Бакалов В.П. Основы теории цепей (3-е издание, 2007).pdf (1095419), страница 41
Текст из файла (страница 41)
10.25247f (x) x (x)f (x) - x (x)0,0100,51-0,01-0,021,5x10,90,80,70,60,50,40,30,20,10Ðèñ. 10.26f (x)x (x)0,511,5xÐèñ. 10.27òè÷åñêè ñîâïàäàþò. Íà ðèñ. 10.26 ïðèâåäåí ãðàôèê ðàçíîñòè ýòèõôóíêöèé, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü â òîì æå çàäàííîìèíòåðâàëå íå ïðåâûøàåò 0,026, ò. å. óìåíüøèëàñü ïî ñðàâíåíèþ ñëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèåé â 6 ðàç.Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé, â êîòîðîì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè êîíòðîëèðóåòñÿ âî âñåì èíòåðâàëå ïðèáëèæåíèÿ à x b, à íå â åãî äèñêðåòíûõ òî÷êàõ, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ (àïïðîêñèìàöèè) ôóíêöèé (ïðèáëèæåíèÿ ïî Ï.Ë. ×åáûøåâó).
 ýòîì ìåòîäåïàðàìåòðû àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè âûáèðàþòñÿ òàêèìè, ÷òîáû â èíòåðâàëå ïðèáëèæåíèÿ íàèáîëüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíåîòêëîíåíèå ôóíêöèè f(x) îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(õ) áûëî áûìèíèìàëüíî âîçìîæíûì, èëè, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ (10.3), ÷òîáûâ èíòåðâàëå à õ bL = max f ( x ) - x ( x ) = min .(10.7) ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå ýòîìó êðèòåðèþ óäîâëåòâîðÿåòïîëèíîì f(õ) = 0,071 + 0,518õ. Íàèáîëüøèå åãî îòêëîíåíèÿ îòôóíêöèè x ( x ) = 1 - e - x â èíòåðâàëå 0 x 1,5 ðàñïîëîæåíû ïðèx = 0, õ =xm = 0,658 è õ = 1,5 (ñì. ðèñ. 10.27), ïðè÷åì, ÷òî î÷åíüâàæíî, âñå îíè ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå.
Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òîëþáîå èçìåíåíèå íàêëîíà (à1) èëè óðîâíÿ (à0) ïîëèíîìà f(x), êîòîðîå âåäåò ê óìåíüøåíèþ ýêñòðåìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ â äâóõ èçòðåõ óêàçàííûõ òî÷åê, óâåëè÷èâàåò îòêëîíåíèÿ â îñòàâøåéñÿ òî÷êå.Òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîì f(x) = 0,071 + 0,518õ èç âñåõ ïîëèíîìîâïåðâîé ñòåïåíè äåéñòâèòåëüíî ìèíèìèçèðóåò àáñîëþòíóþ âåëè÷èíóxîòêëîíåíèÿ îò ôóíêöèè 1eâ èíòåðâàëå 0 x 1,5. òåîðèè àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàèáîëüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèå ïîëèíîìà f(õ) ñòåïåíè ïîò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(x) áóäåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì, åñëèâ èíòåðâàëå ïðèáëèæåíèÿ à õ b ðàçíîñòü f(õ)x(x) íå ìåíüøå, ÷åì ï + 2 ðàçà ïðèíèìàåò ñâîè ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåäóþùèåñÿ248f (x) - x (x)ïðåäåëüíûå íàèáîëüøèå f(õ)x(x) == L > 0 è íàèìåíüøèå f(õ)x(x) =L= L çíà÷åíèÿ (êðèòåðèé ×åáûøåâà).Õàðàêòåðãðàôèêàðàçíîñòè0àbxf(õ)x(x) äëÿ ïîëèíîìà f(õ) ïÿòîé-Lñòåïåíè, óäîâëåòâîðÿþùåãî ýòîìóêðèòåðèþ, ïðèâåäåí íà ðèñ.
