Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 40
Текст из файла (страница 40)
10.19Ðèñ. 10.18i+u-iF1 (u )F2 (u )Fý (u )uÐèñ. 10.20îäíîé ýêâèâàëåíòíîé âåòâüþ ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ èõ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé. Ðå÷ü çäåñü èäåò î ñóììèðîâàíèè îðäèíàò èëè àáñöèññçàäàííûõ õàðàêòåðèñòèê âåòâåé öåïè. Ýòîò ìåòîä îñîáåííî ýôôåêòèâåí â ñëó÷àå öåïè ñ îäíèì èñòî÷íèêîì: öåïü ïðåäñòàâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì è îäíèì ýêâèâàëåíòíûì íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì.Ïóñòü äâà ÍÝ ñ óðàâíåíèÿìè (ÂÀÕ) i1 = F1(u1) è i2 = F2(u2)âêëþ÷åíû ïàðàëëåëüíî (ðèñ. 10.17)*.Íåîáõîäèìî íàéòè óðàâíåíèå ÍÝ, ýêâèâàëåíòíîãî äàííîìó ñîåäèíåíèþ ýëåìåíòîâ.
Òàê êàê ýëåìåíòû ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, òîu1 = u2 = u, à ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà i = i1 + i2. Âûïîëíèìñëîæåíèå òîêîâ ãðàôè÷åñêè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.18. Çàäàåìñÿçíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ. Ïðè ýòîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ íàõîäèìòîêè ÍÝ è ñóììèðóåì èõ. Çàäàåìñÿ íîâûì çíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿè îïÿòü ñóììèðóåì òîêè. Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì ñåðèþ òî÷åê, ñîåäèíÿÿ êîòîðûå, ïîëó÷àåì ÂÀÕ ýêâèâàëåíòíîãî ÍÝ.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ÍÝ (ðèñ. 10.19).
Âäàííîì ñëó÷àå i1 = i2 = i, a u = u1 + u2. Ïðîöåññ îïðåäåëåíèÿ ÂÀÕÍÝ ïîêàçàí íà ðèñ.10.20. Çàìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèìåíèìû è â ñëó÷àå, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåíû íåñêîëüêî íåëèíåéíûõ, à òàêæå ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ.*Ïîñêîëüêó ïðèâîäèìûå íèæå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî äëÿ ðåæèìà ïîñòîÿííîãî, íî è äëÿ ðåæèìà ïåðåìåííîãî òîêà, â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòüäëÿ îáîçíà÷åíèé íàïðÿæåíèé è òîêîâ ìàëûå (ñòðî÷íûå) áóêâû.243+ I1i32-321FýU32-à)uá)Ðèñ. 10.21ÍÝ 1+ii, ìÀi2iR++uR 2-U-ÍÝ 280706050403020100Ðèñ. 10.22ÍÝ 1F2 (u )ÍÝ 226 u, Â4Ðèñ.
10.23i, ìÀ80706050403020100F1 (u )i, ìÀFý2 (u )F2(u)iR24à)6u, Â80706050403020100Fý2 (u )F1 (u )24Fý1 (u )6u, Âá)Ðèñ. 10.24Ïðèìåð. Íà ðèñ. 10.21, à ïîêàçàíà ïîäêëþ÷åííàÿ ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿöåïü èç òðåõ ðåçèñòèâíûõ ÍÝ (ðèñ. 10.21, á). Ñóììèðîâàíèå îðäèíàò õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ 2 è 3, ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî, äàåò ýêâèâàëåíòíóþ õàðàêòåðèñòèêó 23. Ñóììèðóÿ àáñöèññû ïîñëåäíåé ñ àáñöèññàìè êðèâîé 1, ïîëó÷àåì ýêâèâàëåíòíóþ õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîé öåïè Fý.
