Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Они означают, в частности, что в момент включения источника должны соблюдаться нулевые начальные условия (6.59), если до коммутации в цепи не была запасена энергия: й(0) =11,(04.) =12(0 )= О, ис(0) = ис(0+) = ис(0 — ) = О. 11н1-и- 111 а! Я1 о1 а ~5 Яз нг В силу этих равенств и было принято нулевое начальное условие для тока в ЙЕ-цепи (см. $ 6.2.2, 6.3.1, 6.3.3). Если происходит коммутация пассивных элементов цепи, то законы коммутации 1'б.бб) формально могут нарушаться. Например, в схеме рис.
6.19, а при замкнутом ключе 6(0 )= = Е/тс1 и 19(0 ) = О. После размыкания ключа должно соблюдаться равенство токов, проходящих через последовательно соединенные индуктивности: Ц04.) =11(Ож). При этом нару- г) РИС. 6.19, СХЕМЫ цЕПЕВ С НаруШЕх наем законов коммутации 294 М ~', ?.»с»(0+) = ~„?-»с»(0 ), ~ с»(Ое) = с(0+), ! » (6.67) (6.68) П ~", С»и»(Оз.)= ~ С»и»(0 ), ~ сс»(Оз.)=е(0+). »=с Если в некотором узле соединены только ветви, содержащие индуктивности, то для них применяют начальные условия (6.67).
В этом узле могут сходиться также ветви с источниками тока, а сам узел может вырождаться в точку соединения двух индуктивностей, как на рис. 6.19, а, т. е. может являться устранимой вершиной на графе цепи. Уравнения по первому равенству (6.6?) составляют для всех независимых контуров, содержащих ветви с иидуктивностями йь Здесь сп — количество индуктивностей ?.» в таких контурах, а количество самих уравнений равно числу 295 шается первое условие (6.66). Такое нарушение является следствием приближенности схемы цепи, в которой не учтена, например, паразитная емкость между проводами, показанная условно на рис. 6.19, а пунктирными линиями.
Учет же тока ч(0+) приводит к равенству сс(0+) = с»(0+)+ с,(0+), которое не противоречит первому закону коммутации (6.66). Аналогично в схеме рис. 6»!9, в ис(0 ) =Е и и.(0 ) = О. После замыкания ключа должны быть равны напряжения на параллельно соединенных емкостях: ис(0») = из(Оз.). Происходящее при этом нарушение второго закона коммутации (6.66) является следствием пренебрежения индуктивностью и сопротивлением потерь соединительного провода, которые показаны на рис.'6.!9, в пунктирными линиями. Учет этих паразитных параметров при коммутации приводит к начальному условию и,(0+) = ис(0+)+ + и»(0+)+ и (О+), которое не противоречит второму закону коммутации (6.66). Пренебрежение паразитными параметрами цепей,, при котором формально нарушаются законы коммутации, приводит к появлению скачков тока в индуктивностях и напряжений на емкостяк. При этом могут возникать и другие физически нереальные эффекты.
Например, в цепи может бесследно исчезать запасенная энергия или появляться постоянный ток при отсутствии источника постоянной з. д. с. Последний эффект эквивалентен возникновению энергии из ничего. Тем не менее учет паразитных параметров цепей является во многих случаях нежелательным. При этом, пренебрегая'энергетическими парадоксами, допускают условно возможность скачкообразного изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.
Тогда для нахождения начальных значений токов и напряжений при коммутации цепей законы коммутации (б.бб) заменяют законами непрерьсвности потокосцеплений и зарядов и дополняют их законами Кирхгофа: указанных независимых контуров. Например, для цепи рис. 6.19, а использование условий (6.67) дает два уравнения для определеиия начальных значений токов: Е~О(Оч-)+ ЕА(0+) = ~-Й(Π— )+ + Е92(0 ) = ЬЕ/й~ + О, — 0(Оь)+12(Оч ) = О, откуда 6(0 „) = = Й(0+) = ЬЕ/В(Ь + 1.~). Для более сложной цепи, показанной иа рис.
6.!9, б, первый закои коммутации (6.66) нарушается для иидуктивиостей Ьь Еы 7 и ио соблюдается для иидуктивиости Ь, поскольку к узлу б подходит ветвь )!ы ие содержащая иидуктивиости. При этом по первому равенству (6.67) составляют два уравиеиия: ! Й(0+)+ Ь24(Оч ) = Е~ЦО )+ Ы4(0 ) = ЬЕ/К~ + О, Е2ьз(0+) — Ез1ь(Оь)= ЕУ~(0 ) — ИЬ(0 ) =О. Здесь для определения трех начальных значений токов 0(Оч ), й(0+), !ь(0+) недостает одного уравнения, которое составляют по первому закону Кирхгофа (6 67) для узла а: — ЦО, )+12(0+)+-1~(Оь)= О. Из указанного следует, что соблюдение условия непрерывности потокосцеплений (б.б7) в контурах цепи предотвращает появление в них бесконечно больших контурных токов.
Начальные условия (6.68) используют для емкостей, образующих емкостиые контуры, как иа рис. 6.19, в (коитур из емкостей Сь С2). Эти контуры могут содержать также источники э. д, с., как контур Сь Сы Е иа рис. 6.!9, г. Для всех таких иезависимых контуров составляют уравнения по второму закону Кирхгофа (6.68), где и — количество емкостей в этих контурах. Первые равенства (6.68), являющиеся условиями непрерывности зарядов, составляют для всех независимых узлов, в которых соединяются рассматриваемые емкости. Соблюдение условия непрерывности зарядов (б.бб) в узлах цепи предотвращает прохождение через них бесконечно больших токов, Общее число уравнений (6.68), как и уравнений (6.67), должно равияться количеству реактивных элементов, для которых нарушаются законы коммутации.
