Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Сигналы, начинающиеся в момент 1о ~ О, необходимо сместить к нулевому началу отсчета времени с учетом теоремы (5.72), после чего преобразования (5.75) ста. новятся пригодными для сигналов и(1-+ !о). Соотношения (5.75) упрощаются для сигналов конечной длительности при и,(т) = О, 5«(0) = О. В частности, такой случай имеет место, если допустить дифференцирование скачкообразного фронта сигнала и,(!), для чего необходимо использовать понятие Ь-импульса, рассмотренного в $ 5.2.5.
Для «полубесконечно» протяженных сигналов соотношения (5.75) также упрощаются, поскольку и;(!) = и, (!): и~(1) Ф Я(м) = Я(ы)/1(м); иь(!) Ф 5в(ю) = ]о~5(ы). (5.76) Эти преобразования сходны с операциями интегрирования и дифференцирования гармонических колебаний. 4. Перемножение сигналов. Перемножение сигналов является нелинейной операцией, которая означает и перемножение спектров сигналов. Поскольку сигналы являются суммами спектральных составляющих, при их перемножении каждую спектральную составляющую одного сигнала следует умножать на каждую 236 спектральную составляющую другого сигнала. Получающаяся при этом сумма может быть представлена в свернутом виде, если преобразовать произведение сигналов а,(7) = — ~ Я,(0)е'"'ю и (2) = — ~ Яз(~)с'"дж Здесь Р и т — независимые переменные, имеющие смысл частот, каждая из которых независимо друг от друга «пробсгаст» значения от — са до оо.
При этом находим и„(г) = и>Яи Я= — ~ М~(й)И"'г(Р $ 32(т)е'"с(т = — Я,((2)Я,(т)ета+'" бИ сЬ. Введем вместо т новую переменную в7 =-т+ й, так что т= =ы — Й, бт=бы: Сопоставив это выражение с формулой (5.47), приходим к теореме перемножения сигналов, или теореме свертки спектров: Здесь сверткой спектров называют полученное интегральное преобразование (интеграл свертки).
При использовании соотношения (5.77) в случае реальных сигналов и~(2), и7(7) следует иметь в виду, что они должны быть определены на одинаковых временных интервалах. Теорема свертки спектров показывает, что перемножению сигналов не соответствует произведение о(ы) = 3~(в7)5~(ы), в котором значения Я~(с7) и Я~(ы) определены на одинаковой частоте ы. Для такого произведения справедлива теорема свертки сигналов: Я(ь7) = Я~(в7)37(о7) =' и(7) = — ~ и1(т)и7(2 — т) дт. Эта теорема доказывается аналогично соотношению (5.77), но с помощью прямого преобразования Фурье (5З8). При этом в интеграле свертки сигналов бесконечный верхний предел заменен на текущее время 7 для определения мгновенного значения сигнала в момент времени С 5.
Смещение спектра сигнатта. В системах связи применяют перенос спектра сигнала из одной полосы частот в другую. Смещение спектра по оси частот происходит, например, при преобразовании частоты .в супергетеродинных приемниках. На таком 237 ос В ! мд м ог Е й й Е з з э з ! з се 1 з Рис. 8.16. Смещение спектра сигнала ф от гх Е з переносе спектра основано и частотное уплотнение связнйх каналов в системах многоканальной связи.
При реальном смещении спектра в области положительных частот на некоторую величину Я свойство симметрии спектра (5.223) сохраняется. Указанное смещение спектра сигнала показано на рис. 5.16, Математически оно описывается следующим образом: 5о(ш) = 3(то — гьх хз(пп щ), (5.78) Рис. 8.17. Изменение спектральных составляющих н сигнала со смешан. иым спектром 238 где !ш! =н !1, а з)пп ш — функция знака, равная 1 при щ- О и — 1 при со (О. Смешение спектра на величину 17 означает изменение на эту величину частоты спектральных составляющих сигнала. При этом вектор на рис. 5.!4, а поворачивается на угол И, как показано на рис.
5.17, а. Подобный поворот совершают векторы хг всех спектральных составляю. щих сигнала. Поэтому и суммарный вектор (l„(1) на рис. 5.14, б поворачивается на такой же угол, как показано на рис. 5.17, б. При этом амплитуда 0 (1) и начальная фаза и) Ф(О) аналитического АЧМ-сиг- нала (5.68) не изменяются. 1й Следовательно, при Я(ш) Ф и(1) = (7 (1) соз Ф(1) (5.79) с учетом равенства (5.78) и формул (5.68), (5.67) получаем теорему смещения спеямра: 3о(ш) =' Я(ш — Й з!яп ш) Ф =; ио(1) = 17 (1)сов Фп(1) = Ю! ='с) (1)соз!) (1)61, (5.80) где Фо()) = Ф(!) + (2), охт()) = — '1 ) = го(!) + (2.
