíàêîì «+», åñëè íàïðàâëåíèå îáõîäà k-é âåòâè è ïîëîæèòåëüíîåíàïðàâëåíèå òîêà â l-é âåòâè îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíî îòíîñèòåëüíî îäíîèìåííûõ çàæèìîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áåðåòñÿçíàê «».Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.102), ïîëó÷àåì èñêîìûå òîêè I1, I2 è I3.Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (ñì.§ 2.4) è ïðàâèëîì çíàêîâ óðàâíåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ Iê1 è Iê2(ñì.
ðèñ. 3.23) ïðèíèìàþò âèä(Z11 - 2Z12) I ê1 + (Z13 + Z12 - Z 2) I ê2 = U ê1, üý(Z13 + Z12 - Z 2) I ê1 + Z 22 I ê2 = U ê2,þãäå96(3.103)Z11 = R1 + R2 + jw (L1 + L2); Z 22 = R2 + R3 + jw (L2 + L3 ) + 1 jw C3 ;Z 2 = R2 + jwL2; Z12 = jwM12; Z13 = jwM13 ; U ê1 = U ã1 - U ã2;U ê2 = U ã2.M13Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.103), íàõîäèìL1L3 I 3êîíòóðíûå òîêè Iê1 è Iê2, à çàòåìI1 I2òîêè âåòâåé I1 = Iê1; I2 = Iê1 Iê2;I3 = Iê2.M12L2R1R3Ðàññìîòðåííûå ìåòîäû ìîæíîîáîáùèòü íà ñõåìû ïðîèçâîëüíîéR2+êîíôèãóðàöèè.Uã 1C3+Ðàçâÿçêà èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé.U ã2Ðàñ÷åò èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öåïåé ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, åñëèèñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû,Ðèñ.
3.23íå ñîäåðæàùèå â ÿâíîì âèäå èíäóêòèâíûå ñâÿçè. Ñîñòàâëåíèå ïîäîáíûõ ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì è ñîñòàâëÿåò ñóùíîñòü ìåòîäà «ðàçâÿçêè» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ïðèýòîì ýêâèâàëåíòíûå ñâÿçè ó÷èòûâàþòñÿ â ýêâèâàëåíòíûõ èíäóêòèâíîñòÿõ ðàçâÿçàííûõ ñõåì. Ïðèìåðîì ïîäîáíîé ðàçâÿçêè ìîãóòñëóæèòü ýêâèâàëåíòíûå èíäóêòèâíîñòè, îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè(3.79), (3,87), (3.101). îáùåì ñëó÷àå ðàçâÿçêó ëþáûõ äâóõ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõýëåìåíòîâ L1 è L2, ñîåäèíåííûõ â îäíîì óçëå (ðèñ. 3.24, à) ìîæíîîñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.24, á äëÿñëó÷àÿ, êîãäà ýëåìåíòû L1 è L2 ñîåäèíåíû â óçëå 0¢ îäíîèìåííûìèçàæèìàìè (×) è ñ ïîìîùüþ ñõåìû íà ðèñ.
3.24, â äëÿ ñîåäèíåíèÿL1 è L2 â óçëå 0¢ ðàçíîèìåííûìè çàæèìàìè (D). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ ñõåì äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ êàæäîé èç íèõ è äîêàçàòü èõèäåíòè÷íîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ îäíîèìåííûìè çàæèìàìè äëÿ ñõåìû íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
