Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ряют либо действующие, либо средние, либо максимальные (амплитудиые) значения периодических колебаний. Их градуируют обычно в действующих значениях гармонических колебаний. При измерении такими приборами аналогичных значений негармонических периодических сигналов надо знать соответствующие переводные коэффициенты; Кэ = 1/) = (//(/, К. = 1„... /1 = и„„„ /(/. (5.115) Здесь первая величина называется коэффициентом формы, а вторая — коэффициентом амплитуды. Данные коэффициенты для различных периодических сигналов приведены в табл.
П, 9, где указаны также параметры (5.!13) и (5,1!4). Коэффициенты (5.! 15) следует учитывать и при измерении мощности периодических негармоннческих сигналов. 3. Определение мощности периодического сигнала по его спектру. Из формул (5.112), (5.113) следует, что мощность периодического сигнала выражается через действующие значения напряжения и тока: Р = й)' = 60' = (//.
(5.116) 252 Эта же мощность может быть выражена через действующие значения гармоник сигнала. Если, например, 'в последнее равенство (5.112) подставить значение и(!) из ряда Фурье (5.6), то при возведении в квадрат суммы гармоник получится сумма слагаемых вида (!»»соз»(Ж1 — «(«») = — Я» + — "'сов 2(й«««1 ф») 2 2 2(7 Х «соз(йй! — «р»)соз(ЕН вЂ” ф«) = (7»0,„» сов((й — 1)Ы— — «р«+ «(»«] + (7~ »К«» соз ((и + 1)()1 — «р» — «(«~).
По формуле (5.112) производится интегрирование этих слагаемых на интервале в один период. При этом для любых значений й и ! получаются равными нулю все интегралы, кроме ин- тегралов т — (7,'.~Ж = — 0„'»Т= ЯТ. » В число этих ненулевых слагаемых входит и постоянная составляющая при й = О. Таким образом, учитывая аналогичные равенства и для тока, соотношения (5.! 12) можно переписать в виде Р = 17 ~', 7» = »«2, Н = ~, (7»!» = ~, 'Р». »=ь »= »=О «=О (5 117) т — ~ и'(1)д Г = ~', (7», (5.118) ь «-» известное как равенство Парсеваля.
Теорема Рэлея (5.69) является обобщением равенств (5.118) на сигналы со сплошными спектрами. Из соотношений (5.1!6), (5.117) определяется связь между действующими значениями периодического сигнала и его гармоник: и = Дие. ~ = ч х л. »=ь «=» (5.119) Следовательно, мощность периодического сигнала равна сумме мощностей его гармоник, включая и постоянную составляющую. Этот вывод распространяется и на квазипериодические сигналы, мощность которых равна сумме мощностей их спектральных составляющих. Это свойство использовалось ранее при определении энергетической спектральной плотности (5.2), где производилось сложение мощностей спектральных составляющих в узкой полосе частот, Из (5.112) и (5.! 17) следует соотношение Если в нелинейной цепи искажаются гармонические колебания, то получается периодический сигнал несннусоидальной формы. Такой сигнал содержит высшие гармоники, относительной мощностью которых принято оценивать нелинейные искажения.
С учетом формулы (5.119) коэффициент нелинейных искажений м /т! = т/Рх/Р = Ъ~ "г (/1/(/ = ~) .'~ 11/1п (5120) т=т / с=2 / . где Рх — суммарная мощность высших гармоник; Р1 — мощность первой гармоники. При практических расчетах нелинейных искажений в формулах (5.120) учитывается конечное число высших гармоник, й 5.6. МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ В 4 П2Л было дано помятне модуляпнн н определены виды модулированных сигналов, а в $ ПЗ.З рассмотрен спектр АМ-сигнала при гармомической модуляции.