(5.8!) ! 5.4. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ Методы определения спектров реальных сигналов делятся иа трн основных вида — аналитические, численные н инструментальные. Особо следует рассмот- реть упрощенные способы аналитического определения ширины спектра. 1. Аналитические методы. Сплошные спектры сигналов определяются аналитически по интегральной формуле (5.18). Аналитическое определение спектра возможно в тех случаях, когда сам сигнал и(!) поддается аналитическому описанию.
Примером такого определения является нахождение спектра (5.27) экспоненциального сигнала (5.26). Для некоторых сигналов формула (5.18) может содержать не интегрируемую элементарно функцию. В качестве примера приведем еще один бесконечно протяженный сигнал со сплошным спектром. Им является импульс колоколообразной формы (рис. 5.!8, а), имеющий спектральную функцию той же формы (рис. 5.! 8, б): и(!) = е 'оо ыз 5(го) = 5(со) = е('о ). (5.82) Эта спектральная функция определяется из преобразования (5.18): з(го) = !— ~ е 'о'г+ыодб Дополнив здесь до полного квадрата показатель степени подынтегральной функции, находим 5(го)= ! е("о)'"~ -еб = нр г = — е(то) !Те "дх,' нр о' )гг~~Л -ь й 0 го а) д) Рнс.
З.!В. Колокольный сигнал н его спектр где х=р)+) —, дх=бд! гр ' 239 Соотношения (5.79) — (5.81) означают, в частности, что при смещении спектра сигнала на величину !с законы амплитудной и частотной модуляции аналитического АЧМ-сигнала не претерпе; вают изменения, а его частота изменяется на ту оке величину (2. Этот вывод справедлив и для реально модулированных АМ- и ЧМ-сигналов. где !1! ( т/2, но и(1) = 0 при !1~ ~ т/2. Подставив формулы (5.85) в интеграл (5.84) при = — т/2, после интегриро- вания получаем спектры пе- речисленных сигналов: 5(ох) — яп — со, 5(ох)— = — ) ьп ', ), 5(О) = — ' (5.86) — для прямоугольного им- пульса, 5(го) = 5(со) =,, яп' — ' их, аут 1 тут г Т У Т а) д') т а г г д/ и Х 2 г) 5(0) = ' х, — хР(ы) = 0 (5.87) — для треугольного импульса, Рис.
Б.19. Формы импульсных сигналов 240 Воспользовавшись табличным значением интеграла )е "дх = ! о =-уЯ/2, получаем спектр (5.82). Формула (5.!8) использовалась ранее для бесконечно протя-) женных сигналов. Однако прн этом нужна оговорка. Преобразование Фурье возможно в тех случаях, когда функция и(1), анисы, 1 ваюи4ая сигнал, удовлетворяет не только условиям Дирихле, но у условию сходимости интеграла ~ и(1) ! Ж.
(5.83) Если это условие ие удовлетворяется, то в отдельных случаях сплошные спектры можно определять искусственным способом. Примером является нахождение сплошного спектра (5.29) единичного скачка (5.28), для которого интеграл (5.83) не сходится. В принципе преобразование Фурье (5.18) получено для сигнаь лов конечной длительности т, которые появляются в некоторый момент времени 6о. Для них бесконечные пределы в интеграле (5.18) заменяют на конечные: 5(ох)= — ~ и(1)е ' ~81. (5.84) и Примером таких сигналов являются импульсы разной формы — прямоугольной (рис. 5.19, а), треугольной (рис.
5.19, б), косинусоидальной (рис. 5.19, в) и косинус-квадратной (рис. 5.19, г): иЯ = 1, и(1) = 1 — !1!, и(1) = сов л —, и(1) =сов и— 2 и х (5.85) и 2т соа (тм/2) 5( ) 2т ) соа (тм/2) л 1 — т~м~/л л 1 1 — т о> /л' 5( — ) = — ' (5 88) — для косинусоидального импульса, 5(0)= —,', 5( — ")= — ' (5.89) — для косинус-квадратного импульса, причем для спектров (5.86), (5.88) и (5.89) — ф(со) =)ел, у =О, 1, 2, ..., (5.90) где (е изменяет значение при перемене, знака спектральной гРункции, когда она обращается в нуль.
Спектры (5.86) — (5.89) показаны в области положительных частот на рис. 5.20, а — г. Здесь же пунктирными линиями изображены фазовые спектры (5.90). ф" 4Х 6х т т т Л /я 4л Дк, гт ' гв с т а) Г Е я Ж тк с Ю ю и М 4=к Ы е т г) Рис. 5.20, Спеитры импульсных сигналов Аналитическое определение спектров упрощается при использовании формул (5.70) — (5.76), если известны спектры непреобразованных сигналов. Например, прямоугольный импульс может быть получен в результате вычитания единичных скачков, как показано на рис. 5.21, а, б. Отсюда по формулам (5.29), (5.70) и (5.72) определяется спектр прямоугольного импульса: 2е 5(ог)= = ' з(п — м, 5(0)= †. (5.91) 241 Еще нагляднее выглядит упрощение в определении спектра ) треугольного сигнала, который получается при интегрировании) прямоугольного импульса (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