10.28.Ðèñ. 10.28Ýòîìó æå êðèòåðèþ óäîâëåòâîðÿåòïîëèíîì f(õ) â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå (ñì. ðèñ. 10.27).Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íàõîäèò ïðèìåíåíèå ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ áëèçîñòè, êîãäà ïàðàìåòðû àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè f(õ) âûáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â ìèíèìóì â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèèà õ b êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ôóíêöèè f(õ) îò çàäàííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x(õ), ò. å., èç óñëîâèÿ:1 b ( )2L=f x - x ( x ) dx = min .òb-aa(10.8) ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè îòûñêàíèÿ ýêñòðåìóìîâ ðåøåíèåçàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèè, êîòîðàÿîáðàçóåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèðàâíèâàíèÿ ê íóëþ ïåðâûõ ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè L ïî êàæäîìó èç èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâàk àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà f(x), ò. å. óðàâíåíèé¶L¶L¶L¶L= 0;= 0;= 0, K ,= 0.(10.9)¶a0¶a1¶a 2¶anÄîêàçàíî, ÷òî è ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
 ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ îíî íàõîäèòñÿ àíàëèòè÷åñêè, à âîáùåì ñëó÷àå ÷èñëåííî. Òàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðè àïïðîêñèìàöèè â èíòåðâàëå 0 x l,5 ôóíêöèèx1- e- ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè òàêîâà:¶L=¶a0¶L=¶a11,5ò 2 ( a0 + a1x - 1 + e - x ) dx01,5= 0,ò 2 ( a0 + a1x - 1 + e - x ) xdx= 0,0èëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé:3a0 + 2,25a1 = 1 + 2 × e -1,5; 2,25a0 + 2,25a1 = 0,25 - 5 × e -1,5 .Ïîýòîìó f(õ) = 0,108 + 0,500x.Çàìåòèì, ÷òî, êàê ïðàâèëî, ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé f(õ) è x(õ)ëèøü íå íàìíîãî îòëè÷àåòñÿ îò ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé.
Îáðàòíîåóòâåðæäåíèå îáû÷íî îøèáî÷íî, ò. å. ïðè êâàäðàòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè â íåêîòîðûõ ó÷àñòêàõ èíòåðâàëà àïïðîêñèìàöèè âîçìîæ249iI2I0I10U1U0 U2uíû ñóùåñòâåííûå ïðåâûøåíèÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (âûáðîñû)ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìè, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò êðèòåðèþ (10.7).Âåðíåìñÿ ê âîëüò-àìïåðíûì õàðàêòåðèñòèêàì. Îáùèé âèä çàïèñèñòåïåííîãî ïîëèíîìà, àïïðîêñèìèðóþùåãî ÂÀÕ:i = a0 + a1u + a 2u 2 + K + an u n . (10.10)Ðèñ. 10.29Èíîãäà áûâàåò óäîáíî ðåøàòü çàäà÷ó àïïðîêñèìàöèè çàäàííîé õàðàêòåðèñòèêè â îêðåñòíîñòè ðàáî÷åé òî÷êè U0. Òîãäà èñïîëüçóþò ñòåïåííîé ïîëèíîì äðóãîãî âèäà:2ni = a0 + a1 ( u - U 0 ) + a 2 ( u - U 0 ) + K + an ( u - U 0 ) .
(10.11)Ïðèìåð. Èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåðïîëÿöèè, àïïðîêñèìèðîâàòü ÂÀÕ íåëèíåéíîãî ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà (ðèñ. 10.29) ñòåïåííûì ïîëèíîìîì. Àïïðîêñèìèðîâàííàÿ ÂÀÕ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ çàäàííîé â âûáðàííûõ òî÷êàõ U0, U1 èU2.Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:ì I0 = a0 + a1 ( U 0 - U 0 ) + a 2 ( U 0 - U 0 ) 2ïï2í I1 = a0 + a1 ( U1 - U 0 ) + a 2 ( U1 - U 0 )ï I = a + a U -U + a U -U 201(20)2(21)ïî 2èç êîòîðîé íàéä¸ì èñêîìûå êîýôôèöèåíòûa0 = i0 ;2222I0 éë ( U1 - U 0 ) - ( U 2 - U 0 ) ùû + I1 ( U 2 - U 0 ) - I2 ( U1 - U 0 )a1 =;DI ( U 2 - U1 ) - I1 ( U 2 - U 0 ) - I2 ( U 0 - U1 )a2 = 0;DD = - ( U 2 - U 0 ) ( U 2 - U1 ) ( U 0 - U1 ) .Ïðèìåð.
