Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Ориентированным ребрам сигнального графа приписывают направление передачи сигнала и значение указанньех коэффициентов пропорциональности. Они называются передачей этих ребер. Таким образом, четыре связи (8.74) между сигналами отображаются сигнальными графами, показанными соответственно на рнс. 8.!9, в — е. На сигнальные графы распространяются все основные понятия топологических графов — узел, ветвь, контур, петля, путь. Зйэ а) ° У В отличие от типологических графов ориентированный путь сигнального графа й) ° 1 можно проходить только е направлении ориентации ребер и ветвей. Соответствена — ' 7 У но ветви, контуры, петли и пути сигнального графа могут состоять только из реа.р р. „„.р .р--,., в.р отображающую задающее напряжение и Е или задающий ток 1, называют исто- 1,7 1 ком Все ветви, инцидентные истоку, выа' ' " °, р~'и" ° -р. ну других узлов.
Вершину, отображаюрис. в.1э. эасмаиги сит- щую выходное напряжение.(7 или выходной ток 1, называют стоком, Все ветви, аа а инцидентные стоку, втекают в него, т.е. сгз направлены в его сторону. Передаточная функция цепи (б.9) определяет связь между стоком и истоком и называется У ' ' передачей графа, рис. Вдо. Сигиааагрвир ВОЗМОЖНО ПОСтрОЕНИЕ ИЛИ ПрЕОбраЗО- граф с обводами ванне графа, при котором сток н исток . меняются местами. Такой граф и все его элементы называют инеертироаанньчми, Для инвертированного графа используют понятие обратной передачи 77 = 1/Тг (8.78) где передача графа Т имеет смысл одной нз передаточных функ- ций (б.9).
Если граф содержит несколько истоков, то его передача должна определяться для каждого истока в отдельности. При этом искомый результат — величину стока — находят по прин- ципу суперпозиции. 77уть, соединяющий исток со стоком, называется прямым путем. 17уть противоположного направления, который соединяет узлы, лежащие на прямом пути, будем называть обходом. В част- ности, петля всегда является обходом.
Например, на рис. 8.20 вершина Е является истоком, вершина О = стоком, совокупность ребер (ветвей) у, ар, г — прямым путем, ребро (ветвь) а, и пет- ля аа — обходами. 2. Построение графов. Существует два основных способа построения сигнальных графов цепи — по системе уравнений, описывающих процессы'в цепи, и непосредственно по ее схеме (в том числе функциональной).
По первому способу составляют сначала подходящую систему уравнений методом токов ветвей, контурных токов, узловых напряжений и др. Такой системой .могут являться и основные уравнения четырехполюсника. Выбрав, например, систему основных уравнений (8.13), строим сигнальный граф. Для этого произвольно располагаем на чертеже четыре вершины Ор, 1„(7в, 1в и соединяем их реб- звв У, оп У', Г ) У', ан Ут Г ! У', ап Ут а) о) Рнс. 8.2!. Сигнальные графы нетырекнолюсннка граф (рис.
8.21, б). В нем вершина Е является инвертированным стоком, а вершина!з — инвертированным истоком, т. е. этот граф уже по построению является инвертированным. Если закон Ома использовать в другой форме (12 = 0з/Уоз), то в полученном графе инвертированным истоком станет вершина бз (рис. 8.21, в). При построении графи по произвольной сйстеме уравнений ее надо предварительно норлтализовать. Здесь под нормализацией понимают разрешение всех и уравнений относительно и разных переменных, т. с. такое преобразование этих уравнений, при котором в левой части .каждого нз них остается одна из и переменных.
Например, для контурных токов в Т-образном мостовом четырехполюснике (рнс. 8.22) получается следующая система уравнений: 71~)~ + 2 ~ 2(з+ У~ а)з = Е, Лз~ 11 + т з)з + Ъз/з = О, Кз,1, +г„/а+Лаз),=О, ты = Ло + т, + тз, дзз=~~+~з+ + л,, к„= г,+л,+ к„, г„=л„= =:г,, Д„=Л,„= — Лз, Дзз= = г, ° = — 7з. Рнс 8.22 Спеца цепи, нллю с грнрио гнал метод снгналь ныт графов 385 гз — ! 888 рами (рис. 8.21, а). Ребра ориентируются в направлении переменных Пы /ы стоящих в левых частях уравнений (8.13), а передачи ребер определяются коэффициентами этих уравнений: р = — аы, = ась у = — асы и = азз.
Если рассматриваемый четырехполюсник входит в состав более сложной схемы, то к полученному графу пристраивают вершины и ребра, отображающие и другие части схемы. Так в простейшем случае четырехполюсника, включенного между источником и нагрузкой (см. рис. 8.!О, а), используем еще два уравнения, составленных по второму закону Кирхгофа и закону Ома: Е=со~)~+()ы Оп=сот)з.
Добавив вершину Е и ребра Еоь 1, Еоз, нз предыдущего графа рис. 8.21, а получим новый При это требуется определить по закону Ома выходное на- пряжение 0 =Дз1з, снимаемое с нагрузочного сопротивле- ния Дз, чер з которое проходит один контурный ток 1з. Для пос роения сигнального графа нормализуем уррвнения, азрешая к ждое из них относительно разных переменных 1ь ъ 1з, и доб вим к ним искомую переменную Е): 1! = уЕ + а !1з + аз1з, !з = аз1! + а41з, 1з = аз1 ! + ае1з, 0 = г14, где у=1/ !, а! — — — 2!з/Л!!, аз= — У!з/Я!!, аз= — А!/Езз, а4= — Ягз/7зз, аз= — Яз!/Бз, аз= — ~зз/~зз, г=2ез. Теперь п оизвольно расйоложим на чертеже исток а', сток 0 и узлы 1ь 1 1з (рис. 8.23, а), Затем соединим вершины (узлы) 1! и й, 1ь 1з ориентированными ребрами (ветвями) с передачами, соответству шими первому уравнению (рис, 8.23, б).