На осмове втнх первичных сведений рассмотрим свойства модулированных сигналов раалнчных видов н их спектры. 1. АМ-сигналы. Амплитудно-модулированный сигнал с несущими гармоническими колебаниями описывается общими соотношениями (1.15) н (1.16). При гармонической модуляции АМ-сигнал (1.21) имеет симметричный спектр. Соответствующие спектры амплитуд н фаз АМ-сигнала при тро = 0 показаны на рис. 5.31, а, б, из которого наглядно видна симметрия боковых спектральных составляющих. (/„е 1 Ф;Е /о фг а! Ряс. 3.3К Спектры АМ.сигнала при гармонической модуляпмн Сигнал (1.21) может быть представлен в символической форме: (1) = (/ е "л -! '" (/ ейы" пх-'г ! + "' () й(ч опнгг ! (5 !2!) В соответствии с этим равенством спектр А1г(-сигнала можно изобразить в виде трех вращающихся векторов (рис.
5.32, а). В методе комплексных амплитуд неподвижный вектор (1 (см. рис. 3.2, б) является остановившимся вектором 1/ (см", 25г й д сгглр Йпо -5?)ь'-9' Рис. 5.32. Векторные диаграммы АМ.сигнала рис. 3.2, а). Эту остановку вектора 0 можно считать следствием вращения координатной плоскости в направлении вращения часовой стрелки с угловой скоростью а».
В сигнале (5.121) таким приемом можно остановить только один вращающийся вектор, например вектор несущей спектральной составляющей, если вращать координатную плоскость с угловой скоростью о«о. При этом векторы боковых составляющих будут вращаться в противоположных направлениях с угловой скоростью й, как показано на рис. 5.32, б. Из векторной диаграммы наглядно видно, почему в спектральном представлении амплитуда АМ-сигнала изменяется по гармоническому закону в пределах от (/ о — т(/ о до К о + тУ~о. Если модулирующий сигнал является не гармоническим, а сложным и описывается, например, рядом Фурье (5.6), то АМ- сигнал можно представить в следующем виде (без учета постоянной составляющей (/о = 0 и»ро): и(!) = (/ о[1 + 2; т«соз(йй1 — »рь)]сов о»ой (5.122) ь ! Здесь в соответствии с обозначениями, принятыми в равенстве (!.18), параметры т» = ЛО «/0 о =а(/ ь/(/ о ' (5.123) называют парциальными коэффициентами модуляции (от лат.
рагйа1 гэ — частичный). Раскрыв квадратные скобки в соотношении (5.!22), после элементарного преобразования, получаем описание спектра АМ-сигнала: и(») = у осоэ о«о! + — "' ~ тьсоэ[(о»о — йй)Г + ьгь] + ь-1 + —" ~', тьсоз[(о«о + йй)1 — ьрь] (5 124) ь=~ 255 »«и. ". ». га'««м«»»" е««Ъ.ч. »- »о л»ла»»а г! »у г»ла» и гглв» при сложном е ссматрив ого сиги 256 м««о ««»»«е«е ««4»Э«м «е«м«м Рис. 5.33.
Спектры АЬ»-сигнала молулируа»шем сигнал Чтобы показать это, будем ра сигнала в качестве некотор спектр: Из выражений (!.21) и (5.124) видно, что в случае сложного модулирующего сигнала спектр АМ-сигнала отличается только числом боковых составляющих. При этом сохраняется симметрия спектра амплитуд (рис.
5.33, а) и спектра фаз (рис. 5.33, б). Полученный спектр обладает еще одним важным свойством. Парциальные коэффициенты модуляции (5.123) пропорциональны амплитудам спектральных составляющих модулирующего сигнала. Поэтому огибающая спектра АМ-сигнала имеет такую же форму, как и огибающая спектра модулирующего сигнала с ее зеркальным отображением в области отрицательных частот (рис. 5.33, в) . Аналогичный в»ывод справедлив и для спектра фаз.
Эти выводы далее уточняются для бесконечно протнженных спектров. ' Если спектр модулирующего сигнала является сплошным, то и АМ-сигнал имеет сплошной спектр. При этом остаются справедливыми свойства симметрии и симметричного отображения спектра модулирующего сигнала. ать огибающую К»(1) АМ- ала, имеющего сплошной Я„(.) = — ' ~ и.(1) -"'а. Тогда АМ-снгнал (5.125) и(1) = 0 (1)созе,1 = фУ.,(1)е' "' + -'-47 (1)е '"'"' будет иметь сплошной спектр Я(ы) = — ' ~ и(1)е '"' = — ' ~ (7,.(1)е "" "хб! + ++ ~ 17„(1)е х*'+о"'а, или 5(~о) = зсм(ы — ыо) + — с (ы + гоо). (5.126) Для АМ-сигнала и(1) = У.,(1)з1п гоо! аналогично (5.
