Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(5.5) »=! Здесь начальная фаза — »р» обозначена с отрицательным знаком, чтобы ряд (5.6) удобно представлялся через косинусоидальные и синусоидальные составляющие: А» и(1) = 2' + 2,'А,созяЯЕ+ У В»з»пйа1, (5.7) »=~ »-~ где А» = 2Пы А» = 1/»,»соз»(»», В» = Ю„,»з1п»р», (5,8) так что П» = —, Ю»,» = ~А»+ В»», ф» = Агс1о —. (5.9) 2 А» Реальные периодические, сигналы и(1+ Т) всегда удовлетворяют условиям Дирихле, а именно: а) период Т может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция и(1) непрерывна и монотонна; б) в любой точке разрыва функции и(1) существуют конечные пределы и(1 — О) и и(1+О).
Для таких сигналов, как известно из курса математики, ряд Фурье (5,?) сходится к значению сигнала в точках непрерывности и дает в точках разрыва значения и(1) = [и(1 — О)+ и(1+0)]тт2, если коэффициенты Фурье (5.8) определяются по формулам Эйлера: тт» тм т 5 иксов/гОВ»(1 В» — 2 ~ и(1)з»пяй181, (5,10) — тм — тм 216 и(1) = -м- 2', (/м»еа»о'. (5.12) Здесь согласно формуле Эйлера (3.! ) и соотношениям (5.8) — (5.!0) тм (тм» = 1/ »е 'м = А» — )В» = — ~ и(1)е ™д1, (5.13) т — тм причем К,ю = Клю = 2Кш Ко = Ао/2 = К»ь/2, фо = 0 (5.14) Соотношения (5.12), (5.13) охватывают не только постоян- ную составляющую с частотой ом = О !2 = О, но и спектраль- ные составляющие с отрицательными частотами ш» = — я»1. Понятие отрицательных частот соответствует представлению, гар- монических колебаний не в виде одного вращающегося вектора, как в символическом методе (см.
рис. 3.2, а), а в виде двух сим- метричных векторов, вращаощихся в противоположных направ- лениях (рис. 5.4у. Нижний вектор на рис. 5.4, вращающийся в отрицательном направлении, как раз и соответствует отрицатель- ной частоте ы». Хотя эта частота является условным понятием, при использовании комплексного ряда Фурье (5.12) спектр сиг- нала надо формально изображать и в области отрицательных частот, как показано на рис.
5.5. Симметрия векторной диаграммы рис. 5.4 может быть описана следующим образом: К.( — ттй) = Км(/е!4), (5.! 5) ф( — (тУ) = — ф(я в»), или К„т»! = У», р» = — »р». (5.15') Рнц бя. Представление гар. моннческвх колебаннй явумв врашаюшнмнсн векторами Соотношения (5.15) означают также четную, симметрию спектра гю По своему физическому смыслу постоянная составляютцая Уо является средним за период значением и(т): тут и, =+ ~ (~)а. (5.11) — тлц Принятое для этой составляющей обозначение (5.9) делает первую формулу (5.10) пригодной и для определения коэффициента Ао, поскольку из этих соотношений вытекает равенство (5.
1! ) . Если воспользоваться известной формулой созФ = (ваш + + е Р")/2, то ряд Фурье (5.6) можно представить в комплексной форме: Рис. 5.5. Изображение комплексного гармонии амплитуд и нечетную симметрию спектра фаз, что отражено соответственно на рис. 5.5, а, б. Равенства (5.15') определяют значения параметров с отрицательными индексами. Если в соотношениях (5.2) принять Лго = 11, то понятие энергетической спектральной плотности можно распространить на периодические сигналы. При этом на интервале (! находится только одна гармоника, н вместо суммарной мощности спектральных составляющих следуе» рассматривать мощность одной гармоники. Следовательно, спектральная плотность, определяемая по второй формуле (5.2), получается пропорциональной амплитудам К„ соответствующих гармоник.
Таким образом, приходим к понятию спектральной плотности по напряжению; 5 = К„/1с. (5.!б) Перейдем в этом равенстве от вещественной к комплексной амплитуде: ()„,-з-Оа,. При этом, используя интеграл (5.13), сделаем в нем переход от дискретных частот к текущей частоте: И! — ~- гп. Тогда вместо вещественной .
спектральной плотности (5.1б) получим комплексную спектральную функцию от частоты пп гга 5(оз) = — "! = 5(го)е и"! = ~ ~ и(!)е ииг)д (5.17) и ггз В этом случае вместо дискретных спектров амплитуд (рис. 5.5, а) и фаз (рнс. 5.5, б) будем изображать непрерывные 5=У! -'раатд5 Рис. 5.6. Изображение комплексной спектральной Функции 218 Здесь 5(>о) = 5(>о)е >и"' = 5л(ы) — 15в(о>), я».=>г>.»= >% »->-гг>.>, — >)>О>) = агй5(о>) = — Агс!п5о(о>),'5л(го), 5л(го) = 5(ы)созф(го) = — ' $ и(!)созгогд С 5о(о>) = 5(го) з>п>Ф(го) = — $ и(1)з!пгоИС > л (5.19) ' (5.20) (5.21) 2>9 графики частотной зависимости модуля и аргумента комплексной спектральной функции (5.17), как показано соответственно на рис.
