Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 60
Текст из файла (страница 60)
+акр+а»=0. 11» Ф 1-Ф (6. 33) Это равенство называется характеристическим уравнением цепи, а функция Р,(р) — характеристическим полиномом. При решении алгебраического уравнения (6.33) определяют. корпи характеристического уравнения р» (я = 1; 2, ..., и). Здесь и— степень характеристического полииома, определяемая порядком диффереициальиых уравнений (6.28) и (6.29). Эта степень иазы- вается порядком цепи. По найденным корням р» находят искомое решение: и и,(г) = ~, А»е"', 1,(1) = У В»е'*', (6,34) где Ам В» — постоянные интегрирования.
Константы В» могут быть выражены через константы А» при подстановке величин (6.34) в уравнения (6.29). . На четвертом этапе определяют постоянные интегрирования. Для этого подставляют в равенства (6.30) найденные значения и„й и (6.34), а также начальные условия (6.31) и решают получеииую систему уравнений. Существеиио отметить, что корни р» характеристического уравнения (6.33) могут быть либо вещественными (р» = а»), либо комплексно сопРЯженными (Р»» э г = о» ~1ы»). Очевидно, длЯ убывания во времени свободных составляющих (6.34) значения о» должны быть отрицательными: а»= — а» 0 (а»)0). Поли- номы с вещественными коэффициентами, имеющие такие корни, называются полииомами Гурвица. Таким образом, характеристический полинам является полиномом Гурвица.
Рассмотрим для примера цепь, изображенную иа рис. 6.1, а, с входным воздействием е(г) = 1(1)с "'. Для иее ток 1(1) определя- 280 ется одним уравнением состояния Е+~~~ + !7!(!) = е (6.35) Отсюда получаем соответствуюшее однородное уравнение й++ )7!(!) = О. (6.36) Частным решением уравнения (6.35) является ток той же формы, что и э.
д. сл й(1) = 1 .„е 8!. Подставив это значение тока в уравнение (6.35), получим — 67/,„е м+ й1,„е м=е "', — 6Ы„,„+И ., = 1, откуда Для решения уравнения (6.36) составляем характеристическое уравнение: р/.!+)~1=0, р~.+~=0. Отсюда Я е р! = — — = — а, г,(1) = Ает" =Ае, 1(1)= ~ +Ае я — ~и. Задавшись начальным условием 1(0) = О, из последнего равенства находим А = — !/(1с — 6Е). Таким образом, получаем полное решение — к ! е — е которые являются функциями времени и численно совпадают с соответствующими напряжениями (токами). Таким образом, перекидные характеристики численно являются откликом цели на входное воздействие в виде единичного скачка. Поэтому величины (6.37) 'будем тоже называть откликами цепи. В зависимости от вида источника сигнала отклик и(!) может быть безразмерной величиной либо иметь размерность сопротивления (проводимости). В первом случае переходная характеристика Ь(1) называет- 28! которое совпадает с формулой (6.10).
Чтобы получить второе решение вида (6.11), в данном соотношении надо раскрыть неопределенность при 6- !с/(.. 3. Переходные характеристики цепи. При воздействии в цепи сигнала е(1) = !(!) или !(Х) = 1(!) напряжение нли ток на входе цепи при ! ) 0 не изменяется. Однако во всех остальных участках цепи изменяются как напряжения и(!), так и токи !(!). При этом с течением времени цепь переходит из одного состояния в другое. Указанный переход можно охрарактеризовать нереходными характеристиками: Л(!) = и(!)/!(!), я(!) = !(1)/!(!), (6.37) ся также переходным коэффициентом передачи КЯ по напряжению или по току, в двух последних случаях — переходным сопротивлением 2(1) или переходной проводимостью цепи У(1).
