Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Êàê îïðåäåëèòü, êàêóþ èç ÷åòûðåõ ðàçíîâèäíîñòåé ïåðåõîäíûõèëè èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïðè ðàñ÷åòå ðåàêöèè öåïè?2086.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóùíîñòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ñèñïîëüçîâàíèåì g(t) è h(t)?7.
Êàê îïðåäåëèòü ðåàêöèþ öåïè, åñëè âîçäåéñòâèå èìååò ñëîæíóþôîðìó?8. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü öåïü ïðè èñïîëüçîâàíèèèíòåãðàëà Äþàìåëÿ?9. Ïðèâåäèòå äðóãóþ ôîðìó èíòåãðàëà íàëîæåíèÿ, îòëè÷íóþ îò (8.12).10. Ðàñ÷åò ðåàêöèè öåïè ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëîâ Äþàìåëÿ èíàëîæåíèÿ ïðèâîäèò ê îäèíàêîâûì ðåçóëüòàòàì èëè ðàçíûì?11. Îïðåäåëèòü ïåðåõîäíóþ ïðîâîäèìîñòü öåïè, îáðàçîâàííîé ñîïðîòèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ, âêëþ÷åííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî.Îòâåò: g y ( t ) = 1 R ( 1 - e - ( R L )t ) .12. Îïðåäåëèòü g y ( t ) öåïè, îáðàçîâàííîé ñîïðîòèâëåíèåì è åìêîñòüþ, âêëþ÷åííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî.Îòâåò: g y ( t ) = ( 1 R ) e -t ( RC ) .13. Ïîëó÷èòü òðåòüþ ôîðìó èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (8.10) èç óðàâíåíèÿ ñâåðòêè (8.10).ÃËÀÂÀ 9. ×ÀÑÒÎÒÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÀÍÀËÈÇÀ ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÕÏÐÎÖÅÑÑΠ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÖÅÏßÕ9.1. Èíòåãðàë ÔóðüåÄëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè âîçäåéñòâèè íà öåïüñèãíàëîâ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû íàðÿäó ñ âðåìåííûì è îïåðàòîðíûììåòîäîì øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ÷àñòîòíûé ìåòîä àíàëèçà, áàçèðóþùèéñÿ íà ñïåêòðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñèãíàëà.Äëÿ íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ èñïîëüçóþòñÿ ñïåêòðàëüíûåïðåäñòàâëåíèÿ, îñíîâàííûå íà ïàðå ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì îòðÿäà Ôóðüå (5.6). Äëÿ ýòîãî çàäàäèì íåïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë f(t),óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè â áåñêîíå÷íûõ ïðåäåëàõ (ðèñ. 9.1):¥ò-¥f ( t ) dt < ¥ . Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàäàåòñÿ ðåàëèçóåìûé ñèãíàë ñ êîíå÷íîéýíåðãèåé; ïðè ýòîì-c t(9.1)f ( t ) < Me 0 ,ãäå Ì, ñ0 ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû.Óñëîâèå (9.1) îçíà÷àåò, ÷òî ìîäóëü |f(t)| èìååò îãðàíè÷åííûéïîêàçàòåëü ðîñòà. Ïðåâðàòèì ìûñëåííî ýòîò ñèãíàë â ïåðèîäè÷å209f (t)Tñêèé ïîâòîðåíèåì åãî ÷åðåç ïåðèîä Ò(ñì. ðèñ.
9.1). Ê ïîëó÷åííîìó òàêèìîáðàçîì ñèãíàëó ïðèìåíèìî ðàçëîæåíèå (5.6), êîòîðîå ïîñëå ïåðåõîäà êïåðåìåííîé t ìîæíî çàïèñàòü â âèäå0 t1 Tt2tTf1 ( t ) =Ðèñ. 9.1ãäåAk =2TT 2ò-T 21 ¥A k e jkw1t ,å2 k =-¥f1 ( t ) e - jkw1t dt; T = 2p w 1 .(9.2)(9.3)Ïîñëå ïîäñòàíîâêè Àk â óðàâíåíèå (9.2) ñ ó÷åòîì (9.3) ïîëó÷àåìéT2ù1 ¥- jkw1tjkw1t()fedtf1 ( t ) =ewú.å1 t1ê ò2p k =-¥êë -T 2úû(9.4)Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèè (9.4) ê ïðåäåëó ïðè T ® ¥ è ó÷èòûâàÿ,÷òî ïðè ýòîì w1 ® dw è kw1 ® w, à ñóììà âûðîæäàåòñÿ â èíòåãðàë, ïîëó÷àåì äëÿ èñõîäíîãî ñèãíàëà¥1 ¥ j wtf ( t ) = lim f1 ( t ) =e dw ò f ( t ) e - jwt dt.òT ®¥2p -¥-¥(9.5)Âíóòðåííèé èíòåãðàë â óðàâíåíèè (9.5) íîñèò íàçâàíèå ñïåêòðàñèãíàëà F(jw):F ( jw ) =¥òf ( t ) e - jwt dt.(9.6)-¥Òîãäà ôîðìóëà (9.5) ïðèíèìàåò âèäf (t ) =1 ¥F ( j w ) e j wt d w .ò2p -¥(9.7)Óðàâíåíèÿ (9.6) è (9.7) ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè â òåîðèè ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà, ïðè÷åì (9.6) íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, à (9.7) îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå.
