Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 37
Текст из файла (страница 37)
9.15p /w 0f2 (t)0tt0Ðèñ. 9.16ðàâíàÿ 2p / w 0 ñóæàåòñÿ, çàäåðæêà t 0 óìåíüøàåòñÿ, àìïëèòóäàèìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî òåîðåòè÷åñêè ñîãëàñíî (9.57) ñèãíàë f2 (t) ñóùåñòâóåò è ïðè t < 0, ò. å. äî âîçäåéñòâèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà, ÷òî êîíå÷íî, ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èäåàëèçàöèè À×ÕÔÍ×.Åäèíè÷íûé ñèãíàë. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîõîæäåíèå ñèãíàëà âôîðìå åäèíè÷íîé ôóíêöèè (ðèñ.
7.2, à) ÷åðåç ÔÍ× ñ õàðàêòåðèñòèêîé (9.56). Çàïèøåì óðàâíåíèå åäèíè÷íîé ôóíêöèè 1(t) â èíòåãðàëüíîé ôîðìå*:1 1¥11 ( t ) = + ò × sin wt dw .(9.58)2 p0wÈíòåãðàë â (9.58) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåùåñòâåííóþ ôîðìóîáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.7) äëÿ íå÷åòíîé ôóíêöèèf (t) = 1(t) 1/2, ñïåêòð êîòîðîé ðàâåí 1/w. Òîãäà íà îñíîâàíèè(9.58) è ñ ó÷åòîì óñëîâèé (9.52) è (9.56), äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëàìîæíî çàïèñàòü:1 1f2 ( t ) = +2 pw0ò011 1× sin w ( t - t0 ) dw = + Si éë w ( t - t0 ) ùû.
(9.59)w2 pÈíòåãðàë â (9.59) òàáóëèðîâàí è íîñèò íàçâàíèå èíòåãðàëüíîãî ñèíóñà: Si[w(t t0)]. Íà ðèñ. 9.16 ïðèâåäåí ãðàôèê ñèãíàëà íà âûõîäå èäåàëüíîãî ÔÍ×, îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèåé (9.59).Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííîãî ãðàôèêà, ÷åì óæå ïîëîñàïðîïóñêàíèÿ ÔÍ× (ìåíüøå w0 ), òåì ìåíüøå êðóòèçíà ôðîíòàíàðàñòàíèÿ èìïóëüñà: df2 / dt = w0 /p. Òàêèì îáðàçîì, êàê è âñëó÷àå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà äëÿ óìåíüøåíèÿ èñêàæåíèé âûõîäíîãî ñèãíàëà íåîáõîäèìî ðàñøèðÿòü ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿÔÍ×. Âûáðîñû â âûõîäíîì ñèãíàëå îáóñëîâëåíû òåìè æå ïðè÷èíàìè, ÷òî è â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ.
9.15 (èäåàëèçàöèÿ À×Õ ÔÍ×).*Óðàâíåíèå (9.58) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ îáîáùåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.37) äëÿ åäèíè÷íîé ôóíêöèè 1(t) ïðè ñ ® 0.228f1 (t)f2 (t)110,5-t è /2 0t è /2t0tt0-1Ðèñ. 9.17tèÐèñ. 9.18Ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçíîñòüäâóõ åäèíè÷íûõ ôóíêöèé ñäâèíóòûõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà íàtè / 2 (ðèñ. 9.17). Òîãäà ó÷èòûâàÿ ëèíåéíîñòü öåïè è ðàâåíñòâî(9.59) ïîëó÷èì óðàâíåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:f2 ( t ) =1ì é ætèí Si ê w 0 ç t - t0 +pî ë è2tèö ù - Si é w ætt÷úç00êë èøû2ö ù ü .
(9.60)÷úýøûþÍà ðèñ. 9.18 èçîáðàæåí âèä âûõîäíîãî ñèãíàëà f2 (t), ò. å., êàêè â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, äëèòåëüíîñòü ôðîíòà íàðàñòàíèÿ è ñïàäàèìïóëüñà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ öåïè w0 .×åì óæå ïîëîñà, òåì áîëåå çàòÿíóò ôðîíò èìïóëüñà; ÷åì ìåíüøåäëèòåëüíîñòü èìïóëüñà, òåì øèðå äîëæíà áûòü ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ öåïè.
