Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ãëàâíîå èç íèõ ðåçêî âîçðàñòàþùèé îáúåìíåîáõîäèìûõ âû÷èñëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì çàäà÷ óðàâíåíèéâûñîêîãî ïîðÿäêà.  ýòîé ñâÿçè â ïîñëåäíåå âðåìÿ âñå áîëüøååïðèìåíåíèå íàõîäÿò äðóãèå ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ:ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé, îïåðàòîðíûé è ÷àñòîòíûå ìåòîäû,êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå.1776.7. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäèò ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ,ïîçâîëÿþùèé ïðè ðàñ÷åòàõ ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ÝÂÌ.Ñóòü ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïèðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òðàåêòîðèÿ â m-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãäåò ïîðÿäîê öåïè) ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðè t = 0 (íà÷àëüíîåñîñòîÿíèå) è êîíå÷íîé ïðè t = ¥. Íàïðèìåð, ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ïîñëåäîâàòåëüíîì RLC-êîíòóðå (ñì. § 6.4, àïåðèîäè÷åñêèé ðàçðÿä è ðèñ.
6.12) ìîæíî â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ïðåäñòàâèòü êðèâîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.19, ãäå i L (0) = 0 èu C (0) = U õàðàêòåðèçóþò íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå öåïè, à i L(t) èu C (t) îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå öåïè â ëþáîé çàäàííûé ìîìåíòâðåìåíè. Äîñòîèíñòâà ýòîãî ìåòîäà íàãëÿäíîñòü, ïðîñòîòà,óäîáñòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íà ÝÂÌ, âîçìîæíîñòü àíàëèçà êàêëèíåéíûõ, òàê è íåëèíåéíûõ öåïåé, à òàêæå öåïåé ñ ïåðåìåííûìè ïàðàìåòðàìè.Ïîÿñíèì ñóùíîñòü äàííîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå öåïè, íàõîäÿùåéñÿ ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ: iL(0) = i0, uC (0) = u0(ðèñ. 6.20).
Äëÿ ýòîé öåïè ïðè t … 0 ìîæíî çàïèñàòü:diL= uC ;dtduuiC = C C = -iL - C ,dtRuL = LèëèdiL1ü= uC ,ïdtL(6.92)ýduC11= - iL uC . ïþdtCRCÓðàâíåíèÿ (6.92) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿ öåïè, à iL èuC ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ iL(0) = i0 èuC (0) = u0 îïðåäåëÿþò ñ ïîìîùüþ (6.92) ñîñòîÿíèÿ öåïè â ëþáîéìîìåíò t … 0. Âåëè÷èíû iL è uC ìîæíî ñ÷èòàòü êîìïîíåíòàìè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ õ:uCUt=0U1t1iCCiLiRLRt=¥-i m0Ðèñ.
6.19178iLÐèñ. 6.20x=iL.uCÒîãäà (6.92) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:dx= x& ( t ) = Ax ( t ) ; t … 0,dtãäå(6.93)01Li; x(0) = 0 .-1 C -1 RCu0A= ñëó÷àå, åñëè öåïü íàõîäèòñÿ ïîñëå êîììóòàöèè ïîä âîçäåéñòâèåì èñòî÷íèêîâ, óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðèíèìàåò âèäx& ( t ) = Ax ( t ) + Bw ( t ) ,(6.94)ãäå w(t) âåêòîð âîçäåéñòâèé èñòî÷íèêîâ;  ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ öåïè.Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîåíàïðÿæåíèå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä (6.94), ãäåA=1L- R L -1 L; B=; W ( t ) = U = const .1C00Çíàÿ ñîñòîÿíèå öåïè õ(t), ðåàêöèþ öåïè y(t) (òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ëþáîé âåòâè) ìîæíî íàéòè êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ õ(t) è âõîäíûõ âîçäåéñòâèé w(t):y ( t ) = Cx ( t ) + Dw ( t ) ,(6.95)ãäå ó(t) âåêòîð èñêîìûõ ðåàêöèé öåïè; Ñ, D ìàòðèöû, çàâèñÿùèå òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ öåïè.