5.б, а, б: Эти графики также называют амплитудным н фазовым спектрами. 3. Сплошные спектры. Сигналы с дискретными (в том числе с гармоническими) спектрами являются бесконечно протяженнымн во времени. Такие сигналы в известном смысле идеализированы. Реальнл>е сигналы всегда имеют конечную длительность. Поэтому они, в частности, не являются периодическими сигналами. Однако если рассматривать бесконечный временной интервал, то любой сигнал конечной длительности можно условно считать повторяющимся на бесконечности. Поскольку же признаком периодичности сигнала является его повторяемость через интервал Т, сигнал конечной длительности можно рассматривать как периодический сигнагг с периодом Т- о , Отсюда вытекает, что спектр сигнала конечной длительности содержит спектральные составляющие, интервал между которыми О = 2п/Т- О.
Такой спектр с бесконечно миль>ми интервалами между смежными спектра~гьнымгг составлгяющими называют сплошным. Следовательно, сигналы конечной длительности имеют сплошные спектры. Сплошной спектр на любом конечном частотном интервале содержит бесконечное множество спектральных составляющих. Если бы эти составляющие имели конечные амплитуды, их суммарная мощность на любом конечном частотном интервале была бы бесконечно велика, поскольку бесконечная сумма конечных величин равна бесконечности. Это лишено физического смысла.
Однако из формул (5.10) и (5.9) следует, что в случае сплошного спектра амплитуды спектральных составляющих бесконечно: мали: 0.~1т — О. При бесконечно малых значениях амплитуды 0 и интервала Р спектральная плотность (5.16) остается конечной величиной. Поэтому описание сплошного спектра возможно с помощью спектральной функции (5.17), если при Т вЂ” оо принять О = = ого и (7~ = дК„е Я(ы) = "' с '""' = — ~ е(0е >л'М. (5,!8) Ен л— При принятых обозачениях соотношения (5.19) — (5.21) вытекают из формул (5.8) — (5.10).
Равенство (5.18) известно как прямое интегральное преобразование (интеграл) Фурье, а величина 5(ы) называется спектральной функцией. Ей соответствует спектральная плотность 5(ы) = д(7»,(ы)том, а также дифференциальная форма энергетической спектральной плотности 5,(ы) = бр(ы)Г'йо (или ЙРЯ/61). Для краткости будем говорить о спектре 5(ы), подразумевая под этим сплошной спектр, описываемый спектральной функцией 5(ы). Преобразование Фурье (5.!8) является однозначным: заданному сигналу и(1) соответствует единственное значение спектральной функции 5(ы). Справедливо и обратное утверждение: заданной спектральной функции 5(оз) соответствует единственное значение, сигнала и(1).
Такую взаимную однозначность (свойство взаимности преобразований) будем обозначать следующим образом: и(1) =: 5(ы). (5.22) Свойства симметрии спектра (5.15) остаются справедливыми для модуля и аргумента спектральной функции; 5( — )=5( ), ф( — ы) = — ф( ). (5.23) Из формул (5.23) и (5.21) вытекают также свойства четной симметрии вещественной частп спектральной функции и нечетной симметрии ее мнимой части: 5л( — ы) = 5»(ы), 5»( — ы) = — 5г(ы). (5.24) Учитывая свойства симметрии спектра ('5.23) и (5.24), его можно изображать только в области положительных частот.
Интегральное преобразование Фурье является линейным. Это означает, что при и~(1) Ф 5~(ы) и и»(1) — ' 5»(ы) справедливо свойство линейности: и(1) = А,иЯ + А»и»Я =: 5(оз) = А15~(ы) +- А»5»(ы), (5.25) где А, и А, — произвольные константы. Справедливость этого соотношения доказывается его подстановкой в формулу (5.18) с учетом свойства (5.22). Сплошные спектры присущи и некоторым бесконечным, а также «полубесконечным» сигналали ограниченным по времени с одной стороны. К сигналам «полубесконечной» длительности относится, например, экспоненциальный сигнал (рис.
5.7, а): .~ 0 при 1(0, 1е — и при т'»О, (5.26) гго где !1 > О. Спектральная функция (5,18) сигнала (5.26) определяется соотношениями или Я(го) = ., 5(оа) =,,— ар(оа) = — агс 1д —. (5. 27) Частотные зависимости функций (5.27) рнс. 5.7, б. показаны на Рис. 5.7. Экспоиеипиалаиый сигнал и его спектр 4. Смешанные спектры.
Выше отмечалась возможность сушествования смешанного спектра, состояшего из ' сплошного спектра и дискретных спектральных составляющих. Примером сигналов, имеющих такой спектр, является единичный скачок (рнс. 5.8, а): "® "" 1'""'-' (О при т(О, (5.28) Этот сигнал, называемый также функцией включения, играет важную роль в технике связи. С его помощью могут описываться сигналы при коммутации (включении и выключении) цепей. Например, экспоненциальный сигнал (5.21), который как бы включается в нулевой момент времени, достаточно просто описывается с помощью единичного скачка (5.28); и(С) = !(С)е Отсюда видно, что экспоненциальный сигнал (5.26) превращается в единичный скачок при () = О. По- атому сплошной спектр единичного скачка опи- сывается соотношения- ми (5.27) прн Р = 0: ' и С 5(го) = 1/)пы, Я(оа) = 1/пго, ' (5.29) — ар(го) = ~= и/2.
а) Рис. 5 а. Единичный скачок и его спектр 22! Однако единичный скачок имеет и постоянную составляющую, которая является дискретной составляющей его спектра. Она может быть найдена из соотношения (5.11), в котором после интегрирования на произвольном интервале [ — Т/2, Т/2] надо сделать предельный переход к значению (/ь при Т - ьь: тм =ф~ 81 т ь т или (/ь = 1/2. (5.30) Таким образом, полный спектр единичного скачка является 'смешанным, включая в себя дискретную спектральную составляющую (5.30) и сплошной спектр, описываемый спектральной функцией (5.29). Этот спектр показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
