Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 49
Текст из файла (страница 49)
5.8, б. Составляющие (5.29), (5.30) смешанного спектра имеют разный физический смысл и неодинаковую размерность. Поэтому их нельзя складывать непосредственно друг с другом. 5. Ширина спектра. Из предыдущего рассмотрения следует, что в общем случае спектр сигнала занимает бесконечный интервал частот [О, со ]. При этом определение ширины спектра (1.22) нуждается в установлении критериев, по которым могут быть определены граничные частоты спектра 1,. и 1,.„. Любой реальный сигнал с конечной длительностью т обладает конечной полной энергией В' и имеет на интервале т некоторую среднюю мощность р = Р = )Р'/т. Эта мощность равна суммарной мощности спектральных составляющих сигнала, которая может быть найдена через энергетическую спектральную плотность 5,()) = —: врю ь) (5.3! ) Если бы спектральная плотность 5,(1) была конечной величиной во всем интервале частот [О, ь], то интеграл (5.31) имел бы бесконечно большое значение.
Отсюда следует, что спектральная плотность может иметь конечное значение только в ограниченном частотном диапазоне, за пределами которого она должна стремиться к нулю. Таким образом, всегда имеется вполне определенный ограниченный интервал частот [1,„„„ )„...], в котором сосредоточена подавляющая часть мощности (5.31). Задавшись относительной величиной е = 0,9 —: 0,99 этой части мощности, можно найти указанный интервал частот ЬР„, который определяет ширину спектра в энергетическом смысле: ~з(1)п), брийэ = )ю., — )пш.
(5.32) згг Такое определение ширины спектра является довольно громоздким. Во многих случаях оно возможно только с помошью ЭВМ. Далее будут рассмотрены упрошеиные способы аналитического определения ширины спектра (см. $5,4.2). При ограничении ширины бесконечного спектра конечным интервалом частот Лр„пренебрегают спектральными составляющими, лежащими за пределами этого интервала. За счет отбра-.
сывания указанных составляющих гигмпеы претерпевают искажения. Однако они не связаны непосредственно с энергетическими соотношениями, использованными в критерии (5.32). Поэтому наиболее обьективным является определение ширины спектра, при котором ограничение спектра не приводит к искажениям сигнала, превышающим допустимую величину. Определение граничных частот спектра по этому критерию также требует расчетов на ЭВМ. 6. Связь ширины спектра с длительностью сигнала. Важным свойством спектра является связь его ширины с длительностью скгнала. Для доказательства сушествования такой связи рассмотрим среднюю спектральную плотность (5.33) Согласно определениям (5.32), (5.33) величины 5,(г) и 5,е ограничивают на спектральной диаграмме равновеликие площади.
На рис. 5.9, а зти площади показаны соответственно вертикальной и горизонтальной штриховками. а) Рпс. Зтх Знергетнческое апредененне ширины спектра и .тлнтетьнпстн сигнала Из формулы (5.3() видно, что ер = еКггт, т. е. получается усреднение неполной энергии сигнала е Ю' нз интервале т. Это нелогично, как видно из рис. 5,9, б, где показано текущее значение энергии шф сигнала иф. Энергия и, рассеиваемая, например, на некоторой проводимости 6, может быть определена по формулам (!.5) и (2.4). Возрастая неравномерно, но монотонно с течением времени, энергия ш(~) достигает значения Тет к моменту времени т, а значение е))т ~ 'ят 'достигается к моменту време'ни т, ~ т. Поэтому и усреднение энергии н))т надо производить 223 на интервале т„, который может быть назван энергетической длительностью сигнала.
При таком усреднении получаем ер = е)г'/т = ае)г'/т„, (5.34) где и = т,/т — коэффициент, зависящий от формы сигнала и выбранного значения е. Для сигнала с заданной формой н длительностью т изменение его энергии )р' приводит к пропорциональному изменению мощности (5.32) и средней спектральной плотности (5.33), поскольку. при этом ширина спектра Лг"„не изменяется. Поэтому величина (5.33) и энергия еЖ', соответствующая полосе ЛР,„, пропорциональны друг другу: е )р = )15,0, (5.35) где р — коэффициент, зависящий от формы сигнала и(1) и выбранного значения г. Таким образом, для любого си~нала заданной формы из соотношений (5.33) — (5.35) находим связь между длительностью сигнала и шириной его спектра: т,ЛР„= а6 = С,. (5.36] Здесь С, — константа, которая имеет разные значения для сигнала различной формы и называется базой этих сигналов.
Свойство (5.36) играет существенную роль при выборе параметров сигналов. Длительность сигнала необходимо уменьшать, чтобы за единицу времени можно было передать по каналу связи большее количество информации. С другой стороны, ширину спектра также целесообразно уменьшать. Это позволит разместить в отведенном частотном диапазоне большее число каналов связи и облегчит борьбу с помехами. Указанные требования к параметрам сигнала являются противоречивыми, так как согласно свойству (5.36) лри уменьшении, длительности сигнала задинной формы ширина его спектра возрастает. Поэтому остается альтернативный выбор между уменьшением т. или ЛР,, Можно также использовать сигналы с минимальнымн значениями константы С,, если это допустимо.
