Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Хотя эти импульсы бесконечно велики, отклики на них имеют конечное значение. Это объясняется их бесконечно малой длительностью и конечной плошадью, определяемой интегралами (6.43), (6.44). Конечный отклик цепи ))6(1)на дельта-импульс б(1) может быть получен из отклика цепи й(1) на единичный скачок 1(1). В силу линейности цепи замена любого входного воздействия его производной приводит к замене отклика цепи на его производную. Поэтому замена входного воздействия 1(1) его производной б(1) означает замену отклика цепи й(1) на отклик пь(1), являющийся производной й(1): Йь(1) = — ) = — ~ Т(ы)софо1 +0(62)]бы. (6.45) Последнее равенство получено с учетом формулы (6.36). Соотношение (6.45) подтверждает конечность отклика ))6(1).
Из соотношения (6.45) заменой 1 на 1 — т может быть получен отклик цепи на смещенный дельта-импульс (6.44). При этом можно производить дифференцирование по любой из переменных 1 или т. Следует лишь учитывать, что указанные переменные в исходном соотношении имеют разные знаки. Поэтому )ц(1 ). 6И() — т) Щ) — т) (6 46) Ш 6т Сигналы-отклики (6.45) и )б.4б) называются импульсными характеристиками цепи. ' Эти характеристики, например для РЕ-цепи (см. рис. 6.1, а), имеют значения Ь(1) = Уь(1) = — е ",)26(1 — т) = У6(1 — т) = — 'е П '), (6.47) е е которые получаются из формулы (6.39) и определений (6.45), (6.46) . 6.
Метод импульсных характеристик. Импульсные характеристики позволяют определить реакцию цепи на произвольное непрерывное воздействие е„(1). Для этого' в соотношении (6А1) произведем интегрирование по частям, приняв е,'(т)дт = де„(т): и(1) = е„(т)п(1 — т)),' — ~ е„(т)оп(! — с) = о 286 ! = е„(г)»»(0) — е„(0) й(») — ~ ет(те~О:: ~» б с. Здесь е„(0) = 0 в силу непрерывности е„(т) на всем интервале [О, 1).
Поэтому с учетом определения (6.46) получаем разновидность интеграла Дюамеля в виде ,' и(») = е„(Г)Ь(0) + $ е.(т)l»»(» — т)дт. (6.48) о 'Поскольку здесь не производится дифференцирования сигнала, как в интеграле (6.41), соотношение (6.48) можно распространить на случай произвольных разрывных сигналов е(г). При этом влияние скачка )»(0) переходной характеристики учтено первым слагаемым. Поэтому при определении импульсной характеристики по первой формуле (6.45) указанный скачок не надо дифференцировать, а в (6.48) надо интегрировать при т)0: и(1) = е(1)й(0) + ~ е(т)й»(à — т)дт. (6.49) от Расчет по формулам (6.48), (6.49) составляет содержание метода импульсных характеристик.
Этот метод и метод переходных характеристик называют также суперпозиционными методами, а интегралы (6.47), (6.48), (6.49) — суперпозиционными интегралами или интегралами наложения. Суперпозиционные методы удобны при численном анализе процессов на ЭВМ. Существуют стандартные машинные программы для вычисления интегралов.
Поэтому, задаваясь переходной или импульсной характеристикой цепи, можно рассчитать на ЭВМ отклик цепи на заданное входное воздействие с помощью указанных стандартных программ. Пронллюстрируем метод импульсных характеристик на примере )с».-цепи (см. рис. 6.1, а). Для нее нз формулы (6.39) находим )»(0) = О. Прн прежнем входном воздействии 7(Г)еп' (см. рнс. 6.!4) из формул (6.47), (6.49) получаем ! и(Г) = — ~ е з"е " обт.
Произведя интегрирование и приведя подобные члены, получим прежний результат (см. $ 6.!.2, 6.2.2 и 6.2.4). 4 ь.э. операторные методы дндлиэд цаг»рн В отличие от временных методов анализа процессов в цепях операторные метода зоключпются е тои, что вместо искоммк иоиримеива н00 и токов»69 ркссиотрвекютсл ил операторные нзобромеиил н(р), Цр), иизывиеиые такзсе операторным яв»ю»мнением и операторным током. Этн нзобрамення~ 4»ункцнонально связаны с нсиомымн снгналамн иЩ»(»), которые называются орнгииолиин изображение. Здесь р — новая переменная величина (оператор), которая, будучи комплексным параметром, переводит рассмотрение сигналов из времениьй области в область комплексных величин.
Прн операторных методах анализа 287 процессов в цепях определяют отклик цепи иа входное воздействие в виде изображений н(р), г(р), по которым затем нахадят искомыс сигналы и(г), г(г). Рассмотренный ранее спектральный метод анализа леллегсл рпзноопдностзю операторных методов, где операторным изображением сигналов по Фурье служат нх спектры. Однако в отличие от реальных спектров операторные изображения сигналов в общем случае являются абстрактными математическими понятнямн, которые лишь упрощают анализ процессов в цепах.