Повторим эту опсрац ю для второго уравнения, наращивая граф, как показано на рис. 8.23, в. Снова будем наращивать граф согласно третьему ур внению (рис, 8.23, г). В общем случае наращивание графа повт ряется в соответствии с количеством уравнений. В данном п имере построение графа заканчивается на четвер- том уравнен и (рис. 8.23, д).
Полученный сигнальный граф имеет исток с, сток (), два прямых пути (у, аз, аы г и у, аз, г) и три обхода (а!, а4, аз). Вторым способом граф строят непосредственно по схеме цепи с использованием сооту ношении, связывающих попарно разные переменные величисг ны, как в равенствах (8.74). Такими соотношениями могут являться закон Ома, формула Е г 1з У для делителя напряжения или тока, связь напряжений через сг! коэффициент трансформации и т.
д. Оопарную связь между некоторыми двумя величинами находят, исключая все остальные переменные, т. е. принимают их равными нулю. Тем самым используется разновидность принципа суперпозиции. Рассмотрим для примера прежнюю цепь (см. рис.8.22), в которой имеется восемь пар. ных связей. Связь а- 1! определяется законом Ома прн 1з = 1з = (): 1, = В/(го!+ 2!+ 2 ), илн Г= Е 1, 1г 1з а) Е У 1! 1з 1з б) У 1! сГЗ б) е У 1! сгз 14 гхе 1,4 Рис. 8.23.
Построение сигнального грз ' фа по уравнениям цепи =уб, где ' у= 1г 14 =(/(1., + 1, + + 1з) (рис. 8.24, а). СХ 1 Связь !з — «-1«определяют последова- Е (1 Р !г. ге 1з тельно по рнс.8.24, б. Сначала находят па- в) д! ление напряжения Уг 1г 1г У« на сопротивлении 1« прн прохождении 1, 1, т тока 1з. .О« = 1~1з. 1е 1, Й Угй Это напряжение принимают равным про- Е! Ег; е) Езг! тивоположно наЕг "е правленной з. д. с.
(см. рис. 2.!О, а), уз 1т мой в контуре током !з. с« = Оь Нако- Ег В! ' Еь и) нец, с учетом направления э.д.с. оп- Е, 1, 14 1г 1 ' 7' ~ ределяют по закону 1 д Ома ток 1«= (' у 1т ' ' ~ ™ 1згд = Е~/(1 + 1 + + лз) = а«1з, где а« = 1«/(1о«+ Рис. В.24. Построение сигнзльиого графа по + 1«+ Ге). схеме цепи Аналогично определяют остальные связи.
Связь 1з 1~ (рис. 8.24, в): Оз=1з1ь Рз=Оз, 1~=Р~/Яю+ + Л«+ 1з) = аг!з, где аз = 1з/Яь~+ М«+ 1з)с Связь 1«12 (рис. 8.24, г); Ох=1~1«, Ез= Оз, !2=аз/Я«+ +1з+14) =аз!ь где аз=1«/(с«+1з+с4). Связь 1з 1, (рис. 8.24,д): О,=Хз!з, Й,=О,, 1з— - Е~/(Х~+ + Лз+ 14) =. а41з, гДЕ а« = Уз/Я«+ Яз+ 1«) Связь !~ !а (рис. 8.24,е): У,=Ее!а Еь=Оь, 1з=Кь/Яьз+ +1з+1з)=ар(„где аз=Уз/(Еоз+1 г+1з). Связь !з — «.1з (рис. 8.24, зк): Уь= 1з1з, Ее= Уз, 1з=бь/Яоз+ +ге+Уз)=аь1з, где аь= Ез/(1оз+12+1з), Связь 1, 0 (рис. 8.24, з): О = Кю1, = г1„где г = 1 т.
Объединив подграфы, построенные по парным связям (рис. 8.24, а — з), получим прежний сигнальный граф цепи (рис. 8.24, д) с теми же передачами ребер. Из рассмотренного примера видно, что при построении графа для контурных токов их соотношение в смежнелх контурах определяется отношением сопротивления связи к собственному сопротивлению контура: ам = 1е/1« = 1«н/Еы. г.
Е у1, 1 «хз 1г (8.76) 367 зз» Рис. 8.26. Объединение кирилл лын;т ие)ней Рис. 8.27. Объединение петель Зьь Аналогично определяют связи между узлами при построении сигнального графа для узловых напряжений: ри= ()„7(),= У,„У„,, (8.77) где Ум — взаимная проводимость й-го и Е-го узлов цепи; Уы— собственная проводимость й-го узла цепи. Определение передач ветвей сигнального графа по формулам (8.76), (8.77) существенно упроецает его построение.
3. Преобразование графов. Сигнальные графы могут подвер- гаться тем же преобразованиям, что и топологические графы. Однако некоторые преобразования являются специфическими для сигнальных графов. При любых их преобразованиях сле- дует определять передачи вновь образовавшихся ветвей.
Это делается для определения передачи графа, что является конеч- ной целью расчета (анализа) цепи с помощью сигнальных графов. Рассмотрим основные виды преобразований. С ж а т и е г р а ф а. При сжатии сигнального графа уда- ляют устранимые вершины, например вершину ез иа рис. 8.25, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
