Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Из формулы включения (6.71) при Ф - можно определить изображение периодического установившегося процесса: и,.„(р) = — —,. и0~~) е — и Полученные соотношения оп'ределяют характер переходного процесса при зарядке емкости (рис. 6.22, а). Этот процесс длится бесконечно долго. Переходный процесс считают практически завершившимся в момент времени теп, когда зарядный ток уменьшается в !О раз по сравнению с максимальным значением, а напряжение на емкости возрастает до 0,9 Е (рис. 6.22, а) . Время т, в течение которого ток уменьшается в е раз, называют постоянной времени цепи. Эту, постоянную и длительность переходного процесса тап определяют из первого равенства (6.74); и,с Е йрЕ Е/!! Е//7е О,!Е/й у тат~~ а) Е ЕГ,/ Е/ей = Ее "'/!т, 0,1Е/)с = Ее-"' /)с Еу!тl(0 или после логарифмирования т = 1/а = ЯС, теп = !и! О/а= О = 2,3/се = 2,3т = 2,3ЛС.
(6.75) Ейт!Я Из формул (6.74) видно, что при 1- пп получаются следующие установившиеся значения тока и напряжения на емкости: Еб,!Х Рис., 6.22, Переходные процессы н яд-цепи прн коммутации истпч. ника постоянной а. д. с. ! „=- О, и„„= Е. (6.76) При выключении источника, т. е, при разрядке емкости через резистор, из формул (6.69), (6.74) и (6.76) находим разрядный ток и напряжение переходного режима: !(!)'= — — е "', и(!) = Ее я (6.77) Характер этого переходного процесса показан на рис. 6.22, б.
Длительность переходного процесса (6.77) определяется прежними соотношениями (6.75). Экспоненциальный характер изменения йапряжений и токов при коммутации источника постоянной э. д. с. наблюдается и в более сложных цепях, в том числе в цепях с нарушением законов коммутации. Покажем это на примере цепи, изображенной на рис. 6.!9, в. Так как здесь емкости Сь Ст соединены параллельно, то и~(!)= их(!) = и(!) прн ! ) О. По первому и второму 299 законам Кирхгофа, 1(1) = С~ ~ 1О + Сз ай +и(!)/Кь и(!)+В!(!)= = Е. Отсюда для определения и(!) получается одно уравнение: К~(С~ + С~) — '" +(1+К~/К9)и(1) = Е. Решим его классическим методом (см. $ 6.2.1, 6.2.2).
В пер- вом равенстве (6.30) вынужденное напряжение и,(1) определяют как установившееся напряжение на параллельно включенном сопротивлении Кз: и,(1) = ЕКт/(К~ + Кз). Свободное напряжение и,(1) определяется решением однородного уравнения К1(С1+ С2) Д";,") +(1+ К /К2);(!) = О. Для него получается характеристическое уравнение (6.33) первого порядка: К~(С~ + Сз)р+ 1+ К~/Кз = О, откуда — р ~ = а = 1/К~ С + 1/КзС, где С = С~ + Сз. Таким образом, и,(1) = Ае"" = Ае " н и(1) = ЕК~/(К~ + К~) + +А Для определения константы интегрирования А используем условие (6.68) непрерывности зарядов для узла сн С~и~(0~ )+ Сзиз(Оч ) = С~ш(0 )+ Сзиз(0 ) = С~Е+ О. Поскольку, по второму закону Кирхгофа, и~(Оч-) = ит(О+) = =и(0ч.), окончательно получаем и(0+)=ЕС~/(С~+С~) и ЕН/(К~+ +%)+А =ЕС~/(С~+ Сз),.
т. е. А =Е(С~/(С~+Ст) — Кз/(К~+ +Кз)]. Таким образом, искомое напряжение изменяется по зкспоненциальному закону при любом соотношении между пара- метрами цепи (рнс. 6.22, в, г): и(!) = ЕКт/(К ~ + Кз) + Е]С ~ /(С~ + СЙ вЂ” %/(В + Кг)]е Случай, когда ВС~ = КзСь предоставляется читателю объяс- нить самостоятельно. Рассмотрим теперь переходный процесс прн включении источ- ника гармонической э. д.