Переходньсе характеристики цепи (б.37) связаны с ее соответствуютцими передаточными функциями (б.2), (б.У). Эта связь устанавливается с помощью соотношения (6.22). Поскольку напряжение (6.22) является откликом цепи на единичный скачок, по определению (6.37) ИЯ = — Т(0) + — ~ — и едп [го1 + 8(оз)]доз. (6.38) При известных спектральных характеристиках переходные характеристики могут быть вычислены по уравнению (6,38), Однако проще определять переходные характеристики непосредственно по отклику цепи на входное воздействие в виде единичного скачка.
Например, учитывая, что при р= 0 сигнал (6.26) равен сигналу (5.28), по отклику (6.10) при р'= 0 находим переходную проводимость )?Е-цепи (см. рис. 6.1, а): И(1) = У(1) = — (1 — е "'). Эта переходная характеристика показана на рис. 6.10. Е УИ1 Еlй Рис. б.10. График переколиой проводимости ЯЕ- цепи Рис. 0.11. Произвольный скачкообразный сигнал и отклик на него ЯЕ -цепи 4. Метод переходных характеристик.
Пусть на входе цепи действует произвольный скачок е(1)=Е !(1 — т), показанный на рис. 6.11. Тогда из соотношений (6.71), (б.?3) и (6.22) можно определить отклик цепи иа это воздействие: и(1) = — Т(0) + — ~ ( ) ейп [го(1 — т) + 8(го)]дго. Отсюда с учетом уравнения (6.38) получаем и(1) = ЕИ(1 — т), (6.40) где И(1 — т) — смещенная на т переходная характеристика. В соответствии с формулами (6.40) и (6.39) на рис. 6,11 показан отклик по току И,-цепи на воздействие е(1) = Е 1(1 — т). 2й2 Переходные характеристики позволяют определять отклик цепи не только на скачкообразное, но и на произвольное непрерывное воздействие е„(1), которое равно нулю при 1(О, Будучи непрерывным на интервале Рнс. алз Рааанака непрерывного сигнала (О,1), Е„(1) НЕ ИМЕЕТ раэ- на стннУ скачков рыва (скачка) также при 1=О, т.
е. е„(0) =О. Для определения отклика представим непрерывный сигнал в виде суммы ступенчатых функций, как показано на рис. 6.!2: е„(1) = Ле! ° 1(1 — Лт)+ Лет 1(1 — 2Лт)+ ... + Ле„1(1 — 'пЛт) = в = Х Леа.1(! — яйт). а Согласно принципу суперпозицин отклик цепи на это воздействие равен сумме откликов вида (6.40): л в и(1) = 2', Леай(1 — йЛт) = ~', — "й(! — ЙЛт)Лт. а ! ! Лт В силу непрерывности сигнала е„(1) его можно дифференцировать и !пп — = — =е„'(т). Сделав в последней сумме пре- Ьек Век(т) о о ат от дельный переход к интегралу при Лт=дт, йЛт =т и пЛт = 1, получим интеграл Дюамеля: и(Е) = (е„'(т) й(1 — т) с$т.
(6.41) о Метод переходных характеристик заключается в совместном использовании соотношений ('б.40) и (б.41) для нахоокдения отклика цепи на произвольное входное воздействие е(1). Если этот входной сигнал имеет конечные разрывы (рис. 6.!3, а), то его представляют в виде суммы ступенчатых сигналов е,(1) (рис. 6.13, б) и непрерывного сигнала е„(1) (рис. 6.13, в). При этом отклик цепи на заданное входное воздействие определяется по формулам (6.40) и (6.41) в соответствии с принципом супер- позиции: и(1) = ЛЕоЫЯ вЂ” ЛЕ!Л(! — 1!) + (!е„'(т)й(! — т)йт.
о Обобщив эту формулу на случай п разрывов величиной ЛЕа в моменты времени 1а (й = 1, 2, ..., я), получим окончательно к и(1) = ~, ЛЕей(1 — 1в) + $ е„'(т)Ь(1 — т)йт. (6.42) о айвз В качестве примера рассмотрим определение тока в прежней )с(-цепи (см. рис. 6.1, а) с входным воздействием е(!) = 1(!)е р'. При этом в формулу (6.42) подставляем ток )()) вместо напряжения и(!), а в качестве переходной характеристики 5()) используем переходную проводимость (6,39). Разобьем сигнал е(!) (рис.