Îáû÷íî íà ïðàêòèêå ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ âûáèðàþò èçóñëîâèÿ: SA = 2 / tè .9.7. Ñâÿçü ìåæäó âðåìåííûìè è ÷àñòîòíûìèõàðàêòåðèñòèêàìè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÐàññìîòðåííûå â ãë. 8 è 9 âðåìåííîé è ÷àñòîòíûé ìåòîäû àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ áàçèðóþòñÿ íà äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõõàðàêòåðèñòèêàõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé: èìïóëüñíîé èëè ïåðåõîäíîé, ñ îäíîé ñòîðîíû, è êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, ñäðóãîé. Ìåæäó ýòèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîåñîîòâåòñòâèå.
Îïðåäåëèì ýòó ñâÿçü. Äîïóñòèì, ÷òî íà âõîä ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéH(jw) ïðèëîæåíî âîçäåéñòâèå â âèäå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè. Òîãäà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñïåêòð åäèíè÷íîãî èìïóëüñíîãî ñèãíàëà ðàâåí åäèíèöå (ñì. (9.39)), ñïåêòð âûõîäíîãî ñèãíàëà ñîãëàñíî (9.51) áóäåò:F2 ( jw ) = F1 ( jw ) H ( jw ) = 1 × H ( jw ) .(9.61)Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå (9.7) îïðåäåëèò âûõîäíîé ñèãíàë f2 (t),êîòîðûé ÷èñëåííî ðàâåí èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêå öåïè:229h (t ) =1 ¥H ( j w ) e jw t d w .ò2p -¥(9.62)Àíàëîãè÷íî ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè (8.14)ìîæíî çàïèñàòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:H ( jw ) =¥ò h(t )e- j wtdt.(9.63)0Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âàæíîìó âûâîäó: èìïóëüñíàÿ èêîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîéöåïè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïàðîé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.62)è (9.63).
À ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåò êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè è íàîáîðîò. Ïðè÷åì, äëÿ h(t) è H(jw)ñïðàâåäëèâû âñå ñâîéñòâà è òåîðåìû, ðàññìîòðåííûå â § 9.2. Â÷àñòíîñòè, èç òåîðåìû èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ÷åì áîëåå ðàñòÿíóòà âî âðåìåíè èìïóëüñíàÿõàðàêòåðèñòèêà öåïè, òåì óæå åå À×Õ è íàîáîðîò.  § 9.6 áûëîïîêàçàíî, ÷òî äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíåéíîé öåïè À×Õ äîëæíàáûòü ðàâíîìåðíà, à ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñîãëàñíî (9.40) èìïóëüñíîéõàðàêòåðèñòèêå öåïè â âèäå d-ôóíêöèè, ÷òî ïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäàåò èçëîæåííîå.Ñâÿçü êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñ ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêîé òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó ïîñëåäíÿÿñâÿçàíà ñîîòíîøåíèåì (8.2) ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè.Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîé ñâÿçè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíûìïðåäñòàâëåíèåì åäèíè÷íîé ôóíêöèè (9.58):1( t ) =1 1¥1+ ò sin wt dw2 p0w(9.64)ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Ýéëåðà (3.18) ïåðåïèøåì (9.64):1 1 ¥ e j wt - e - j wt11 ¥ e j wt1( t ) = + òdw = +dw .ò2 p02 jw2 2p -¥ jw(9.65)Åñëè êî âõîäó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåéj j (w)H(jw) = |H(jw)|eïðèëîæåíà åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ (9.65), òîñèãíàë íà âûõîäå öåïè áóäåò ÷èñëåííî ðàâåí ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè g (t), ñïåêòð êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (9.51), ãäåF1 ( jw ) = 1 jw .
Òîãäà ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå ñ ó÷åòîì (9.65) ïîëó÷èì:jj ( )H(0)1 ¥ H ( jw ) e w jwtg (t ) =+e dwò22p -¥jw230èëèg (t ) =H ( 0 ) 1 ¥ H ( jw )p+ òcos éê wt - + j ( w ) ùú dw ,2p0wëû2ãäåH ( 0 ) = H ( jw )w= 0(9.66).Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ Í(jw), ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ (9.66)òàêæå è g(t). Âàæíî îòìåòèòü ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó g(t)è Í(jw), âûòåêàþùåå íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâ (7.17)(7.18) èñâÿçè ìåæäó ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå è Ëàïëàñà:lim g ( t ) = g ( ¥ ) = lim H ( jw ) = H ( 0 ) , üïw® 0lim g ( t ) = g ( 0 ) = lim H ( jw ) = H ( ¥ ) .
