Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(5.131) Упростим это соотношение прн тг << 1, воспользовавшись приближенными равенствами соз х!ы~~~, 1, з!и х!ы~~~ ж х: и(!) = сг соз сооà — т;су з!п гоо!з!п (ой или и(!) = (7 соз гоог — — '(7 соз(гоо — й)! + — г"соз(гоо + Р)!. (5.132) 2 2 Ур-Е Ео Уо+Е а) Рнс. 5.37. Анплнтудный н фазовый спектры Чй!.снгнала прн тг»! 259 Таким образом, спектр ЧМ-сигнала, как и спектр АМ-сигнала„ содержит три гармонические составляющие. Прн этом спектр амплитуд симметричен (рис.
5.37, а), а спектр фаз несимметричен (рнс. 5.37, б), поскольку отрицательный знак во втором слагаемом (5'.132) означает изменение фазы колебаний на гу угол Ч-п. Такое изменение фазы обусловливает на векторной диаграмме ЧМ.сигнала поворот вектора нижней боковой составляющей на угол и (рис: 5.38, а). На этой диаграмме суммарный вектор качается Уп Е го ЕосЕ около среднего положения, что р и означает изменение частоты ЧМ-сигнала. х — — — — 3 Конец качающегося вектора движется по горизонтальной пунктирной прямой, т. е. его значение изменяется, что озна- чает наличие паразитной амплитудной модуляции.
Такой результат является следствием приближенности равенства (5.132) при / т! « 1. Точный анализ соотношения (5.131) при/ водит к появлению дополнительных боковых спект/ ральных составляющих, прн которых конец качающегося суммарного вектора ЧМ-сигнала движется по окружности, не изменяясь по значению (рис. 5.38, 6). Точный анализ основан на преобразовании чм-снгнааа равенства (5.131) с помощью рядов: /а(т1) + 2 ~ /ы(т1)соз 2/гИ, а) Рнс.
5.38, Векторные диаграммы соз(т1з!п Ы) = (5. 133) 2 ."' /та+1(т1)з(п(2й + 1)Я/, з(п(т1з1п Й/) = иЯ = (/ ~; Уа(т1)соз(оэа + /111)б (5.135) а = — оа ! Таким образом, спектр ЧМ-сигнала состоит из несущей составляющей (/ /а(т1)созн1о/ и бесконечного ряда парных боковых составляющих (/ /лесов(ота ~ й11)б Амплитуды боковых составляющих по мере удаления от несущей (с ростом й) немонотонно убывают до нуля, как это видно из графиков функций Бесселя (рнс.'5.39, б) Лля примера на рис. 5.40 показан спектр ЧМ-сигнала при т/ = 2, Здесь поворот фазы нижних боковых составляющих при нечетном порядке /г учтен в знаке амплитуды согласно равенству (5.134): Ширина спектра ЧМ-сигнала при т! « 1 (см. рис.
5.37) определяется, как и в случае АМ-сигнала, формулой (1.23). 240 "где Уа(т1) — функция Бесселя й-го порядка (рнс. 5.39, а), имеющие при отрицательном порядке значения l а(т1) = ( — 1)а/а(т1). (5.134) Подставив ряды (5.133) в соотношение (5.131) и заменив произведения косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргументов, с учетом равенства (5.134) получим о,в ов о,г -о,г В 4 В тт ) олои! й4 -ог -о,4 г в 4 в в г в о то и и! Рис. 5.39.
Графики фуикци6 Бесселя . Если индекс модуляции не является пренебрежимо малым, то бесконечный спектр ЧМ-сигнала надо ограничивать полосой Лг"„руководствуясь тем или иным критерием. В $5.!.5 указывалось, что наиболее объективным-критерием является' величина допустимых искажений. При ограничении спектра ЧМ-сигнала его суммарный вектор на векторной диаграмме изменяется по величине, изменяется также закон качания этого вектора. Это означает, что искажения ЧМ-сигнала при ограничении его спектра проявляются не только в появлении паразитарной амплитудной модуляции, но и в изменении закона частотной модуляции, Поскольку здесь рассматривается гармоническая модуляция, ее изменение означает, что модуляция становится негармонической. Такое изменение закона модуляции следует классифицировать как нелинейные искажения по аналогии с нелинейными искажеи ниями гармонических колебаний (см.
$14.!). Таким образом, ограничение спектра ЧМ-сигнала приводит к нелинейньсм иска-. жениям закона модуляции. Численный анализ на ЭВМ показал, 26! ФМ-сигналы описываются общими уравнениями (5.68) и (5.67) при У„(1) = У = сопз1. При гармоническом модулирующем сигнале (1.17) это описание с учетом (5.137) принимает внд и(1) = У соз(шо1+ гп соз(ь)1+ ~.)+ фо), (5.138) ш(1) = — = Оэо — Лго з(п (ьзг — зри)ч оФ(г) Ж (5.139) где дуляции.
Как видно из определений (5,130), при уменьшении, например, частоты модуляции Р и У „ = сопз1 девиация частоты Аго ЧМ-сигнала не изменяется, а индекс частотной модуляции пз, возрастает. Согласно же формулам (5.140) в случае фазовой модуляции индекс модуляции птт = сонэ!, а девиация частоты Лш уменьшается.' Этими отличиями обусловлена и разница в спектрах ФМ- и ЧМ- сигналов. С точностью до начальной фазы спектр ФМ-сигнала описывается прежним уравнением (5.135). Поэтому при определенных условиях спектры ФМ- и ЧМ- сигналов могут быть одинаковыми, как показано на рис. 5.42, а, в. При уменьшении же геен Рис, ЗЛЬ Изменение частоты и печальной фазы ЦМ- и ФМ-сигннлон при трзпепеилальном молулируюшем сигнзле 263 гпт = а(У „, Лш = петь).