6.14, а) на две составляющие, как показано на рнс. 6.14, б. Тогда е„(т) = = е в' — 1 и в формуле (6.42) и = 1, !ь = 1 = О, АЕ»,= = ХЕ! = 1, е„'(т) = — ре "'. Отсюда определяется реакция цепи: 1(!) = — (! — с ") — — ~е з"(1 — е " ')бт. )з о Рнс, 6,)З. Разбивка разрывного сигнала на сумму стуненчатого и непрерывного сигналов Рис. 6.!4. Разбивка чкспоненциального сигнала на два составляющих сигнала а) -))Ег Еи ~Ег- в Ег-г) Ео )) йг -1 Ю) б) Произведя интегрирование и приведя подобные члены, получим прежний отклик цепи (6.10).
Здесь, как и в классическом методе (см. $ 6.2.2), для получения второго решения вида (6.11) требуется раскрыть неопределенность в полученном соотношении при 5- )с/ь. 5. Импульсные характеристики цепи. Рассмотрим импульс единичной площади (единичный импульс), показанный на рис. 6.15, ав.
Его можно образовать путем суперпозиции двух скачков 5()), изображенных на рис. 6.15, б.Приняв для единично" От единичного импульса следует отличать Л.импульс единичной высоты л(г) =!(!) — )(! — л!). 6,й) )/Л 6(!) = и л~ о *1 !'пп ( 6~(!)Ф = !. м-.о й) 8зй) о Бо зь й) Рис. б.!5. Образование дель- та-импульса Величина, определяемая таким образом, называется также дельта-функцией (6-функцией) или функцией Дирака. Эта функция при замене переменной ! на ! — т определяет значение смещенного на т дельта-импульса: 6(! — т) = — ~- — — — ', $ 6(й — т)д! = !. (6.44) Умножение смещенного 6-импульса на некоторую функцию )(!) равносильно его умножению на постоянную величину )(т), поскольку 6(! — т) = О при г Ф т. Поэтому из соотношений (6.44) следует: )(!)6(! — т) = ((т) — ~ — —, ~)(!)6(! — т)д! = )(т).
(6,44') Спектр дельта-импульса (6.43), не существующего при г ~ О, может быть найден по теореме диффе)зенцирования (5.76) или из общего выражения (5.)8) при е ' !~=о = !. Учитывая при этом интегральное равенство (6.43), получаем Ао(бз) = (/я. 285 го импульса обозначение 6,(!), можно описать его следующим образом: 6 (!) )0) — )Π— ал) ~ 6 (!)дг ао Эти два равенства сохраняются при любых значениях Ж, как показано на рис. 6.!5, в. В частности, при Л)- 0 получаем так называемый дельта- импульс 6(г), или б-импульс, равный бесконечности при ! = 0 и нулю при )ФО; Первое равенство, по определению, является производной единичного скачка, а второе определяет площадь дельта-импульса.
'Таким образом, дельта- импульс является импульсом нулевой длительности с единичной площадью и равен производной единичного скачка: 6(!) = ('), ~ 6(!)д! = !. (6.43) й йс а) Яй) ГЮ)/Л )Й -йо) Отсюда по теореме запаздывания (5.72) определяется спектр смешенного дельта-импульса (6.44): ок,(м) = е ' */я. Последовательность дельта-импульсов со случайными временными сдвигами и соответственно со случайным фазовым спектром образует шумоподобный сигнал, обладаюший, 'свойствами так называемого белого шума. Как видно из полученных спектров, характерной особенностью такого шума являЕтся его постоянная спектральная плотность во всем бесконечном частотном диапазоне. Значение этой спектральной плотности можно изменять в соответствии с равенством (6А4'). Дельта-импульсы ('6.43) и (б.44) могут быть использованы в качестве входного воздействия в цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