ýïþt ®0w®¥t ®¥(9.67)Ýòè ñîîòíîøåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî ðåàêöèÿ íà âûõîäå öåïè îò åäèíè÷íîãî âîçäåéñòâèÿ â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå áóäåò îòëè÷íà îòíóëÿ, åñëè ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ íà íóëåâîé ÷àñòîòå íå ðàâíà íóëþ (åñòü ïóòü ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé). È íàïðîòèâ, â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðè t = 0 (ìîìåíò êîììóòàöèè) ðåàêöèÿ íà âûõîäå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì, åñëè Í(¥) íå ðàâíà íóëþ, ò. å. öåïüèìååò áåñêîíå÷íî áîëüøóþ ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ. Ðàññìîòðåííûåñîîòíîøåíèÿ õîðîøî èëëþñòðèðóþòñÿ óñëîâèÿìè ïðîïóñêàíèÿ ñèãíàëà ÷åðåç ëèíåéíóþ öåïü (ñì. § 9.6). çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé Í1(w) èìíèìîé Í2 (w) ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (4.7).Ïåðåïèøåì (9.62) â ôîðìå1 ¥1¥j j ( w ) j wth (t ) =e dw = ò H ( jw ) cos ( wt + j ) dw .
(9.68)ò H ( jw ) e2p -¥p0Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ (4.7) è (4.8), ïîëó÷àåìh (t ) =1¥ò é H1 ( w ) cos wt + H 2 ( w ) sin wt ùû dw .p0ë(9.69)Ñîãëàñíî óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè (8.14) ïðè t < 0h(t) = 0, ïîýòîìó (9.69) ïðèíèìàåò âèä1¥0 = ò éë H1 ( w ) cos wt + H 2 ( w ) sin wt ùû dw .p0(9.70)Îòñþäà, ïî÷ëåííî ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ (9.69) è (9.70), ïîëó÷àåìóðàâíåíèÿ ñâÿçè èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ñ âåùåñòâåííîé èìíèìîé ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(jw):2¥2¥h ( t ) = ò H1 ( w ) cos wt dw = ò H 2 ( w ) sin wt dw .p0p0(9.71)231Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêèöåïè äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòîòíîé çàâèñèìîñòüþ òîëüêîâåùåñòâåííîé èëè ìíèìîé ÷àñòåé H(jw). Èç (9.71) ñëåäóåò òàêæåâàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî íåëüçÿ íåçàâèñèìî âûáèðàòü âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,íåëüçÿ ïðîèçâîëüíî âûáèðàòü À×Õ è Ô×Õ öåïè, òàê êàê îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îïðåäåëåííîé çàâèñèìîñòüþ (4.9), (4.10).Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè1.
Êàêèå ñóùåñòâóþò ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ñèãíàëà ïî ñïåêòðó?2. Êàêèì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþùóþåäèíè÷íîé ôóíêöèè, åñëè èçâåñòíà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü åäèíè÷íîé ôóíêöèè?3. ×åì îòëè÷àþòñÿ ñèãíàëû ñ äèñêðåòíûì è ñïëîøíûì ñïåêòðàìè?4.  êàêèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà ñâåðòêè?5. Êàêèì îáðàçîì è çà÷åì îïðåäåëÿþò ïîëþñû ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè?6.
×òî ïîíèìàþò ïîä ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ñèãíàëà?7. Çàâèñèò ëè ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ñèãíàëà îò ôîðìû(âèäà) ñèãíàëà è ôàçû ñïåêòðàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ?8. Êàê ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå åäèíè÷íîé ôóíêöèè â èíòåæö1 1 ¥ sin wtãðàëüíîé ôîðìå ç 1 ( t ) = + òdw ÷ , åñëè èçâåñòíî îáîá2 p0 wèøùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå åäèíè÷íîé ôóíêöèè?9. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé èìïóëüñíàÿ, ïåðåõîäíàÿ è êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèè ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè?10.  ÷åì ñóùíîñòü ÷àñòîòíîãî àíàëèçà ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõöåïåé ïðè íåãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ?11. Ìîæíî ëè ñîçäàòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü äëÿ áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è ñèãíàëà âî âñåì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå?12. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà è êîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü?13.  êàêèõ ñëó÷àÿõ ïðè àíàëèçå ñèãíàëîâ ïðèìåíÿþòñÿ èíòåãðàëÔóðüå è ðÿä Ôóðüå?14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