127) з-!ззз Я(ы) = —.5„(ы — (оо) — — '5„(оо + соо). (5.126') 21 21 Соотношения (5.126), (5.126') составляют содержание теоремы модуляции. Второе слагаемое в равенствах (5.!26), (5.126') описывает спектр (5.125), смещенный в область отрицательных частот, т. е. в сторону «опережения» по частоте. Если этим слагаемым пренебречь в области положительных частот, то амплитудный спектр АМ-сигнала повторит по форме амплитудный спектр модулнрующего сигнала, как показано на рис. 5.33, г. Такое повторение формы амплитудного спектра получается, достаточно точным при )о » ЛР„ посколькУ пРи этом «хвост» спектРа Я (! + 1о) в области положительных частот пренебрежимо мал. В принципе же спектральные составляющие Я„(ы + гоо) при со ) О, складываясь векторно с соответствующими составляющими о'„(ы — ыо), приводят к изменению формы амплитудного спектра, как показано на рис. 5.33, д.
Сказанное в полной мере относится и к дискретным бесконечно протяженным спектрам. Примером АМ-снгнала со сплошным спектром является прямоугольный радиоимпульс (рис. 5.34, а). Его спектр, показанный на рис. 5.34, б, построен по соотношению (5.!26') с учетом спектра (5.86) прямоугольного видеонмпульса (см. рис. 5.20, а).
Из спектральных диаграмм, изображенных на рнс. 5.33, видно, что в отличие от формулы (1.23) при сложном модулируюи1ем сигнале ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенной максимальной частоте модуляции: Лг", = 2Г,„. ул-т уа-,, ):;т уо уао, уа г уо'- Л 2 Х,Х 2 д) а) Рис. 5.34. Прямоугольный ралноимпульс и его спектр Здесь под максимальной частотой модуляции понимается максимальная частота спектральной составляющей модулирующего сигнала. 2. ЧМ-сигналы. При частотной модуляции пропорционально модулируюшему сигналу и (1) (рис. 5.35, а) изменяется частота ЧМ-сигнала (рис. 5.35, б): игт ита» О 1 Рис. 5.36.
Изменение фазы ЧМ-сигнала Рис. 5.35. Молулнруюший сигнал и изменение частоты ЧМ-сигнала 258 оз(1) = озо + аи„(1) = озо + ззози„(Г)/имз, (5.128) где а — размерный козффициент пропорциональности; Лоз = = аи,„— максимальное отклонение частоты от несущей частоты озо, которое называется девиацией частоты (от лат. деу)а1ю — отклонение). Для описания частотно-модулированного сигнала можно использовать соотношения (5.68), где 1) (1)= 1) =соп51, а изменение частоты (5.67) является не символическим, а реальным и определяется формулой (5.128). Например, при модулируюшем сигнале (1.!7) из соотношений (5.128) и (568) получаем уравнение ЧМ-сигнала при гармонической модуляции: и(1) = У соз(озо) + аз)3!п(1з) + тР )+ тРо], (5.129) где тг= —, Асо=асг „, Лы 0 ' (5.
130) фо = — т!з1пф„. Из соотношения (5.129) видно, что фаза ЧМ-сигнала Ф(!) при гармонической модуляции получает гармоническое приращение, как показано на рис. 5.36 при ~„= О. Параметр (5.!30), показывающий максимальное приращение фазы, аналогичен коэффициенту модуляции т АМ-сигнала и называется индексом частотной модуляции. При амплитудной модуляции коэффициент т не превышает единицы. При частотной же модуляции индекс тг может быть значительно больше единицы, так как девиация частоты Лго может превышать частоту модуляции (а (но Лго «гоо). Для нахождения спектра ЧМ-сигнала преобразуем выражение (5.129) прн фо = т(ь = О (что не нарушает общности выводов): и(!) = (7 соз но!соз(тгз!и 11!) — К„з!и сооуз!и (тгз(п (аг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