Óðàâíåíèå (6.95) íàçûâàþòóðàâíåíèåì ðåàêöèè öåïè.Òàê, åñëè â êà÷åñòâå êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ó(t) â ïðåäûäóùåìïðèìåðå RLC-êîíòóðà âçÿòü uR è uL, òî èñêîìûå ðåàêöèè öåïè (uRè uL) îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñèñòåìå óðàâíåíèé:}u R = RiL + 0 × uC + 0 × U,u L = - RiL - 1 × uC + 1 × U,êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå (6.95), ãäåy (t ) =uRR 00; C=; D=.uL- R -11Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (6.93)(6.95) ñïðàâåäëèâû äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòðèöû À,Â, Ñ, D íå çàâèñÿò îò t). Äëÿ öåïåé ñ ïåðåìåííûìè ïàðàìåòðàìè(ïàðàìåòðè÷åñêèå öåïè) ìàòðèöû À(t), B(t), C(t), D(t) ÿâëÿþòñÿôóíêöèÿìè âðåìåíè.Óðàâíåíèÿ (6.94), (6.95) îñíîâíûå â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé.
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ179êàê àíàëèòè÷åñêèå, òàê è ÷èñëåííûå ìåòîäû. Àíàëèòè÷åñêè óðàâíåíèå (6.94) ìîæåò áûòü ðåøåíî â îáëàñòè êàê äåéñòâèòåëüíîãîïåðåìåííîãî t, òàê è êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ð (ñì. § 7.3).Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ.Ìåòîä ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò. Ðåøåíèå ýòèì ìåòîäîì èùóò âôîðìåtx = x ( t ) = e At x ( 0 ) + ò e A ( t - t ) Bw ( t ) d t,(6.96)0Atãäå å ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà (ìàòðèöà ïåðåõîäà). Èç (6.96)ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñîäåðæèò äâà ñëàãàåìûõ: ïåðâîå ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå; âòîðîåðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.AtÄëÿ âû÷èñëåíèÿ å îáû÷íî èñïîëüçóþò ðàçëîæåíèåe At = I + A t + A 2t2t3+ A3+K2!3!(6.97)Ïðèìåð. Íàéäåì ìàòðèöó ïåðåõîäà äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
6.21.Ìàòðèöû À è  äëÿ äàííîé ñõåìû èìåþò ñëåäóþùèé âèä:A=- R2 L1L0; B=.1 R1C-1 C -1 R1CÏðèìåì L = 0,55 Ãí, Ñ = 0,5 Ô, R1 = l Îì, R2 = 3,5 Îì, å(t) = 1 Â, iL == 0, uC = 1 Â. ÒîãäàA=-7 20; B=.-2 -22Ñîãëàñíî (6.97) ìàòðèöà ïåðåõîäà ïðèìåò âèäeAt1=01=01 -7 2 2 20-7 2t+t +K =+1-2 -22! -2 -2-7t + 22,5t 2 - K 0 + 2t - 9t 2 + K.-2t + -9t 2 - K 1 - 2t + 0t 2 + KÒàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïåðåõîäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòíóþ ìàòðèöóAtïîðÿäêà ï ñ ýëåìåíòàìè â ôîðìå ðÿäîâ îò t. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå å â óðàâíåíèå (6.96), ìîæíî îïðåäåëèòü ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ èñêîìîå ðåøåíèå x(t).R1 i R+uãLiCCÐèñ.