Ïî àíàëîãèè ñ Àk ñïåêòð F(jw)ÿâëÿåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû è ìîæåòáûòü çàïèñàí â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìåF ( jw ) = A ( w ) - jB ( w )(9.8)è ïîêàçàòåëüíîé ôîðìåF ( jw ) = F ( jw ) eãäåA( w) =¥ò-¥210- jj ( w )f ( t ) cos wt dt; B ( w ) =¥ò-¥,f ( t ) sin wt dt.(9.9)(9.10)ÌîäóëüF ( jw ) =A2 ( w ) + B2 ( w )(9.11)îïðåäåëÿåò àìïëèòóäíûé, à àðãóìåíòj ( w ) = arctg éë B ( w ) A ( w ) ùû(9.12) ôàçîâûé ñïåêòð ñèãíàëà. Ïðè÷åì, êàê è äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãîñèãíàëà, àìïëèòóäíûé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, à ôàçîâûé íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåëó÷øå âñåãî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ïðåäñòàâëåíèè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (9.7) â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Åñëè ïîäñòàâèòüâìåñòî F(jw) â (9.7) åãî çíà÷åíèå èç (9.9), òî ïîëó÷èì1 ¥f (t ) =F ( jw ) e j ( wt -j )dw =ò2p -¥¥1 ¥=ò F ( jw ) cos ( wt - j ) dw + j ò F ( jw ) sin ( wt - j ) dw .2p -¥-¥Ó÷èòûâàÿ, ÷òî | F(jw) | ÷åòíàÿ, à ñèíóñ íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ÷àñòîòû èíòåãðàë îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ÷åòíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ïåðâîì ñëàãàåìîì, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò âèäf (t ) =1¥ò F ( jw ) cos ( wt - j ) dw .p0(9.13)Èç (9.13) ñëåäóåò âàæíåéøèé âûâîä î òîì, ÷òî íåïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ïðåäåëîì ñóììû (èíòåãðàë) áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ àìïëèòóäàìè (1/p)| F(jw) | è íà÷àëüíûìè ôàçàìè j = j(w), ïðè÷åì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàçíîñòü ÷àñòîò ñîñåäíèõ ãàðìîíèê áåñêîíå÷íî ìàëà Dw = dw, òî F(jw) â óðàâíåíèè (9.13) ïðåäñòàâëÿåò íåïðåðûâíûé ñïëîøíîé ñïåêòð â îòëè÷èè îò ñïåêòðà ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì (ëèíåé÷àòûì)(ñì, ãë.
5). Ïîýòîìó F(jw) íàçûâàþò êîìïëåêñíîé ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòüþ, a | F(jw) | ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ àìïëèòóäíåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà.Ñìûñë êîìïëåêñíîãî ñïåêòðà F(jw) ñëåäóåò èç ñâÿçè ìåæäóñïåêòðàìè ïåðèîäè÷åñêèõ è íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Ñðàâíåíèåóðàâíåíèé (9.3) ñ (9.6) ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ýòó ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðàìè: ïðè Ò ® ¥; wk = kw1 ® wTAk,(9.14)2è ñïåêòð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä Ak îáðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíóþ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü F(jw).F ( jw ) =211f (t)F (jw) 1.tè1,0-0- 6p - 4pt è tètÐèñ. 9.2- 2ptè0 2ptè4p 6p wt è tèÐèñ.
9.3Èç (9.14) ñëåäóåò è äðóãîé âàæíûé âûâîä: ìîäóëü ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòè íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà è îãèáàþùàÿ ëèíåé÷àòîãîñïåêòðà ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, ïîëó÷åííîãî ïîâòîðåíèåì ñ ïåðèîäîì Ò íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, ñîâïàäàþò ïî ôîðìå è îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ìàñøòàáîì. Ýòî íàãëÿäíî ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ïðèìåðå ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ (ñì.
