Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 53
Текст из файла (страница 53)
5.2!, б, в). Согласно формулам! (5.91) и (5.75) получаем спектр треугольного сигнала: о(щ) = —. ( . — — е ~"')= (5.92) Таким образом, определение спектра (5.92) обошлось без непосредственного использования формулы (5.84), которая в данном случае требует интегрирования по частям, т. е. приводит к более громоздким вычислениям. Рис. 5.2!. Преойрааованир скачков в и) //с! прямоугольный импульс и прямоуголь- ного импульса в треугольный сигнал а) Рис. 5.22.
Повторяющийся сигнал конечной длительности Определение спектров упрощается и в случае произвольных сигналов конечной длительности т, которые повторяются М— — 1 раз через одинаковые интервалы Т ) т (рис. 5.22). Согласно свойствам (5.70) и (5.72) эти спектры определяются через спектр (5.84): ®л(„;) Я(щ) + 5(щ)е — гьг + Ще — П.,г + + Я(гн)е — Кю — !!.,г или с учетом формулы геометрической прогрессии ф ) е '" ' — ! о( ) — кл — и гге мп(ммт/2) (5 93) ' г — ! я'п (юу/2) В частности, спектр ланки из Аг ил!пульсов определяется по формуле (5.93), где Я(го) — спектр первого импульса.
2. Аналитическое определение ширины спектра. Как было отмечено, энергетическое определение ширины спектра (5.32) требует численных расчетов на ЭВМ. Такой расчет, например, 242 для спектра (5.86) прямоугольного импульса дает следующее значение ширины спектра: Ласс= 0,743/сэ, (5.94) аб а) 5 азам — (сйплт), 1 = 0,1т, ЛР, = — '. (5.95) к(г г Если же определять ширину спектра по огибающей 5„(1) = = 1/и'1 на уровне 5„= 0,15(0), то решение находят аналитически: ЛГ, =— !о з,!в кс т — = — = 0,1т, ! ! к(г ггасс (5.96) Таким образом, в зависимости от выбранного критерия шири- на спектра получается разной.
Однако в любом случае она удов- 243 где т, = 0,9т при е = 0,9. Это значение Лг", удовлетворяет чсловию (5.36), где Сэ = 0,743. Определение ширины спектра (5.94) является аналитическим лишь на этапе нахождения спектра (5.86). Чтобы опре- чгагаас гг делить граничные частоты спектра в общем виде, можно ввести упрошенный Л критерий. С этой целью рассматривают спектральную плотность 5 (или 5,) в гагр„ области ее максимального значения 5 „ (рис. 5.23,а). При этом частоты 1 г„и 1 ., определяются на уровне 5 = 0,15 ,„ ваи 814 или 5 = 0,015„,„(10 25, „, 10 '5, „).
Часто максимум спектральной плот- И ности получается на нулевой частоте ркс. з,зз. Окрадааакае (см. рис. 5.18), При этом в определениях шарики спектра во укра- ширины спектра (1,22) и- (5,32) следует гцакааги крктаркки принимать 7,„= 0 и ЛР, =1 ., = 1„как показано на рис. 5.23, б. В случае иемонотониых спектральных функций (см. рис. 5.20) ширину спектра можно также определять не по самой функции, а по ее огибающей 5„, как показано на рис. 5.23„в.
При этом граиичиьш час~о~ы спектра находят иа уровне 5с, =0,15~., илн 5сг — 0,015гсас ° Определим для примера ширину спектра (5.86) прямоугольного импульса. Спектральная плотность при этом изменяется немонотоино. Если задаться уровнем отсчета 5(1,) = 0,15(0), то для определения ширины спектра ЛЕ, =г„получается трансцен, дентное уравнение, которое опять-таки решается численными методами: откуда т = ((п 10)гг(1 2,37)3, т = 2-1/гп 10/6 3,037(). (5.98) Таким образом, для экспоненциального и колоколообразного сигналов в условие (5.97) следует подставлять соответствующие значения их длительности из равенства (5.98). Ширина же спектров этих сигналов легко определяется по упрощенному критерию из формул (5.27) и (5.82). Описанным здесь образом определены базы С, и С для различных сигналов, которые приведены в табл.