6.21180iLR2Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî ðÿä(6.97) ñõîäèòñÿ ìåäëåííî è èñïîëüçîâàíèå óðàâíåíèÿ (6.96) òðåáóåò áîëüøîãîîáúåìà âû÷èñëåíèé, ïîýòîìó âìåñòî(6.96) îáû÷íî èñïîëüçóþò èòåðàöèîííóþïðîöåäóðó äëÿ äèñêðåòíûõ ìîìåíòîââðåìåíè tn = nDt = nh, ãäå h = Dt äîñòàòî÷íî ìàëûé øàã:x [ ( n + 1) h ] =e Ah x ( nh )+( n +1 ) hòe A [ ( n +1 ) ht ] tBw ( t ) d t.(6.98)nhÈíòåãðàë â (6.98) âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè (ìåòîäîìïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, Ñèìïñîíà è äð.).
Òàê, ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðÿìîóãîëüíèêîâ àëãîðèòì (6.98) ïðèîáðåòàåò âèäx [ ( n + 1 ) h ] = e Ah x ( nh ) + e Ah hBw ( nh ) .(6.99)Ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå w = 0 (ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ)x [ ( n + 1 ) h ] = e Ah x ( nh ) .(6.100)Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ â ðàçëîæåíèè (6.97) òîëüêî ïåðâûìè äâóìÿAh÷ëåíàìè e » I + Ah, òî ïîëó÷èìx [ ( n + 1 ) h ] » x ( nh ) + Ax ( nh ) h.(6.101)Àëãîðèòì (6.101) ëåãêî ïðîãðàììèðóåòñÿ íà ÝÂÌ è èìååò ÿñíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Îí îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé íà (n + 1)-ì øàãå, èñõîäÿ èç åå ñîñòîÿíèÿ íàn-ì øàãå ïðè àïïðîêñèìàöèè òðàåêòîðèè íà ó÷àñòêå h ïðÿìîëèíåéíûì îòðåçêîì ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ x& (h).Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàòü òðàåêòîðèþ ñîñòîÿíèé, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 6.19,èñïîëüçóÿ àïïðîêñèìàöèþ åå íà êàæäîì èç m ó÷àñòêîâ âåëè÷èíû h â ôîðìå& (h) íà êàæäîì èçïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ. Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ xâûäåëåííûõ ó÷àñòêîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.Íà îñíîâàíèè óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (6.93) èìååì:& (0) = Àõ(0);äëÿ ìîìåíòà t = 0; xäëÿ ìîìåíòà t = hx ( h ) » x ( 0 ) + x& ( 0 ) h = x ( 0 ) + Ax ( 0 ) h ;äëÿ ìîìåíòà t = 2hx ( 2h ) » x ( h ) + x ( h ) h = x ( h ) + Ax ( h ) h ;äëÿ ìîìåíòà t = (n + 1)hx [ ( n + 1 ) h ] » x ( nh ) + Ax ( nh ) h ,ò. å.
ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ (6.101).Ìåòîä ÐóíãåÊóòòà ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿñîñòîÿíèÿ (6.94), ïðè êîòîðîì èíòåðâàë 0...t ðàçáèâàåòñÿ íà ò ìàëûõ ó÷àñòêîâ Dt = h, íà êàæäîì èç êîòîðûõ çíà÷åíèå ïåðåìåííîéõ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåêîòîðûõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé ki (h) ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Âçàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà âûáîðà êîýôôèöèåíòîâ è òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè àëãîðèòìîâÐóíãåÊóòòà.181Ïðîèëëþñòðèðóåì ñóòü ìåòîäà ÐóíãåÊóòòà íà ïðèìåðå ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿdx= f ( t, x ) .(6.102)dtÍàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé àëãîðèòì ÐóíãåÊóòòà èìååò âèäx& =1ü( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) ,ïï6ý (6.103)ãäå k1 = hf ( t0 , x 0 ) ; k2 = hf ( t0 + h 2; x 0 + k1 2 ) ;ïk3 = hf ( t0 + h 2; x 0 + k2 2 ) ; k4 = hf ( t0 + h; x 0 + k3 ) .