Степень упрощения анализа зависит от вида функционального преобразования, переводящего оригинал в изображение. Одним нз наиболее аффективных операторных преобразовании такого рода является интегральное преобразование Лапласа. 1. Операторное преобразование Лапласа. Известное из курса математики интегральное преобразование Лапласа имеет внд и(р) = ~ и(1)е жд(, е (6.50) где р = а + )ш — комплексный оператор, а и(р) — операторное напряжение или операторное изображение оригинала (сигнала) и(Г).
Аналогично определяется операторный ток 1(р). Интеграл (6.50) внешне напоминает интеграл Фурье (5.!8). Однако между ними имеется принципиальное различие. В интеграл Фурье (5Н8) входит мнимая частота )ш, а в интеграл Лапласа (5.50) — комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = о + )ш. Понятие комплексной частоты встречалось выше при анализе спектральных функций сигналов и передаточных функций цепей.
Однако использование этого понятия непосредственно в интегральном преобразовании (б.50) делает его более эффективным по с'равнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (5.18) невозможно непосредственно определить спектр («изображение») сигнала (5.28), как отмечалось ранее. Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (6.50) определяется его операторное изображение и(р)= )е нбг= — — е Р'1, = — — е "е ''~е, е Р .
Р 288 или, поскольку е '" = О, и(Г) = 1(1) Ф и(р) = 1/р. (6.51) Здесь для, оригинала и его изображения принят тот же символ взаимно однозначного соответствия, что н в обозначе,нии (5.22) для сигнала и его спектра. Из приведенного примера видно, что повь)итение эффективности преобразования (6.50) обусловлено наличием множителя е "', который обеспечивает сходимость интеграла (6.50) даже для сигналов, не удовлетворяюших условию схрдимости интеграла (5.83). Наличие этого множителя позволяет интерпретировать , преобразование (6.50) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е"'евь (при о ( 0) в отличие от преобразования Фурье, представляющего сигнал совокупностью незатухающих гармонических колебаний д ' (в символической форме). Преобразование (6.50) обладает линейнымн свойствами, аналогичными свойству (5.25): и(!) = А~и1(1) + А2и2(1) — и(р) = А~и~(р) + А2и2(р). (652) Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с преобразованиями (5.76), (5.75): и,(!) = — -(-)- =; и«(р) = ри(р) — и(0), (6.53) и,(1) = ~ и(1)д! ыг и,(р) = и(р)/р.
о (6.54) (рЕ + й)!(р) = — 1/(р + 11). (6 55) Отсюда определяется операторный ток 1(р) = 1/Е(р + а)(р + 11), (6. 56) где а = )г/Е, или при а = 6 !(р) = 1/Е(р + 6)'. (6.57) Остается по этим изображениям определить оригинал, т. е. искомый ток !(!). В этом заключается упомянутый операторный метод решения дифференциальных уравнений состояния цепи. 289 !о-~ззз Упрощение обусловлено не только комплексностью оператора р, но н тем, что оригиналы (сигналы) рассматриваются на бесконечном интервале [О, ьь1.
Отмеченные и другие свойства преобразования (6.50), изйестные нз курса математики, приведены в приложении П. 10. Операторные изображения заданных сигналов определяются или непосредственно по формуле (6.50), как изображение (6.51), или по известным изображениям других сигналов с помощью свойств, приведенных в табл. П. 10. Для примера в приложении П.
11 приведены операторные изображения некоторых часто встречающихся сигналов. Все они получены нз формулы (6.51) с помощью свойств, приведенных в табл. П.10. Если в дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения состояния цепи подставить вместо сигналов их операторные изображения (5.50), то по свойствам (б.52) — (5.54) эти уравнения переходят в алгебраические уравнения относительно переменной р. Например, дифференциальное уравнение (6.35) при подстановке операторных изображений тока н э. д.
с. в соответствии с формулами (6.52), (6.53) и преобразованием № 5 табл. П.11 принимает следующий вид, если 1(О) = 0: 2. Определение сигналов по их операторному изображению. Сигнал 'определяется по его операторному изображению с помощью обратного интегрального преобразования Римана — Меллина; а.~-! ~ и(р):др, (658) га — ~ Значепие этого интеграла может быть найдено через вычеты его подын'тегральной функции по формуле (5.53).
Р»ы 6лб. ко»туо»»тегр»ро- При этом получаются формулы ризван»» в ороооразова»»» Р»- ложения, приведенные в приложении и»»» молл""» П !2, которые аналогичны формулам (5.55), (5.61). Однако в отличие от интеграла Фурье (5.52) в формуле (6.58) за счет комплексности р = о+)ы изменяется контур интегрирования по сравнению с контуром на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