П. 8. Из таблицы видно, что базы получаются меньше для сигналов, изменяющихся во времени более плавно. Из этой закономерности выпадают лишьнекоторые базы С, что объясняется упрощенностью критериев в их определении. Поэтому энергетический критерий более объективен. Для сложных сигналов, которые не описываются аналитически, ширина спектра может быть приближенно определена расчета ным путем при наличии у иссле- дователя некоторого опыта и интуиции. Такое определение основано на представлении сложного сигнала в виде суммы более простых сигналов.
Например, сигнал на рис. 5.24, а представляется суммой синусоидального импульса длительностью т1 и импульса отрицательной полярности длительностью та — т1 ) ты Можно ожидать, что ширина спектра всего сигнала равна ширине спектра синусондального импульса. Лля него известны базы С (см. а) Рис. 5.24. Выделение иросгейшего сигнала иа сигнала саажнай формы 144 летворяет условию, аналогичному равенству (5.36), в котором надо изменить базу сигнала: т74Г, = С. (5.97), Здесь для величины (5.95) С =- 2,68, а для величины (5.96) С=318. При использовании условия (5.97) для бесконечно или «полу-; 'бесконечно» протяженных сигналов следует условиться о критерии выбора т.
По аналогии с ограничением бесконечно протяженных спектров им может служить ограничение длительности сигнала на уровне.0,1и .„или 0,01и,„. Например, для эспоненциального сигнала (5.26) и колоколообразного сигнала (5.82) соответственно получаем е — аг 0 1 е — фгглр 0 четвертую строку в табл. П.8). Отсюда с учетом соотношения (5.79) определяется ширина спектра: ЛР, = С/ть тЛР, = тС/ть (5.99) Согласно второй формуле (5.99) возможно изменение формы сигнала, при котором произведение длительности сигнала на ширину спектра возрастает вместе с увеличением длительности сигнала. Пример подобного изменения сигнала показан на рис.
5.24, б. Помимо рассмотренных возможны искусственные методы аналитического определения ширины спектра. Например, для телевизионного сигнала изображения (видеосигнала) граничные частоты спектра могут быть найдены на основе их специфической приближенной оценки. Смена телевизионных кадров осуществляется с частотой Л) = 25 раз в секунду. Однако частота 25 Гц не является минимальной частотой сигнала изображения. При смене кадров основной фон изображения (например, белый или черный) может сохраняться на протяжении нескольких секунд. Таким образом, частота изменения фона может составлять доли герца. Следовательно, минимальная граничная частота спектра сигналов телевизионного изображения практически равна нулю (1м,.
= 0). Максимальная граничная частота спектра видеосигнала 1 „„= 1„может быть найдена в предположении, что изображение состоит из чередующихся черных и белых квадратных клеток, как на шахматной доске (рис. 5.25). Обшсе число М клеток определяется при заданном числе и строк изображения и при известном соотношении сторон кадра й = Ь/а = сп/и: М = тп = = йп'. Полагая, что при развертке одной пары клеток формируется один период синусоидальных колебаний, находим, что одному кадру изображения соответствует М/2 = ппз/2 периодов.
При этом передаче Лг кадров в секунду соответствует частота 1,„= 1, = МЛг/2 и ширина спектра (Гц) ЛРг = )г = йп'А(/2. (5.!ОО) В советском телевизионном вешании принят следующий стандарт; й =- 4/3, и = 625, Л( = 25. Отсюда по формуле (5.100) определяется ширина спектра видеосигнала ЛР, =6,5 МГц.
Столь же широкий спектр имеют простейшие импульсы длительностью в несколько микросекунд (см. табл. П.8). Поэтому по аналогии с видеосигналом их называют видео- импульсами. 1234 1 4 ГЛ-1 т и-1 "45 Рнс. 5.25. Разбивка телевизионного кадра на элементы 3. Числениые методы. Числениые методы позволяют вычислять спектры сигналов, для которых не удается подобрать достаточно точную аппроксимирующую функцию и(!). В этих случаях сигнал может задазп с ваться таблицей дискретных значе- ний и~ = и(1~), иг = п(|з), ..., и„= Рис. 5.2а.
