Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Такому преобразованию должна подвергаться в формулах разложения каждая пара комплексно сопряженных слагаемых. 3. Символическое отображение сигнала. Комплексная форма ряда Фурье (5.!2) и интеграла Фурье (5.18) предполагает отображение спектральных составляющих сигнала двумя вращающимися век- 1" ч~ та торами (см. рис. 5.4). Это не соответствует символическому методу Юга)а'еэ (см. $3.! .1), согласно которому гармонические колебания отобра- М вЂ” !айи) жаются одним вращающимся векто- О и ром (см.
рис. 3.2, а). Одностороннее преобразование а) Фурье (5.50) соответствует символическому отображению спектральных составляющих сигнала и его спектра 1 а в целом. При этом на некоторой частоте ы бесконечно малая величиЦлй) ! на 60 5(ы)бы представляет. собой вектор, условно показанный на рис.
5.14, а в виде конечного отрез. ка. Этот вектор, начальное положе- УГЕ) ние которого характеризуется фазо- О аг и вым углом — ф(о~), вращается на комплексной плоскости с угловой Ю) скоростью ы. Проекции этого вектора на вещественную и мнимую оси а)й) имеют значения, аналогичные величинам (3.4), (3.5); ()и = ()Кк.соз [ш) — т[((ш)[ = 5(ш) соз [ш) — тр(ш)[бш, (5,62) ()и = с)Кк ° з(п [ш) — ф(ш)[ = 5(ш) з!и [ш) — ф(ш)[с)ш. (5.63) Этим проекциям соответствует символическое отображение спектральной составлякнцей на комплексной плоскости, аналогичное,величине (3.3): с(и = с(и + [((й. (5 64) Интегральное сложение проекций (5.62) дает искомый сигнал (5.50).
При интегральном сложении 'проекций (5.63) получается сигнал, сопряженный по фазе с сигналом (5.50), который показан на рис. 5.!4, б: й(() = ~ 5((о) з!и [ш( — з[((ш)[с)ш*. где значения й= О, 1, 2, ... меняются при и(1) = О, так что угол Ф(1) последовательно переходит из одного квадранта в другой. Такое изменение во времени фазового угла Ф(() означает врашение вектора Кк()) с некоторой угловой скоростью ш()). Эта переменная скорость определяет изменение фазового угла в дифференциальной форме; ш(1) =,( ), Ф(() = ~ ш(() Й.
(5.67) Из векторной диаграммы рис. 5.14, б и соотношений (5.66), (5.67) следует, что заданный 'сигнал может быть представлен в виде сиенала, модулированного по амплитуде и частоте: и()) = К„(1) соз Ф()) = ()м(1) сод ~ ш()) й, о где Ф(0) — начальная фаза сигнала. (5.68) * В курсе высшей математякк показывается, ято сопряженный по фазе сигнал (б.бб) может быть найден непосредстненно по заданному сигналу и(() ) г ийд с помощью ннтегрального преобразонання Гкльберта: ир)= — у — 'бт, где и ) — т =нп((~ + [ ) 232 Указанному сложению проекций гармонических составляющих соответствует интегральное сложение векторов с(К„= ' = 5(ш)()ш, которое осушествляется по правилу параллелограмма.
При этом сигналам (5.50) и (5.65) соответствует на комплексной плоскости суммарный вектор Кк(т), повернутый на некоторый угол Ф(1). Модуль и положение этого вектора определяются из векторной диаграммы рис. 5,14, б: с Р(=Л$ $. '(((, а((( — ' (т«(((( (((ьь . (ььз( Поменяем здесь порядок интегрирования: )Р=; ~ 5( )д ~ ~(!)д"'61= —;,' ~ 5( )д ° Х Х ( —, ~ и(1) '"ид!).
Согласно формуле (5.!8) полученное выражение в скобках представляет собой комплексно сопряженную спектральную функцию 5( — ы) =5"(ы). Таким образом, под знаком первого интеграла получается произведение комплексно сопряженных функций 5(<ь)5ь(ы) = 5'(о). При этом находим 2 Учитывая симметрию спектра (5.23) и исходное соотношение, окончательно получаем ))т = ~ и'(!)61= я ~5'(ся)йы. о (5.69) Это равенство составляет содержание теоремы Рэлея.
Оно устанавливает связь полной энергии сигнала с его спектральной плотностью в отличие от формулы (5.31), по которой эта энергия выражается через известную длительность сигнала т и его энергетическую спектральную плотность. Кроме того, следует иметь Такой сигнал называется аналитическим АЧМ-сигналом. Он является символическим отображением заданного сигнала и(!), поскольку форма его описания соответствует символическому отображению спектра сигнала. Символическое отображение сигнала (5.68) присуще всем сигналам, имеющим любые спектры — сплошные или дискретные.
В частности, в форме аналитического АЧМ-сигнала (5.68) могут быть представлены сигналы, изображенные на рис. 1.7, 5.7 и 5.8. Однако в физическом понимании процесса модуляции эти сигналы не модулированы ни по амплитуде, ни по частоте, т. е. не являются физическими АЧМ-сигналами, описанными в $!.2.4. 4. Определение эн"ргии с пеналя по спг -~зл.ной функции. Для сигнала неизвестной конечной длительности полная энергия может быть определена по формуле (!.5) при бесконечно большом верхнем пределе интегрирования.