Например, для схемы рис. 6.19, в составляют два уравнения — по одному из равенств (6.68) первого и второго видов (см. $6.4.3). Для более сложной схемы, показанной иа рис. 6.19, г, по числу емкостей должно быть составлено четыре уравиеиия — по два уравнения (6.68) первого и второго видов. Законы коммутации могут формально нарушаться также при включении и выключении источников.
Например, в схеме, изображеииой иа рис. 6.19, д, второй закон коммутации вступает в противоречие со вторым законом Кирхгофа. Поэтому в такой схеме пренебрежение сопротивлением потерь конденсаторов означает и полное игнорирование переходных процессов в цепи. 2. Методы анализа переходных процессов. Переходные процессы при коммутации цепей являются частным случаем процессов в цепи при воздействии иа иее произвольных сигналов. Поэтому анализ переходных процессов возможен любым из рассмотренных методов — спектральными и временными, включая операторный метод решения уравнений состояния, а также методами операторных пираметров и операторных схем. При этом метод операторных параметров является наиболее простым, ио 296 его, использование возможно только при нулевых начальных услоииях.
Однако н задачи на включение источников рассматривают обычно при нулевых начальных условиях. Что касается задач на выключение источников, то их решение может быть получено элементарно по известному решению задач на включение источника. Такой элементарный прием показан на рис. 6.20, а. Из рисунка видно, что обе цепи находятся в одинаковом состоянии как до коммутации, так и после нее. Во второй же цепи происходит включение источника, а постоянно включенный источник дает установившиеся токи и напряжения в цепи. Эти установившиеся напряжения и токи также известны, поскольку они являются предельными напряжениями и токами включения при 1- оо. Таким образом, „„л(Г) — и„„(7),„„,(~), „„„„(Г) = ~„Р) — юмР), (6.69) т. е.
задача на выключение источников сводится к задаче на их включение. Равенства (6.69) могут быть переписаны в другом виде: и.ю(г) = и„,(С) — и. ю(1), 1,„лЯ = стюЯ вЂ” ь,„,(~). (6.70) Отсюда следует, что в свою очередь задача на включение источников может быть сведена к задаче на их выключение, как изображено на рис. 6.20, б. Взаимная замена задач на включение и выключение источников в соответствии с рис. б.20 может быть названа методом эквивалентных схем. счс~ ф цепь с' ,„>еп , 1 ~ ((ель < — ~сб $ Кель Д Рис, б.2Ь Включение источ ника э. д, с. в яб-цепи Рис.
б.20. Взаимнаи замена цепей с выключаеммми и включаемыми источниками э. л. с. По принятой ранее терминологии установившиеся напряжения и токи являются вынужденными, а напряжения и токи в цепи после' выключения источников — свободными. Поэтому равенства (6.70) эквивалентны решениям (6.30). Тем самым получает физическое обоснование классический метод решения уравнений состояния.
При этом определяется и знак свободных составляющих полного решения дифференциальных уравнений, который в классическом методе находят после определения постоянных интегрирования. 297 Как отмечалось, ниже рассматриваются переходные процессы при коммутации источников постоянной н гармонической э.д. с. Переходные процессы при включении источников периодических сйгналов произвольной формы с периодом Т могут быть проанализированы операторным методом с помощью специальной формулы включения, По аналогии с формулой (5.93), переходя к комплексному оператору р, находим ин(р) = и(р)- — „,—., (6.7!) (6.72) С помощью формул (6.71), (6.72) можно анализировать переходные н установившиеся процессы в цепях при включении, например, источников пилообразных, импульсных и других периодических сигналов. При анализе переходных процессов в цепях возможно применение и некоторых нестандартных приемов, один нз которых используется ниже при анализе переходных процессов в связанных контурах.
3. Переходные процессы в КС-цепи. Рассмотрим переходные процессы в КС-цепи прн включении источника э. д.с. е(!) (рис. 6.21). При нулевых начальных условиях', когда выполня. ется второе равенство (6.59), по закону Ома в операторной форме находим изображения тока н напряжения: Нр) = е(р)/(К+ 1/рС) = ре(р)/К(р+а), и(р) = !(р)/рС = ае(р)/(р+ а), (6.73) где а = 1/КС вЂ” коэффициент затухания КС-цени, измеряемый в с ', который характеризует скорость затухания переходного процесса при коммутации цепи. Прн включении постоянной э. д. с. е(!) =Е входное воздействие равно Е !(!). Тогда согласно соотношению (6.5!) е(р)=Е/р и формулы (6.73) принимают вид /(р) = Е/К(р + а), и(р) = аЕ/р(р + а). Отсюда по формулам № 5 и 6 табл. П.11 находим !(!) = — „е "', и(!) = Е(! — е '). (6.74) Здесь ин(р) — изображение отклика цепи в интервале [(Ф-!)Т, МТ[, в котором анализируется переходный процесс; ' и(р) — изображение отклика цепи на входное воздействие в интервале [О, Т), которое может быть определено методом операторных параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