ðèñ. 5.3, à): ñ óâåëè÷åíèåì ïåðèîäà (ñêâàæíîñòè q)ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ. 5.4, á) è â ïðåäåëå ïðè T = ¥ ïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë ïðåâðàùàåòñÿ â íåïåðèîäè÷åñêèé (ðèñ. 9.2), àäèñêðåòíûé ñïåêòð îáðàùàåòñÿ â ñïëîøíîé (ðèñ. 9.3). Ïðè ýòîìîãèáàþùàÿ êàê ëèíåé÷àòîãî, òàê è ñïëîøíîãî ñïåêòðà îïèñûâàåòñÿôóíêöèåé îòñ÷åòîâ (5.29): sin x/x.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Åñëè ñèãíàë f (t) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé âðåìåíè, òî, åãîñïåêòð F(jw) âåùåñòâåííûé. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (9.6) äëÿF(jw) ìîæíî çàïèñàòü:F ( jw ) =¥ò-¥f (t )e- j wt¥dt =òf ( t ) cos wt dt - j-¥¥òf ( t ) sin wt dt.-¥Âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ â ñèëó íå÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî,¥F ( jw ) =òf ( t ) cos wt dt.(9.15)-¥Àíàëîãè÷íî ïðè íå÷åòíîñòè ñèãíàëà f (t) ñïåêòð F(jw) ÿâëÿåòñÿ÷èñòî ìíèìûì.Âàæíûì ñâîéñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ âçàèìîçàìåíÿåìîñòü ïåðåìåííûõ t è w.
Äëÿ ÷åòíîãî ñèãíàëà f (t) è âåùåñòâåííîãî ñïåêòðà F(jw) ìîæåì çàìåíèòü â ïðåîáðàçîâàíèè (9.6)çíàêè ïåðåä jwt:F ( jw ) =¥òf ( t ) e jwt dt.(9.16)-¥Òîãäà ñðàâíèâàÿ (9.16) è (9.7) âèäèì èõ ïîäîáèå. Âçàèìîçàìåíÿåìîñòü ïåðåìåííûõ â ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó ÷àñòîòíûìè è âðåìåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìèñèãíàëà (ñì. § 9.5).212 ñîîòâåòñòâèè ñ (9.8) è (9.9) ñèãíàë ìîæåò áûòü çàäàí ëèáî ñïîìîùüþ ñâîåãî àìïëèòóäíîãî | F(jw) | è ôàçîâîãî ñïåêòðà j(w),ëèáî ñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííîé A(w) è ìíèìîé ÷àñòåé B(w) ñïåêòðàñèãíàëà.
Ïðè÷åì, âñå îíè âçàèìîñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîãëàñíî(9.11)(9.12), ò. å. íåëüçÿ çàäàâàòü íåçàâèñèìî àìïëèòóäíûé| F(jw) | è ôàçîâûé ñïåêòð j(w), èëè âåùåñòâåííóþ A(w) è ìíèìóþ÷àñòü ñïåêòðà B(w).Íàèáîëåå ÿñíî ýòà ñâÿçü ïðîÿâëÿåòñÿ äëÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî íàïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè âðåìåíè t:f (t ) ={ïðè t 0,ïðè t < 0.f (t )0(9.17)Ïåðåïèøåì (9.13) â ôîðìå¥ù1 é¥f ( t ) = ê ò F ( jw ) cos j cos wt dw + ò F ( jw ) sin j sin wt dw ú .p ë0û0Èëè ó÷èòûâàÿ, ÷òîA ( w ) = F ( jw ) cos j , üýB ( w ) = F ( jw ) sin j , þ(9.18)¥ù1 é¥f ( t ) = ê ò A ( w ) cos wt dw + ò B ( w ) sin wt dw úp ë0û0(9.19)ïðè t 0 ïîëó÷èì:è ïðè t < 0 ñ ó÷åòîì (9.17)¥ù1 é¥0 = ê ò A ( w ) cos wt dw - ò B ( w ) sin wt dw ú .p ë0û0(9.20)Ñóììèðóÿ è âû÷èòàÿ ðàâåíñòâà (9.19) è (9.20), ïîëó÷àåì:f (t ) =2¥2¥Awcoswtdw=()òò B ( w ) sin wt dw .p0p0(9.21)Îòñþäà ñëåäóåò ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé A(w) è ìíèìîé B(w)÷àñòÿìè ñïåêòðà ñèãíàëà:¥¥00ò A ( w ) cos wt dw = ò B ( w ) sin wt dw ,(9.22)ò.
å. â äàííîì ñëó÷àå ñèãíàë f (t) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêîâåùåñòâåííîé A(w) èëè ìíèìîé B(w) ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîãî ñïåêòðà F(jw). çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðè w = 0 ñïåêòð (9.6) ïðèíèìàåòçíà÷åíèå213F(0) =¥òf ( t ) dt,(9.23)-¥ò. å. áóäåò ðàâåí ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé ñèãíàëîì f (t).
Ôîðìóëà(9.23) ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ îöåíèòü ñïåêòð ñèãíàëà ïî âèäóôóíêöèè f (t).Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âðåìåííîå è ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî äâóìÿ ôîðìàìè (ìîäåëÿìè) ïðåäñòàâëåíèÿðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, è îíè ëåæàò â îñíîâå âðåìåííûõè ÷àñòîòíûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. çàêëþ÷åíèå óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Åñëè ïîëîæèòü, ÷òî f(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (9.17), òî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåïðèíèìàåò âèäF ( jw ) =¥ò f (t )e- j wt(9.24)dt.0Ñîîòíîøåíèå (9.24) íîñèò íàçâàíèå îäíîñòîðîííåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, òàê êàê îíî îïðåäåëÿåòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñèt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