Èç ãðàôèêîâ ðèñ.10.21, á ìîæíî, çàäàâàÿñü íàïðÿæåíèåì íà âõîäå, ïîëó÷èòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé.Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì íàïðÿæåíèÿ è òîêè â öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíàíà ðèñ. 10.22, ãäå U = 5 Â, R = 500 Îì, à ÂÀÕ ÍÝ çàäàíû ãðàôèêàìè íàðèñ. 10.23.244Ïîñêîëüêó ÂÀÕ çàäàíû ãðàôèêàìè, òî ïðè ðåøåíèè âîñïîëüçóåìñÿ ãðàôè÷åñêèìè ïîñòðîåíèÿìè. Íàéäåì ÂÀÕ i = Fý2(u) äâóõïîëþñíèêà, ýêâèâàëåíòíîãî ïàðàëëåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ëèíåéíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R è ÍÝ2. Äëÿ ýòîãîïåðåíåñåí ÂÀÕ ÍÝ2 íà íîâûé ðèñóíîê è ïîñòðîèì ÂÀÕ ëèíåéíîãî ýëåìåíòà(ðèñ. 10.24, à). Íà ýòîì æå ðèñóíêå ïîêàçàíà ýêâèâàëåíòíàÿ ÂÀÕ i = Fý2(u).Ïåðåíåñåì ýòó ýêâèâàëåíòíóþ ÂÀÕ è ÂÀÕ ÍÝ1 íà ðèñ.
10.24, á è íàéäåìÂÀÕ ýêâèâàëåíòíîãî äâóõïîëþñíèêà i = Fý1(u), êîòîðûé ïðèñîåäèíÿåòñÿ êçàæèìàì èñòî÷íèêà.Ïî ðèñ. 10.24, á ïî êðèâîé i = Fý1(u) íàõîäèì, ÷òî íàïðÿæåíèþ u = 5 Âñîîòâåòñòâóåò òîê i = 16 ìÀ, ïî êðèâîé i = F1(u) íàïðÿæåíèå íà ÍÝ1 u1 == 2,8 B è no-êðèâîé i = Fý2(u) íàïðÿæåíèå íà ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè Rè ÍÝ2 u2 = 2,2 Â. Çíàÿ ýòî íàïðÿæåíèå, ïî ãðàôèêàì ðèñ.
10.24, à íàõîäèìiR = 11 ìÀ è i2 = 5 ìÀ.10.5. Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âîëüò-àìïåðíûõõàðàêòåðèñòèê×àñòî íåîáõîäèìî èìåòü àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âîëüòàìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Ýòè âûðàæåíèÿìîãóò ëèøü ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâëÿòü ÂÀÕ, ïîñêîëüêó ôèçè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ çàâèñèìîñòè ìåæäóíàïðÿæåíèÿìè è òîêàìè â ýëåêòðîííûõ è ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðàõ, íå âûðàæàþòñÿ àíàëèòè÷åñêè.Çàäà÷à ïðèáëèæåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè,çàäàííîé ãðàôè÷åñêè èëè òàáëèöåé çíà÷åíèé, â çàäàííûõ ïðåäåëàõèçìåíåíèÿ åå àðãóìåíòà (íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé) ïðåäïîëàãàåò,âî-ïåðâûõ, âûáîð àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè, ò.
å. ôóíêöèè, ñïîìîùüþ êîòîðîé ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàäàííàÿ çàâèñèìîñòü, è, âî-âòîðûõ, âûáîð êðèòåðèÿ îöåíêè «áëèçîñòè» ýòîé çàâèñèìîñòè è àïïðîêñèìèðóþùåé åå ôóíêöèÿ. êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé èñïîëüçóþòñÿ, ÷àùåâñåãî, àëãåáðàè÷åñêèå ïîëèíîìû, íåêîòîðûå äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå è òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè èëè ñîâîêóïíîñòü îòðåçêîâ ïðÿìûõ ëèíèé.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÂÀÕ íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà i = F(u) çàäàíàãðàôè÷åñêè, ò. å. îïðåäåëåíà â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà Umin „ u „„ Umax, è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîçíà÷íóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþïåðåìåííîé u. Òîãäà çàäà÷à àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê çàäà÷à àïïðîêñèìàöèè çàäàííîé ôóíêöèè x(x) âûáðàííîé àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèåé f(x).Î áëèçîñòè àïïðîêñèìèðóþùåé f(x) è àïïðîêñèìèðóåìîé x(x)ôóíêöèé èëè, èíûìè ñëîâàìè, î ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè,îáû÷íî ñóäÿò ïî íàèáîëüøåìó àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ ðàçíîñòèìåæäó ýòèìè ôóíêöèÿìè â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè à „ õ „ b,ò.