ÂÀÕ íåëèíåéíîãî ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà i = F(u) çàäàíà òàáëèöåé:uk00.10.20.30.40.50.60.70.8ik00.060.230.50.851.181.652.32.9Èñïîëüçóÿ êâàäðàòè÷åñêèé êðèòåðèé, àïïðîêñèìèðîâàòü õàðàêòåðèñòèêóâûðàæåíèåì i = a 2u 2 .Ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè îò çàäàííîé:L=8å éë a2uk2 - ik ùû2ìèíèìàëüíà ïðè çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà a2, óäîâëåòâî-k =0ðÿþùåãî óðàâíåíèþ25088¶L= 2 å a 2uk2 - ik uk2 = 0 , îòêóäà a 2 = æç å uk2ik ö÷¶a2è k=0øk =0()84å uk = 4.63 .k =0Ïðèìåð.
Íà ðèñ. 10.30 êðóæî÷êàìè ïîêàçàíû ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíî ïÿòü òî÷åê õàðàêòåðèñòèêè iÁ = F ( uÁÝ ) òðàíçèñòîðà ÊÒ301. Îñóùåñòâèì ñòåïåííóþ àïïðîêñèìàöèþ ýòîé õàðàêòåðèñòèêè â äèàïàçîíå uÁÝ îò 0,4 äî0,9  ïîëèíîìîì âòîðîé ñòåïåíè â îêðåñòíîñòè ðàáî÷åé òî÷êè U0 = 0,7 Â.Êîýôôèöèåíòû a0 , a1,K , a N ïîëèíîìà iÁ = a0 + a1 ( uÁÝ - U0 ) + a2 ( uÁÝ - U0 ) 2íàéäåì, èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåðïîëÿöèè. Âûáåðåì â êà÷åñòâå óçëîâ èíòåðïîëÿöèè òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðÿæåíèÿì 0,5; 0,7 è 0,9  è ñîñòàâèì ñèñòåìóóðàâíåíèé:a0 - 0,2a1 + 0,04a 2 = 0,05; üïa0 = 0,15;ýa0 + 0,2a1 + 0,04a 2 = 0,5.
ïþÐåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò a 0 = 0,15 ìÀ, a 1 = 1,125 ìÀ/Â, a 2 == 3,125 ìÀ/Â2. Êðèâàÿ òîêàiÁ = 0,15 + 1,125 ( uÁÝ - 0,7 ) + 3,125 ( uÁÝ - 0,7 )2ïðîõîäèò ÷åðåç òðè ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå óçëàì èíòåðïîëÿöèè (ñì. ðèñ. 10.30, êðèâàÿ 1). Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî íåêîòîðûåýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè (íàïðèìåð, ïðè UÁÝ = 0,4 Â) ïëîõî «ëîæàòñÿ»íà ýòó êðèâóþ. Êðîìå òîãî, ïîÿâëÿåòñÿ çàãèá â íèæíåé ÷àñòè õàðàêòåðèñòèêè.Ëó÷øåé àïïðîêñèìàöèè ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü ïîëèíîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè è âûáðàòü ñîîòâåòñòâåííî ïÿòü óçëîâ èíòåðïîëÿöèè (0,4; 0,5;0,7; 0,8; 0,9 Â).  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ òîêà iÁ ïðîéäåò ÷åðåç âñå ïÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê.Îäíàêî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ñîõðàíèòü âòîðóþ ñòåïåíü ïîëèíîìà è óëó÷øèòü àïïðîêñèìàöèþ, âîñïîëüçîâàâøèñü êàêèì-ëèáî äðóãèì ìåòîäîì äëÿîïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a s.