ïþx n +1 » x n +5Ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè ñîñòàâëÿåò h .Ïðèìåð. Ðåøèòü ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ (6.102) íà èíòåðâàëå[0; t] ìåòîäîì ÐóíãåÊóòòà ïðè óñëîâèè A = 1; õ(0) = 1.Ð å ø å í è å. Ðàçîáüåì èíòåðâàë [0; t] íà 10 ó÷àñòêîâ ñ øàãîì h = 0,1.Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìàìè (6.103) ìîæåì ïîëó÷èòü äëÿ t = 0,õ(0) = 1 (ïåðâûé øàã):k1 = hx ( 0 ) = 0,1; k2 = h [ x ( 0 ) + k1 2 ] = 0,105;k3 = h [ x ( 0 ) + k2 2 ] = 0,10525; k4 = h [ x ( 0 ) + k3 ] = 0,110525;x1 = x ( 0 ) + 1 6 ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) == 1 + 1 6 ( 0,1 + 0,21 + 0,2105 + 0,110525 ) = 1,105174.Àíàëîãè÷íî íà âòîðîì øàãåx 2 = x1 + 1 6 ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) == 1,105174 + 1 6 ( 0,105 + 2 × 0,116 + 2 × 0,1163 + 0,122 ) = 1,121140 è ò.
ä.Êàê ñëåäóåò èç (6.103), äëÿ îïðåäåëåíèÿ õ íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü f (t, x) â÷åòûðåõ òî÷êàõ.Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàåòñÿ àëãîðèòì ÐóíãåÊóòòà äëÿ ñèñòåìûóðàâíåíèé òèïà (6.102). Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû èç äâóõóðàâíåíèéf ( t, x1, x 2 )dx1 dtx& == 1dx 2 dtf2 ( t, x1, x 2 )àëãîðèòì (6.103) ïðèìåò âèäx1 ( n +1 ) » x1n + 1 6 ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) , üýx 2 ( n +1 ) » x 2n + 1 6 ( l1 + 2l2 + 2l3 + l 4 ) , þãäå182k1 = hf1 ( t0 , x10 , x 20 ) ; l1 = hf2 ( t0 , x10 , x 20 ) ;k2 = hf1 ( t0 + h 2, x10 + k1 2, x 20 + l1 2 ) ;l 2 = hf2 ( t0 + h 2, x10 + k1 2, x 20 + l1 2 ) ;k3 = hf1 ( t0 + h 2, x10 + k2 2, x 20 + l 2 2 ) ;l 3 = hf2 ( t0 + h 2, x10 + k2 2, x 20 + l 2 2 ) ;(6.104)k4 = hf1 ( t0 + h, x10 + k3 , x 20 + l 3 ) ;l 4 = hf2 ( t0 + h, x10 + k3 , x 20 + l3 ) .×àñòíûì ñëó÷àåì ìåòîäà ÐóíãåÊóòòà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé àëãîðèòì Ýéëåðà (ïðè k2 = k3 = k4 = 0). Îäíàêî îí èìååò ìàëóþ òî÷íîñòü è íå íàøåë øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ.Ðàçíîñòíûå ìåòîäû.
Ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì ìåòîäà ÐóíãåÊóòòà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ õ íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.94) â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ (äëÿ àëãîðèòìà (6.103) â ÷åòûðåõ òî÷êàõ). Ýòîïðèâîäèò ê áîëüøîìó îáúåìó âû÷èñëåíèé, îñîáåííî äëÿ ñëîæíîéïðàâîé ÷àñòè. Ïðèìåíåíèå ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé è çàòðàòû ìàøèííîãî âðåìåíè,òàê êàê íà êàæäîì øàãå ïðàâàÿ ÷àñòü âû÷èñëÿåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç. îñíîâå ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ëåæèò èñïîëüçîâàíèå ðàçëè÷íûõèíòåðïîëÿöèîííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ (ìíîãî÷ëåíû Íüþòîíà, Ñòèðëèíãà, Ýðìèòà è äð.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
