Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Примерами такого откли- ка являются токи (6.10) и (6.1!). В реальной цепи «полубесконечный» отклик должен затухать, т. е. убывать во времени, и его спектральная функция имеет полюсы, удовлетворяюпгие условию (5.46) . Таким образом, полюсы передаточной функции реальной цепи могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной р = о+!«7. На нули передаточной функции не накладывается такого ограничения. Поэтому они могут находиться в любой части комплексной плоскости.
Последний вывод не распространяется на передаточные функции особой разновидности, для которых входное воздействие и реакция цепи на это воздействие являются взаимозаменяемыми. К особым передаточным функциям относятся, в частности, входное сопротивление и 'входная проводимость цепи, которые называются входными функциями цепи. Действительно, согласно закону Ома (3.19) и формулам (6.9) в двухполюснике входным воздействием может являться и ток !(«7) = 7(«7), и напряжение О(ы) = Е(ы). В силу взаимозаменяемости указанных величин полюсы сопротивления являются нулями проводимости и наоборот. Поэтому как полюсы, так и нули 2(р) и 1'(р) могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной р = о + !сь.
Если пренебречь потерями в цепи, то в ней возможны отклики в виде неубывающих (но и не нарастающих) сигналов, которые имеют спектральные функции с полюсами на мнимой оси плоскости р (см. $5.!.7). Поэтому полюсы передаточных функций реактивных цепей, а также нули и полюсы их входных функций должны находиться на мнимой оси комплексной плоскости р.
4. Минимально-фазовые цепи. Рассмотрим цепь, передаточная функция которой имеет часть нулей в правой полуплоскости. При этом полипом Е~(р) в числителе передаточной функции (6.!4) можно разбить на два сомножителя — Еь(р) и Еф( — р), из которых полинам Еь(р) не имеет корней в правой полуплоскостн, а полипом Еф( — р) имеет корни только в правой полуплоскости. Тогда передаточная функция (6.14) представляется в виде Т(р) = Гь(р)рф( — р)/Е«(р) = Ть(р)Тф(р), (6.16) где Ть(р) = Гь(р)рф(р)/Гь(р), Тф(р) = Еф( — Р)/Гф(р).
(6.17) Полинам Гф(р), полученный из полинома Еф( — р) переменной знака р, имеет корни только в левой полуплоскости, поскольку такая перемена знака перемещает корни р« из правой полуплоскости в левую, как показано на рис. 6.2. Следовательно, функция Ть(р) не содержит нулей в правой полуплоскости, а обе рациональные дроби (6.17) являются передаточными функциями некоторых цепей, не содержащими полюсов в правой полуплоскости. Поэтому цепь с передаточной функцией (6.16) можно разбить яа две цепи с передаточными функциями (6.17), как показано на рис.
6.3. 27! 7ррл / г / ол Р -,н ° л Рис. 6.3. Разбивка произвольной цепи на минимально-фазовую цепь и фазовый контур Рнс 6.2. Перемещение корней полинома из оравой полуплоскостп в ле- вую Передаточная функция Те(р) обладает специфическими свойствами. Представим функции Ре(тр) в виде суммы четного и нечетного полнномов.
При этом видно, что Ее(р) = Рь(оз) = = Рл(ы)+)гв(оз) и ге( — Р) = Рр( — ы) = Ел(щ) — )рв(ю) ЯвлЯютсЯ комплексно сопряженными полиномами. Тогда получаем Т ( ) Т ( )еее( ( — ЕА(ш) )Ев(ш) (бйб) Ел(ш)+ 1Ев(ш) ' Ть(щ)= ~l ",, + "., =1, Ое(о()= — 2агс1а — '(ш . (6.19) Евв(ш) + Ев(ш) Ев(ш) 272 Таким образом, цепь с передаточной функцией (6.18) не изменяет спектральную плотность проходящего сигнала, как это следует из первых равенств (6.6), (6.!9).
Со~ласно же вторым равенствам (6.6), (6.19) эта цепь изменяет фазовый спектр сигнала. В соответствии с указанными свойствами цепь с передаточной функцией (6.И) получила название фазового контура. Выделение фазового контура из общей цепи с передаточной функцией (6.16) позволило свести к минимуму фазовые сдвиги в оставшейся цепи с первой передаточной функцией (6.17). Передаточная функция, яе содержащая ни полюсов, ни нулей в правой полуплоскости, называется функцией минимальной фазы, а цепь с такой передаточной функцией — минимальнофазовой цепью. Цепь с нулями передаточной функции в правой палуплоскости называется неминимально-фазовой. 5.
Связь между спектральными характеристиками цепи. Из 5 6.!А следует, что, подключая фазовые контуры к цепи, можно изменять ее фазовую характеристику при неизменной частотной характеристике. Однако при этом цепь перестает быть минимально-фазовой. В цепи минимально-фазового типа невозможно изменять фазовую характеристику без изменения частотной хирактеристики и наоборот, поскольку они зависят друг от друга. Для определения этой зависимости спектральные характеристики цепи следует рассматривать совместно с сигналом. Рассмотрим простейший сигнал в виде единичного скачка (5.28), единственным параметром которого является нулевой момент включения. Согласно равенствам (6.5), (6.6) сплошной спектр (5.29) в цепи с передаточной функцией (6.2) принимает значение 5аих(гэ) = Т(ы)/ям, — чьих(ы) = 0(ы) — я/2.