7. Полюсы спектральной функции. При 'рассмотрении спектральных функций удобно пользоваться понятием мнимой частоты р =)4ь, называемой также мнимым оператором, При этом спектральная функция (5.18) является вещественной функцией от р: Я(~о) = 3() ы) = 3(р) = — ' ~ и(() е "дй (5 37) Например, спектральная функция (5.27) при использовании формы (5.37) имеет вид рациональной вещественной функции: 5(р) = 1/л(р + ()). (5.33) Эта функция обращается в бесконечность на частоте р, = — которая называется полюсом спектральной функции. 224 При этом говорят также о полюсе спектральной функции в точке рь Таких полюсов может быть несколько.
Пусть спектральная функция (5.37) состоит из двух слагаемых вида (5.38): — <. ~и+ .( 40)- .(.+5)( .») — .~ ~" ~~) (5.39) где (11) О, 5~ ~ 0 и а = 5~ + (1, ' (1 = 5<5ь 4 = 4> + Ам В = ' =415з+Афь В силу свойства (5.25) спектральной функции (5.39) соответствует сигнал, являюшийся взвешенной суммой двух экспонент вида (5.26): иЯ= 1(1)(А,е «" + Азе ~"), (5.40) Спектральная функция (5.39) имеет два полюса в точках р, = — 5~ и рз= — 5ь В общем случае спектральная функция 5(р) имеет полюсы в и точках рз (й = 1, 2, ..., и).
При этом по аналогии с выражением (5.39) она может иметь следующий вид: Ф Здесь Е, — некоторая полиномиальная функция от р, рз(р)= И(р — р)= Х п р', (542) й=- ~ а=о значения рз являются корнями уравнения Е~(р) = О, (5.43) а коэффициенты аз — функциями этих корней, как и коэффициенты полинома Еь Величины рз называются также корнями полинома Г~(р). Аналогично сигналу (5.40), имеющему спектральную функцию (5.39), получаем сигнал, соответствуюший соотношениям (5.41) — (5.43): и(1) = 1(1) У А~е"и (5.44) г= 1 Рассмотренные корни рз полинома г"з(р) являются вещественными величинами.
Соответственно и полюсы спектральной функции Я(р) = Я(ы) называются при этом вешественными полюсами. Существенно отметить, что в общем случае среди п корней уравнения (5.43) может сушествовать некоторое четное число комплексно сопряженных корней ркм~.п = оз ~ )ыз. Отсюда следует, что в обшем случае надлежит пользоваться понятием комплексной частоты р = о+)ы, рассматривая ее как комплексную переменную для спектральных функций 5(р).
Соответственно при этом говорят о комплексных корнях полинома р~(р), комплексныхчполюсах спектральной функции 5(р) =Я(ы) и комплексной плоскости с координатной системой (о, 1ы). в-~ззз ззз Комплексным корням Р» — — па+)оэе соответствуют слагаемые суммы (5.44), имеющие вид иа(!) = 1(1)Алеки'ь'"" = !(1)Аее и~"", или иа(1) = 1(!)Аье л(сов ма!+15!и юа1). (5.45) В случае вещественных сигналов (5.44) мнимые составляющие слагаемые (5.45) приводятся, поскольку ил+~(1) имеют такие же составляющие с противоположным знаком. Полюсы функций (5.38), (5.39) находятся на отрицательной полуоси комплексной плоскости р(о, )оэ), поскольку р~ = — (1(О и р~ = — й~ О, рэ= — (3т~ О.
Это показано на рис. 5,!О. Если Ра Рг Рк г д т с ц~ Рис. 5.1!. Нарастаюцгий по экспо. иеите сигнал и его полюс Рис. 5.10. Полюсы спектральиой функции иа комплексиой плоскости бы было, например, 6 = О и р~ = — 6 ~ О, то полюс располагался бы в правой полуплоскости р(о, )ю).
Однако при этом сигнал (5.26) превратился бы в бесконечно нарастающую экспоненту, что физически нереально. Такие же нереальные сигналы соответствуют любым полюсам в точках ра = ос+)юе при оа ) О. Как видно из соотношения (5.45), в, этом случае получаются неограниченно нарастающие колебания. Таким образом, все полюсы спектральной функции любого бесконечно («полубесконечно») протяженного сигнала, который не возрастает неограниченно на бесконечности, расположены в левой половине комплексной плоскости р(о, 1ю), т. е. в левой полуплоскости Р(а, )ю), как показано на рис. 5.10; ое ( О, Ут = 1, 2, , и, (5.46) Для таких сигналов возможен, однако, случай оь= О, что соответствует спектральной функции (5.29) единичного скачка (5.28) или незатухающим во времени колебаниям (5.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