Íàéäåì ýòè êîýôôèöèåíòû, èñïîëüçóÿñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå òîêà ïî âñåì ïÿòè ýêñïåðèìåíòàëüíûìçíà÷åíèÿì.Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ (10.9):5a0 - 0,2a1 + 0,18a 2 = 0,98 ;- 0,2a0 + 0,18a1 - 0,026a 2 = 0,106;0,18a0 - 0,026a1 + 0,0123a 2 = 0,0272.üïýïþÐåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äàåò:a0 = 0,164 ìÀ, a1 = l,07 ìÀ/ è a2 =2= 2,069 ìÀ/ .Ãðàôèê òîêà ïðè ýòîì îïðåäåëÿåòñÿïîëèíîìîìiÁ = 0,164 + 1,07 ( uÁÝ - 0,7 ) ++ 2,069 ( uÁÝ - 0,7 )2è ïîêàçàí íà ðèñ. 10.30, êðèâàÿ 2. Ýòà õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðèåìëåìîéäëÿ àíàëèòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ.i Á , ìA0,60,50,40,30,20,10210,2 0,4 0,6 0,8 1,0 u ÁÝ , ÂÐèñ. 10.30251f (x)0,8010,4400,02000,551,01,5xÐèñ. 10.31âèñèìîñòüÊóñî÷íî-ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.
Íàðÿäó ñ ïîëèíîìèàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé ÂÀÕ â ðàäèîòåõíèêå è ñâÿçè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ èõ àïïðîêñèìàöèÿ ëèíåéíî-ëîìàíîé çàâèñèìîñòüþ ñîâîêóïíîñòüþ îòðåçêîâ ïðÿìûõ,îáðàçóþùèõ â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f(x). Òàê, íà ðèñ. 10.31ïðèâåäåíà ëèíåéíî-ëîìàíàÿ çà-{0,020 + 0,764 x ïðè 0 „ x „ 0,55,f (x) =0,232 + 0,379 x ïðè 0,55 „ x „ 1,5,ñîñòàâëåííàÿ èç äâóõ îòðåçêîâ ïðÿìûõ è àïïðîêñèìèðóþùàÿ â èí-xòåðâàëå 0 x 1,5 ôóíêöèþ 1eñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ,íå ïðåâûøàþùåé 0,024.Ïàðàìåòðû àïïðîêñèìèðóþùèõ ïðÿìûõ ìîãóò áûòü âûáðàíûòàê, ÷òîáû â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè âûïîëíÿëñÿ êðèòåðèé (10.7)èëè (10.8). ïðåäåëàõ êàæäîãî èç ëèíåàðèçèðîâàííûõ ó÷àñòêîâ âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè ïðèìåíèìû âñå ìåòîäû àíàëèçà êîëåáàíèéâ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. ßñíî, ÷òî, ÷åì íà áîëüøåå ÷èñëîëèíåàðèçèðîâàííûõ ó÷àñòêîâ ðàçáèâàåòñÿ çàäàííàÿ âîëüò-àìïåðíàÿõàðàêòåðèñòèêà, òåì òî÷íåå îíà ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíà è òåìáîëüøå îáúåì âû÷èñëåíèé â õîäå àíàëèçà êîëåáàíèé â öåïè.Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ àíàëèçà êîëåáàíèé â íåëèíåéíûõ ðåçèñòèâíûõ öåïÿõ àïïðîêñèìèðóåìàÿ âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà â èíòåðâàëå àïïðîêñèìàöèè ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ ïðåäñòàâëÿåòñÿ äâóìÿ èëè òðåìÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ.
Ãðàôèêè òèïè÷íûõàïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 10.32, à â, ãäåUîòñ òàê íàçûâàåìîå íàïðÿæåíèå îòñå÷êè, Uí è Ií íàïðÿæåíèåè òîê íàñûùåíèÿ â ÍÝ.Ïîäîáíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ âîëüò-àìïåðíûõ õàðàêòåðèñòèê äàåò âáîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûå ïî òî÷íîñòè ðåiiiu0 U îòñà)IíuU îòñ 0á)Ðèñ. 10.322520 U îòñUíâ)uçóëüòàòû àíàëèçà êîëåáàíèé â íåëèíåéíîéðåçèñòèâíîéöåïèïðè«áîëüøèõ» ïî âåëè÷èíå âîçäåéñòâèÿõ íà íåëèíåéíûé ýëåìåíò, ò. å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