с. с(!) =Е„,совы! (см. рнс. 6.21). По формулам (6.73) и № 12 табл. П.! 1 находим изображения тока и напряжения: 7(р) = Е„,рз/К(р + аКр + а~), и(р) = Еар/(р + а))(р + ыз). (6.78) Отсюда по формулам № 4 при а = 0 и № 2 табл. П.13 по- лучаем: 1(1) = — "' ~ —,, е "+ — соз(ы1+ф)~, и(!) = Ь ~ — -ч-е + — зш(со1+ф)], (6,79) р = -1(ы + а', ф = агс!йа/а, | Этот переходный процесс изображен на рис. 6.23.
Он складывается Из двух составляющих, показанных на рис. 6.23 пунктирными линиями. ПЕрвая составляющая (свободная) имеет форму убывающей экспоненты Ъ возникает за счет первоначальногб толчка при включении э. д. с. Вторая составляющая (вынужденная) имеет форму гармонических колебаний, сдвинутых соответственно по фазе относительно э. д. с. При этих фазовых сдвигах экспоненциальйая составляющая имеет такое значение, что для напряжения на емкости соблюдается нулевое начальное условие (6.59).
Действительно, из второго, четвертого и третьего равенств (6.79) находим и(0) = Е( — — ", + — з!и хр), р' з!п хр = .~ег ' + и Рнс. 6.23. Переходный процесс в кС-цепн прн включении нсточника гармонической а.д. с. чем и подтверждается второе равенство (6.59) . Нетрудно видеть, что длительность переходного ' процесса (6.79) определяется прежней формулой (6.75). Таким образом, длительность переходного процесса в коммутируемой цепи не зависит от вида э. д. с.
коммутируемого источника. 4. Переходные процессы в )гь-цепи. Включение источника постоянной э. д. с. Е в )с/-цепи рис. 6.1, а означает, что е(!) = = Е. 7(!) и соблюдается первое равенство (6.59). При этом е(р) = Е/р и в соответствии с формулой (6.62) г(р) = Е/Ер(р + а), где а=!г/Š— коэффициент затухания Кь-цепи, который уже использовался в предыдущих параграфах.
Отсюда по формуле № 6 табл. П.11 определяем ток включения в контуре (зарядный ток индуктивного накопителя энергии): !(!) = Е(1 — е "')/)7, ~„„(!) =! = Е/й. (6,80) Здесь установившийся ток равен предельному значению зарядного тока при г- оо. Ток (6.80) совпадает по форме с напряжением (6.74) на заряжающейся емкости (см. рис. 6.22, а). Ич соотношений (6.80) по формуле (6.69) можно определить разрядный ток индуктивного накопителя, который изменяется подобно напряжению (6.77) (см. рис. 6.22, б): !(1) =/е' ".
(6.81) зо1 нли !(р) = Е/Цр + 2ар + ыю), Ь и(р) = сооЕ/р(р + 2ар + ото), где а = т/2) = соод/2 коэффициент затухания контура, пропорциональный его затуханию (3.!!5); ото = 1/,Г1 С вЂ” резонансная частота контура. Отсюда по табл. П.13 определяются искомые ток и напряжение: !(!) = — е 5$пюсб вне ЕМисЕ и ЯЕ и(Г) = Е11 — — соз(от<! — трс) сова (6.83) Здесь оь =--чти~ — а = соо-у'1 — д /4, те г т — т— (6.84) т)ь = — агс!да/м, о е) е) рис. 6.2Е Переходные процессы в последовательном ь С-контуре при включении источника постоянной и.
д. с — соответственно частота собстиенных (свободных) 302 Аналогично соотношениям (6.75) из формулы (6.81) определяется постоянная времени )сЕ-цепи и длительность переходного процесса: т = 1/а = Е/л(, то,1 = 2,3/а = 2,3т = 2,3Е/)т. (6.82) Длительность переходного процесса (6.80) также определяется формулой (6.82). При включении источника гармонической з.
д, с. е(г) = = Е созсо! известным образом находим изображение тока; )(р) = Е р/Е(р + а)(р'+ ы') Это соотношение с точностью до постоянного множителя совпадает со вторым равенством (6.78).. Следовательно, и при коммутации источника гармонической э. д. с.