å. ïî âåëè÷èíå245L = max f ( x ) - x ( x ) .(10.3)×àñòî êðèòåðèåì áëèçîñòè âûáèðàåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîåçíà÷åíèå ðàçíîñòè ìåæäó óêàçàííûìè ôóíêöèÿìè â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè, ò. å. âåëè÷èíà1 b ( )2L=(10.4)f x - x ( x ) ] dx .[òb-aaÈíîãäà ïîä áëèçîñòüþ äâóõ ôóíêöèé f(x) è x(x) ïîíèìàþò ñîâïàäåíèå â çàäàííîé òî÷êå x = X0 ñàìèõ ôóíêöèé è n + 1 èõ ïðîèçâîäíûõ.Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ê çàäàííîé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèÿ (ìåòîä âûáðàííûõ òî÷åê), êîãäà äîáèâàþòñÿ ñîâïàäåíèÿ ôóíêöèé f(x) è x(x) ââûáðàííûõ òî÷êàõ (óçëàõ èíòåðïîëÿöèè) õk, k = 0, 1, 2, ..., n.Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà òåì ìåíüøåé, ÷åì áîëüøå ÷èñëî âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ âõîäèò â àïïðîêñèìèðóþùóþ ôóíêöèþ, ò. å., íàïðèìåð, ÷åì âûøå ñòåïåíü àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà èëè ÷åì áîëüøå ÷èñëî îòðåçêîâ ïðÿìûõñîäåðæèò àïïðîêñèìèðóþùàÿ ëèíåéíî-ëîìàíàÿ ôóíêöèÿ.
Îäíîâðåìåííî ñ ýòèì, åñòåñòâåííî, ðàñòåò îáúåì âû÷èñëåíèé êàê ïðèðåøåíèè çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè, òàê è ïðè ïîñëåäóþùåì àíàëèçåíåëèíåéíîé öåïè. Ïðîñòîòà ýòîãî àíàëèçà íàðÿäó ñ îñîáåííîñòÿìèàïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà àïïðîêñèìàöèèñëóæèò îäíèì èç âàæíåéøèõ êðèòåðèåâ ïðè âûáîðå òèïà àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè. çàäà÷àõ àïïðîêñèìàöèè âîëüò-àìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîííûõ è ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðîâ ñòðåìèòüñÿ ê âûñîêîéòî÷íîñòè èõ âîñïðîèçâåäåíèÿ, êàê ïðàâèëî, íåò íåîáõîäèìîñòèââèäó çíà÷èòåëüíîãî ðàçáðîñà õàðàêòåðèñòèê ïðèáîðîâ îò îáðàçöàê îáðàçöó è ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà íèõ äåñòàáèëèçèðóþùèõôàêòîðîâ, íàïðèìåð, òåìïåðàòóðû â ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïðèáîðàõ. áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äîñòàòî÷íî «ïðàâèëüíî» âîñïðîèçâåñòè îáùèé óñðåäíåííûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè i = F(u) â ïðåäåëàõ åå ðàáî÷åãî èíòåðâàëà.Ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.
 êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè â çàäà÷àõ àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëüòàìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèåïîëèíîìûf ( x ) = a0 + a1x + a 2x 2 + K + an x n(10.5)òîé èëè èíîé ñòåïåíè.Ïîñòîÿííûå a0 , a1, a 2, K , an ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âàðüèðóåìûåïàðàìåòðû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ âûáèðàþòñÿ òàêèìè, ÷òîáû â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè a „ x „ b ñâåñòè ê ìèíèìóìó ïîãðåøíîñòüàïïðîêñèìàöèè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì êðèòåðèåì áëèçîñòè.246 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå êðèòåðèåì áëèçîñòè ìîæåò ñëóæèòü ñîâïàäåíèå çíà÷åíèé àïïðîêñèìèðóþùåé è àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèéâ âîçìîæíî áîëüøåì ÷èñëå âûáðàííûõ òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ âèíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè.
Ñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä ïðèáëèæåííîãîâîñïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé íîñèò, êàê ìû óæå óïîìèíàëè, íàçâàíèåèíòåðïîëèðîâàíèÿ, à äèñêðåòíûå òî÷êè, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ òî÷íîå ñîâïàäåíèå ôóíêöèé f(x) è x(x), íàçûâàþòñÿ óçëàìè èíòåðïîëèðîâàíèÿ. Èõ ÷èñëî íà åäèíèöó ïðåâûøàåò ñòåïåíü èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà.
Äåéñòâèòåëüíî, çàïèñûâàÿ ðàâåíñòâî ôóíêöèéf(xk) = x(xk) â êàæäîì èç óçëîâ èíòåðïîëèðîâàíèÿ xk, k = 0, 1,2, ..., n, ïîëó÷èì ñèñòåìó èç n + 1 ëèíåéíûõ óðàâíåíèéa0 + a1x 0 + a 2x 02 + K + an x 0n = x ( x 0 ) üa0 + a1x1 + a 2x12 + K + an x1n = x ( x1 ) ïïý. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .ïa0 + a1x n + a 2x n2 + K + an x nn = x ( x n ) ïþ(10.6)ñ òàêèì æå ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ a0 , a1, a 2, K , anèíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà. òåîðèè èíòåðïîëèðîâàíèÿ ôóíêöèé äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìàóðàâíåíèé (10.6) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Åäèíñòâåííûì, ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò è ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëèíîìîì âûáðàííîéñòåïåíè.Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèé ïðèìåð èíòåðïîëèðîâàíèÿ â èíòåðâàëå0 „ x „ 1,5 ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè f ( x ) = a0 + a1x ôóíêöèèx ( x ) = 1 - e - x , çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè. Ðàñïîëîæèì óçëû èíòåðïîëèðîâàíèÿ, à èõ äîëæíî áûòü n + 1 = 2, ïðè x0 = 0,1 è x1 = 1,0.Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ a0è a1 áóäåò òàêîé: a0 + a1 × 0,1 = 1 - e -0,1 è a0 + a1 = 1 - e -1 .
Èç åå ðåøåíèÿ ñëåäóåò à0 = 0,036, a1 = 0,597 è f(x) = 0,036 + 0,597x. Ãðàôèêè ôóíêöèé f(x) è x(õ) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 10.25. Îíè ïîêàçûâàþò, ÷òî òî÷íîñòü âîñïðîèçâåäåíèÿ çàäàííîé ôóíêöèè íåâåëèêà. Âçàäàííîì èíòåðâàëå 0 „ x „ 1,5 íàf (x) x (x)èáîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü | f(x)x(õ) |,1ò. å. max | f(x)x(õ) | íàõîäèòñÿ íà0,9f (x)îäíîé èç ãðàíèö èíòåðâàëà ïðè õ =0,8= 1,5 è ñîñòàâëÿåò 0,158. Åå ìîæíî0,7x (x)óìåíüøèòü, âûáðàâ äðóãèå óçëû0,6èíòåðïîëèðîâàíèÿ è, òåì áîëåå,0,50,4ïîâûñèâ ñòåïåíü èíòåðïîëèðóþùå0,3ãî ïîëèíîìà. Òàê, ãðàôèêè òîé æå0,2ôóíêöèè x ( x ) = 1 - e - x è èíòåðïî0,1ëèðóþùåãî ïîëèíîìà âòîðîé ñòå00,511,5xïåíè ñ óçëàìè èíòåðïîëèðîâàíèÿx0 = 0,15, x1 = 0,6 è x2 = 1,2 ïðàêÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