Дискрстизаиии ие. = и(гз) либо графиком и(7), по кориодичесиого сигнала торому определяются те же дискрет- ные значения сигнала. Рассмотрим сначала общую схему определения спектра периодического сигнала. При определении т гармоник такого сигнала указанные п дискретных значений сигнала позволяют составить по формуле (5.7) л уравнений: иг — — Уа + А~ соз И1+ А»сов 2И~ + ... + А сод тИ~ + +В~ ыпИ~ + Взз!п2И~+ ... + В ыптИь пз = (7о + А ~ соз Из + Аз соз 2Из + ... + Аи соз тИз + + В~ з!и Из + Взсоз 2Из + ... + В,„ып тИ», ' и„= Уо + Аг соз Ии + Аз соз 2И, + ... + А соз гпИ, + + В~ ыпИ„+ Взз!п2И„+ ...
+ В ып гиИ„. В этой системе уравнений неизвестными являются 2т коэффициентов Фурье А», В» и постоянная составляющая Уо. Эти иеизвестиые, а следовательно, амплитуды и фазы гармоник (5.9) могут быть определены при и = 2т + 1. Дискретные отсчеты сигнала иг целесообразно делать через одинаковые временные интервалы М на протяжении одного периода Т = пМ, как показано иа рис. 5.26. При этом проще обходиться без рассмотренных уравнений и непосредствеиио определять комплексные амплитуды гармоник по формуле ~(5.!3). Для этого следует представить ее в виде дискретной суммы на интервале [О, Т), приняв Ж = сзг' = Т/и: л с)з» = — ','г иге '»"'з' й = О, 1, 2, ..., т.
(5.101) Такой метод численного расчета можно распространить и на произвольные сигналы конечной длительности т. Для этого условно представим сигнал повторяющимся с периодом Т = =т, как показано на рис. 5.27. При указанной периодизации »7 г-Т гТ г сигнала его сплошной спектр заменяется приближеииой сум Рис. 5.27. париодизаиии произвольномой дискретных спектральных го сигнала иоиачиой длительиасти 24б составляюших, которую надлежит рассматривать на интервале [О, т1 В общем случае формула (5.101) принимает вид (при ЯЛ! = 2пЛ1/т = 2п/и) (/ ~ = — ~'„и~е ьмм~", й = О, 1, 2, ..., т.
(5.!02) 1 ! Равенства (5.!О1) и (5.102) называются дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Эти преобразования осуществляются путем расчетов иа ЭВМ, для чего дискретные отсчеты непрерывного (аналогового) сигнала кодируются в цифровой форме, образуя последовательность чисел — дискретный сигнал. При этом используются операторы действий с комплексными числами. Осушествление ДПФ требует предварительного определения числа и дискретных отсчетов сигнала. Это можно сделать, учтя значение ширины спектра ЛЕ, = тЕ = т/Т = т/пЛЛ Если принять приближенно и ж 2т, то получим отсюда значение интервала дискретизации сигнала. Л! = 1/2ЛЕ,.
(5. 103) Это равенство составляет содержание теоремы отсчетов В. А. Котельникова, которая применяется не только для ДПФ, но и при любой цифровой обработке сигналов. Формула (5.103) позволяет определить минимальное число и дискретных отсчетов для произвольных сигналов длительностью т = Т: (5.104) и = Т/Л! = 2тЛЕ, = 2С, где С вЂ” база сигнала. Согласно формулам (5.99) для сложных сигналов определенной формы величина (5.!04) пропорциональна длительности сигнала при фиксированной ширине его спектра. Например, для сигнала с шириной спектра ЛЕ, = 5 кГц получается и = !00 при т = 10 мс и и = 10' при т = 1 с. Соответственно числу и возрастает количество элементарных арифметических действий при расчетах по формуле (5.102).
Только вычисление показательной функции по этой формуле производится Л( = и'/2 раз, поскольку А' = и,„(„,„, й,„ = т, 1„„= пж2т. Для расчета же показательной функции на ЭВМ требуется произвести в лучшем случае десятки арифметических действий. Поэтому в приведенном примере прн и = 10' указанные операции потребуют нескольких миллиардов арифметических действий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