ток в л!7-цепи изменяется подобно напряжению на емкости в )сС-цепи (см. рис. 6.23, 6). 5. Коммутации источника постоянной э, д, с. в одиночном контуое. Рассмотрим переходные процессы в последовательном ЕС-контуре при включении источника постоянной э. д. с. Е (рис.
6.24, а). При нулевых начальных условиях (6.59) по закону Ома в операторной форме находим изображение тока в контуре и напряжения на емкости: г(р) = Е/р(рЕ+ т+ 1/рС), и(р) =!(р)/рС, | колебаний, назгявоемая собственной частотой контура, и фазовый сдвиг колебаний напряжения, обеспечивающий соблюдение нуле'вого начального условия для емкости. Собственные колебания контура (6.83) показаны на рис. 6.24, б, в. Они получаются затухающими за счет потерь в конт))ре. При отсутствии потерь (» = О, сс = О) колебания (6.83) получаются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду: с(Г) = — гйп шай иЯ = Е(1 — сов соо)) Е (6.85) о е~.
Эти колебания показаны соответственно на рис. 6.24, г, д. Из рисунка наглядно видно, что колебания в ЕС-контуре возникают за счет перекачки энергии из индуктивиости и емкость и обратно. В момент времени П = То/4 емкость заряжается до напряжения Е*. При этом зарядный ток начинает постепенно уменьшаться, поскольку он не может скачком снизиться до нуля. Прохождение тока в прежнем направлении приводит к подзарядке емкости до значений и = Е.
В момент времени когда зарядный ток обращается в нуль, напряжение на емкости начинает постепенно уменьшаться. Следовательно, при этом и=и,„. Из соотношений (6.85), (6.83) видно, что и .„=2Е при а =0 и и,„т2Е при а <«о,. Далее колебательный процесс продолжается аналогичным образом. Затухание собственных колебания является неизбежным из-за потерь в контуре. Скорость убывания амплитуды затухающих колебаний определяется коэффициентом их затухания а. Согласно определению (4.2) величина а1 измеряется в неперах. Поэтому коэффициент затухания колебаний а измеряется в Нп/с и имеет размерность (Т '). Через этот коэффициент определяется также постоянная времени т и длительность переходного процесса то,ь По аналогии с формулами (6.75) и (6.82) находим эти параметры: т = 1/а = 25/г, то, ~ = 2,3/а = 4,65/г = 4,6),)/соо, (6.86) где )',) = 1/й — добротность контура.
От потерь в контуре зависит не только длительность колебательного переходного процесса (6.86), но и собственнал частота контура ('6.84). С ростом потерь эта частота уменьшается н при й = 2 обращается в нуль. Это означает, что переходный процесс перестает быть колебательным. При отсутствии колебаний процесс называется апериодическим. Поэтому при й ( 2 контур называется колебательнгям, а при й) 2 — апериодическим.
По аналогии цепи с одним реактивным элементом, в которых невозможны собственные колебания, также называют апериодическими цепями. * при наличии потерь, как видно иа соотношений (6.83), 5 = — атс)ем,/и Ю н при еиЪ а получается П иа Г,/4, где Т, = зи/м,, зоз В апериодическом режиме ток в ЕС-контуре определяется соотношениями 1(1) (а =2 1 1е, 1(1)!,1) 2 = — е 5)1(!1, !И. где (! = уа — тов ! 2 2 Первое равенство (6.87) может быть получено из первой формулы (6.83) при а, = О, если раскрыть возникаюшую при этом неопределенность.
Этот же результат вытекает из формулы № 8 табл. П, П яри а = соо. Второе равенство (6.87) получается из первой формулы (6.83) при еь = )8. Характер изменения тока при апериодической зарядке емкости через индуктивность показан на рис. 6.24х е. (6.87) Е + С Ет~.фЕ ~ 1. ЕС; )Е С С т а) Рнс. б.25. Последовательный 1С.контур при выключении источника постоянной э. д. с. и его эквивалентные схемы Рассмотрим теперь выключение источника постоянной э. д. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