(6.20) Полный спектр единичного скачка, являясь смешанным, содержит еще постоянную составляющую (5,30), которая на выходе цепи дает постоянное напряжение (/о нц» = 0,5Т(ы)1„, = о = Т(0)/2. (6.21) Подставив соотношения (6,20) в уравнение (5.50) и прибавив постоянную составляющую (6.2!), получим сигнал на выходе цепи: и(1) = '— Т(0)+ '— 5 (") э!и [ыт+ 0(ы))г(ы. (6.22) Поскольку единичный скачок существует прн г) О, отлик цепи прн г (0 в этом случае равен нулю.
Поэтому, заменив переменную г на — т, при т) 0 из равенства (6.22) находим — Т(0) + — $ — шп10(ы) — ты)г(гв — О. Продифференцировав это равенство по параметру т, найдем искомую связь между частотной н фазовой характеристиками цепи: $ Т(ы) соэ (0(ы) — то>)йо =- О. о (6.23) Раскрыв здесь косинус разности двух аргументов, с учетом формул (6.4) получим уравнение связи между четной н нечетной составляющими передаточной функции: ~ Тз(ы) соз озтдго = — $ Тэ(ш) з(п олдос.
(6.24) 273 Уравнения (6.23), (6.24) устанавливают однозначную связь между спектральными характеристиками только для минимально-фазовых цепей. Действительно, равенство (6.23) не нарушается при неизменной частотной характеристике Т(ы), если фаза 0(гь) получает приращение йя. Такое же приращение фазы при неизменной частотной характеристике является свойством немннимально-фазовой цепи. 6. Идеальные спектральные характернстнки.
Форма спектральных характеристик определяет характер и величину частотных и фазовых искажений сигналов в цепях. Эти искажения отсутствуют при сохранении формы сигнала, отображающей информацию (см. $1.4.1) . Форма же, сигнала сохраняется только при 'его линейных преобразованиях вида (5.71), (5.72): и,„,(1) = То ..(1 — то) =; ' иох ФЯ..(оз) = Той-(от)е '**, где То и то — константы. Сопоставив это соотношение с определениями (6.2) и (6.5), (6.6), найдем условия неискаженной передачи сигнала через цепь: "Вих Т(от) = Тое '"', Т(со) = То = сопз1, О(от) = — тооз.. (6.25) Рис. 6Л. Изиененне полирности сигнала Следует учесть, что сдвиг фаз всех спектральных составляющих на угол йп либо не отражается на сигнале (при й= 21), либо приводит к изменению его полярности (при й = 21+ 1), как показано на рис.
6.4. Поэтому фазовая характеристика (6.25) может иметь другой вид: О(со) = йп — того. (6.26) Второе равенство (6.25) является условием отсутствия частотных искажений. Последнее равенство (6.25), как и равенство (6.26), является условием отсутствия фазовых искажений. Частотные и фазовые характеристики (Б,25), (Б.2Б), при которых отсутствуют частотные и фазовые искажения сигналов, назьиваются идеальными спектральнелми характеристиками. Они показаны на рис. 6.5. Идеальная частотная характеристика является горизонтальной прямой линией, а идеальная фазовая харак- Рнс.
6.6. Идеальные спектральные характеристики Рис. 6.6. Спектральные характеристики идеального фильтра 274 теристика — прямой линией, проходящей через начало координат или отсекающей на оси ординат отрезок, кратный углу а. 7. Искажения сигналов в идеальном фильтре. Частотная характеристика идеального фильтра (см. рис. 4.2, а) в пределах полосы пропускания удовлетворяет условию отсутствия частотных искажений (6.25). Чтобы в идеальном фильтре отсутствовали и фазовые искажения, его фазовая характеристика в пределах полосы пропускания также должна удовлетворять условию (6.25), как показано на рнс. 6.6.
Прн таких спектральных характеристиках идеальный фильтр не искажает сигналы, спектр которых не выходит за пределы полосы пропускания. Однако при бесконечных спектрах идеальный фильтр искажает сигналы. Рассмотрим для примера прохождение единичного скачка (5.28) через идеальный фильтр с характеристиками, изображенными на рис. 6.6. В атом случае сигнал (6.22) на выходе фильтра описывается выражением и(1) = — '+ — "~ — з!и ((1 — та)са)дкт =++ ~' 5!у, и где 8! у = $ — """ дх — интегральный синус (рис. 6.7); х =(1— к те) га. у = х, = аь(1 — та) — новые переменные. В соответствии с полученным выражением и принятыми обозначениями получаем на выходе фильтра сигнал, показанный на рис.
6.8. Этот сигнал искажен по сравнению с неискаженным скачком Ка. !(1 — та), показанным на рнс. 6.8 пунктирной линией. Такой неискаженный скачок получается только при характеристиках (6.25), не ограниченных полосой пропускания идеального фильтра. ь(у и! ~ч -ЕЕ-75 57-Я Я-Я Ф -17 -г Ф Р Ф 3 17 Ф Я7 Л Л 5~ .Гз У Рис. 6.7. График интегральнога синуса 275 Искажения полученного синг ! нала являются нереальными в том отношении, что он возникает на выходе фильтра раньше появар ленин скачка на входе. Это обусов 'Гв ловлено нереальностью идеаль- ных спектральных характеристик, Пис. а.а. Искажение еаиничног которсне не могут существовать скачка а нкеальном Ьильтое в ограниченной полосе частот в силу их взаимосвязанности.
Действительно, для таких характеристик уравнение (б.23) принимает вид ~ сов[(т + то)со]бы= "~('+~'1 = О. о с+ со Это равенство не соблюдается при произвольном (и переменном) значении т. Таким образом, в полосе пропускания реальных фильтров может быть достигнуто лишь некоторое приближение к идеальным спектральным характеристикам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