(5.140) Сходство уравнений (5.!38), (5.!39) и (5.129), (5.128) означает, что фазовая модуляция сопровождается частотной модуляцией и наоборот. Поэтому оба эти вида модуляции объединяют под названием угловой модуляции. Однако из сравнения указанных уравнений следует, что при внешнем сходстве ФМ- и ЧМ- сигналы отличаются законами изменения частоты и фазы, Наиболее наглядно это проявляется при сложных модулирующих сигналах. Для примера на рис. 5.41; а показана форма трапецеидального модулирующего сигнала, которому соответствуют резко различные законы изменения ип частоты (рис.
5.41, б, д) и началь- й ной фазы (рис. 5.41, в, г) ЧМ- и 1 ФМ-сигналов. ~1 а)1 ЧМ- и ФМ-сигналы при одина- огчн 1 ковом модулирующем сигнале от- ого лнчаются также параметрами мо- 4РМ г' гг гц 4«2 Р.=агаси чи лги р й/ га га а! а г) ' (/м(1) = 2(/,„а сои (21 52.= Оа/2, й ' (5.142) гао = (ы~ + ыт)/2 .Рис. 5.43. Осциллограмма гласной фонемы «А» 264 Рис. 5.42. Изменение спектров ЧМ- и ФМ-сигналов при изменении частоты модуляции частоты модуляции этн спектры изменяются различным образом, как показано на рис. 8.42, б, г. Здесь ширина спектра ФМ-сигнала определяется прежними соотношениями (5.136) при замене величины тг на индекс фазовой модуляции т, 4.
АЧМ-сигналы, биения. Преднамеренную одновременную модуляцию по амплитуде и по частоте (амплитудно-частотную модуляцию), при которой получается АЧМ-сигнал, применяют редко. Однако такие сигналы часто возникают в результате естественных физических процессов. Например, вокализованный речевой сигнал возникает за счет сложных колебаний голосовых связок с переменными амплитудой и частотой. Поэтому он является АЧМгсигналом. Об этом наглядно свидетельствует осциллограмма гласной фонемы «А» (рис.
5.43), на которой отчетливо видно изменение амплитуды и частоты речевых колебаний. В'технических приложениях приходится анализировать АЧМ- сигналы, возникающие обычно при суперпозиция колебаний с разными, но близкими частотами. При этом можно пользоваться общим описанием таких сигналов (5.68), (5.67), где (/ (Г) и ы(Г) реально изменяются во времени. Г1окажем возникновение АЧМ-сигналов на простейшем примере суперпозиции гармонических колебаний.
Если складываются гармонические колебания с близкими частотами и одинаковыми амплитудами, то получается АМ-сигнал, называемый биениями; и(г) = К«о соз ы1г + +(/,со5,1 = им(Г)сов М, (5.141) где Амплитуда сигнала (5.!4! ) изменяется (пульсирует, «бьется») с частотой биений кае, которой соответствует период биений То = 2п/ка„ как показано на рис. 5.44, а. Частота гоо сигнала (5.!41) постоянна, как это видно из последнего равенства (5.142).
Прн постоянной частоте соо биения имеют векторную диаграмму, показанную на рнс. 5.44, б, где вращающийся вектор (/ (!) остановлен за счет вращения координатной плоскости с угловой скоростью Ото. д.7й» ЕС" ;~~а оюо а) Рнс. 5.44. Биения н нх не«торная анаграмма При суперпозиции гармонических колебаний с разнелми частотами и неодинаковыми амплитудами частота результирующих колебаний не остается постоянной, г. е.
получается АЧМ-сигнал. Это видно из соотношений и(1) = с/ со5 Оэй + (/ со5 Оз г =- = (/ т соэ го~ ! + (/ т соэ сот! + Л(/ соэ ОзА где Л(/ = (/ ~ — (/ т. Если принять обозначение (/ т = 0 о, то эти колебания могут быть выражены через сигнал (5.14!) с параметрами (5.!42): Я., лу и(!) = (/ (!)сов соо/+ Л(/ соз(ото + Йа/2)/ Т ф 1 ! (5.143) ! у ге) / l Учитывая векторную диаграмму рнс.
5.44, б, векторную диаграмму сигнала (5.143) можно представить в виде двух векторов, как показано на рис. 5.45. Прн вращении координатной плоскости с Угловой скоРостью Ото вектоР (/ (!) остается неподвижным, а вектор Л(/ вращается с угловой скоростью Яе/2 Прн этом конец суммарного вектора (/ х перемещается по окружности, показанной пунктирной линией. Таким образом, значение этого вектора изменяется, т. е.
(/ х = Ряс. 5.45. Векторная анаграмма бнеинй с изменяю. щейся частотой 255 = У„ф), а сам он качается, подобно вектору на рис. 5.38, б. Такое качание означает изменение частоты сигнала (5.143). Следовательно, рассмотренные биения модулированы как, по амплитуде, так и по частоте, т. е. являются АЧМ-сигналом. Его временнйя диаграмма подобна графику сигнала иа рис.!.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