Эта энергия на единичном сопротивлении с учетом закона Ома (2.1) и преобразования Фурье (5.47) определяется следующим образом: в виду, что энергия (5.б9) выделяется на единичном сопротивлении, а формула (5.31) справедлива в принципе для любого сопротивления. й 5.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ И ИХ СПЕКТРОВ Из курса высшей математики известен ряд теорем, устанавливающих связь мемду некоторой Функцией н ее иреобразоввнием по Фурье.
В принципе указанные теоремы относятся к преобразованиям сигналов н нх спектров. Однако некоторые мз этих теорем носят Формальный характер и ие соответствуют реальным преобразованиям сигналов и спектров. Поэтому рассмотрим такие преобразования с учеюм характера процессов в цепях. 1. Сложение, усиление н ослабление сигналов. Сложение, усиление и ослабление сигналов являются линейными операциями. Поэтому результаты этих операций вытекают из свойства линейности (5.25), которое в применении к цепям описывает взвешенное суммирование сигналов. Для простого сложения сигналов, когда А~ — — Ат= 1, получаем теорему сложения: их(1) = и~(1) + ит(Г) =: ох(оз) = 5 ~(оз) + 5т(ю), (5 70) ' где и~(1) =: В~(<о), ит(Г) =: Й(ш). Для усиления или ослабления сигнала в А раз из того же свойства (5.25) вытекает соотношение, называемое теоремой масштабое: ил(1) = АиЯ вЂ” ' ох(ю) = Ао(ю).
(5.71) 2. Смещение сигнала Во времени. Соотношения (5.48) и (5.49) согласно обозначению можно представить в виде (5.22) теоремы смещения сигнала: и,(Г)нн и(1~т) ='ол,( )=е '"'~(ю), (5. 72) где 1) =г-т, причем нижний знак при т ) 0 соответствует запаздыванию сигнала (см. рис. 5.12). Поэтому и соотношение (5.72) называют также теоремой запаздывания.
Согласно определению (5.19) и второму равенству (5.72) спектральная плотность смещенного сигнала не изменяется, а фазы его спектральных составляющих получают соответствующие приращения: 5,(ю) = 5(ш), — ф,(ю) = — тр(ш) ~ты. (5.73) Таким образом, при смешении сигнала изменение его спектра состоит лишь в фазовом сдвиге спектральных составляющих сигнала. Следовательно, такое преобразование сигнала является линейным. 3. Дифференцирование и интегрирование сигнала. Согласно свойству (3.!4) дифференцирование по времени гармонических 234 спектральных составляюших, записанных в символической форме, означает их умножение на оператор ро: —,'„(би,2-') =,", (5(.)г"'бы) =1 Я( )~-'б . Реальные сигналы, описываемые подобным образом, существуют на интервале (О; т(, где они имеют конечное значение, как показано на рис.
5.! 5, агб. При этом скачкообразный фронт сигнала и(!) не дифференцнруется. Для таких сигналов теряемую при дифференцировании спектральную составляюшую 5л(0) найдем непосредственно из определения (5.18): г 5л(0) = 5л(0) = — $ ил(1) й = = — (и,(т) — и,(0)(, л. ' а) 1 иг итгт) иг К;ГГ1 нлн 5л(0) = и,(т)/л, (5 у4) и,12) игтт) поскольку всегда и;(0) = О, как это видно из рис.
5.15, б. Что касается появления лишних спектральных составляюших при интегрировании сигнала на интервале (О, 1], то они обусловлены отсутствием ограничения на верхний предел интегрирования~ й При этом формально может быть 1) т, так что интегрирование сигнала рис. Б.15. Интегрирование сигнала на конечном и бесконечном интервалах 235 Отсюда следует, что при дифференцировании сигнала весь его спектр нужно умножить на указанный оператор )от. Однако при этом будет потеряна саставляюшая спектра )го5(от)!е=о =).ОХ Х 5(0) = О, которая в общем случае присутствует в спектре продифференцированного сигнала. Чтобы избежать указанной потери, рассмотрим сначала изменение спектра при интегрировании сигнала. Согласно символическому методу это изменение заключается в делении спектра на оператор )со.
При таком делении, однако, в спектре проинтегрированного сигнала возникают лиш: ние спектральные составляющие. Их появление обусловлено самим определением сигналов ил(1) и и,(1), получающихся прн их взаимном дифференцировании или интегрировании: ил(1) = — "', иЯ = $ил(!)дй о ведется фактически на интервале [О, оо]. В результате получает-. ся сигнал и, (!), показанный на рис.
5.!5, в. Этому сигналу и ! соответствует спектр Я, (о() = Яг(<о)/]оо. Чтобы найти спектр 5,(ы) сигнала и,(!), определенного на: интервале [О, т], из сигнала и, (!) следует вычесть смещенный скачок и~(!), показанный на рис. 5.15, г. Согласно преобразованиям (5.71), (5.72) и формуле (5.29) спектр этого скачка 5~(ы) = = и,(т)е '"'/]пы. Отсюда в соответствии с преобразованием (5.70) находим спектр проинтегрированного сигнала: или Фоо) = —. [5«(ы) — — и,(т)е Переходя для преобразуемого сигнала и его спектра к обозначениям и(!), Я(ы), с учетом соотношения (5.74) получаем теоремы интегрирования и дифференцирования сигнала конечной длительности т: и;(!) = ()и(!)Й =; о;(оо) = —.[о(м) — 5(0)е ' '], (5.75) Эти теоремы справедливы для сигналов, начинающихся в нулевой момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
