Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1095414), страница 67
Текст из файла (страница 67)
С учетом рис. 7.2, б этот отрезок линии имеет сосредоточенные параметры Лоб( и Уой(, как показано иа рис. 7.3, б. Применив законы Кирхгофа и Ома к эквивалеитвой схеме элемента линии о! (рис. 7.3, б), получим уравнения ()+ й0 — 12ой! — 2,й(й) — () = — О, 1+ 61 — 1 — (1 Уой(= О. Приводя здесь подобные члены в пренебрегая третьим слагаемым в первом уравнении как бесконечно малой величииой второго порядка, после деления иа й! получаем — = Ко(, — = Уо((. вд . о! в! — '' ж (7.
2) Эти уравнения известны под названием первого и второго телеграфных уравнений. Они описывают закон изменения амплитуды и фазы гармонических колебиний вдоль линии. 3. Волновые уравнения. Для решения телеграфных уравнений надо разделить в иих переменные 0 и 1. С этой целью продиффереицируем уравнения (7.2) по Е о 0 г(1 Ы! гд —:, =Хо —,— =Уо —. шг — ш' ш' — ж' Подставив сюда зиачеиия первых произвольных из уравнений (7.2), получим так называемые волновые уравнения: —,— у ((=О, —,, — у-1=о, агд .
аг( а(г ~(г (7.3) где у = ~Яоуо = а+)р. (7.4) Эта величина является комплексным параметром длинной линии и называется коэффициентом (постоянной) распространения (волны). Его вешествеииая и мнимая части а, р рассматриваются ниже. Из формул (7Л) следует, что при Яо = О и бо =О коэффициеит распространения (7.4) является мнимой величиной: у ) я.
= о = ) ог фоСо = )(ь, а = О, Р ( ~-о = бо = оо у(1оСо . (7 5) . Длинная линия с параметрами ('7.5) называется линией без потерь или идеальной длинной линией. 4. Решение основных уравнений. Для решения однородных волновых уравнений (7.3) составляем их характеристическое уравнение и определяем его корни: р' — у' =О, рг,г = ~у. Отсюда получаем искомое решение: () = А, е"-' + Л ге '-', 1 = А оегг + А,е '-'. (7.5) Для определения постоянных интегрирования Ль ..., А, иеоб- 314 ) = —;(А1Ф вЂ” Аге 8), или с учетом обозначения (7А) г' = — (А ~ е'-' — А ге '-'), 2 (7.7) где 8, = Я,е'е' = (7.8) Эта комплексная величина имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением длинной линии.
Из формул (7.1) следует, что волновое сопротивление ('7.8) линии без потерь ()7о = О, бо = О) является вещественной величиной, кок и диссипативное сопротивление: 8,~ =8,= = „Е''. (7.9) Волновое сопротивление (7.8) и коэффициент распространения (7.4) называют также вторичными параметрами линии. Рассмотренные основные уравнения длинной линии и их решения получены при отсчете пространственной координаты 1 от конца линии. В ряде случаев удобно вести отсчет расстояния Р от начала линии. Прн этом согласно обозначениям на рис. 7.8, а в уравнениях (7.6) и (7.7) следует произвести замену переменной 1= (е — Р, Тогда получаем ()=В,е 8 +Вгехг, (= — (В,с тг — В,е'-'), (7.10) г, где В, =А,еве, Вг=Аге '-" — новые константы интегрирования, которые можно определять так же, как и константы Аь Аг, т.
е. непосредственно из граничных условий. й Уйь ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Волновые процессы в длинной линии могут иметь довольно сложный характер. Иэученне этих процессов основывается на рассмотрении трех основных типов волн — бегужнх, стоячих и смеюаниык. Такие волны наблюдаются не только в электрических длинных линиях, но н в любых системах с распределенными параметрами. 315 ходимо задаться граничными условиями.
Обычно используют значения напряжения и тока либо иа нагрузке (Й~=о = ()г, l~~=о=гг), либо на входе линии (()1,=н —— ()ь 7~~=и = гг1). Чтобы не определять четырех постоянных интегрирования, решение (7.6) для тока выражают через найденное напряжение. Для этого, определив из (7.6) производную —, подставим' ее в' первое телеби б1 графное уравнение (7.2): !. Бегущие волны. Для анализа волновых процессов в длинной линии рассмотрим решение ее основных уравнений. Напряжение и ток (7.б), (7.7), (7.10) найдены в виде суммы двух составляющих: () = () ' + 1)", 1 = Г + )", (7.11) где 1/' = В е' -'', 1Г' = Аае '.", 1' =-()'/7.„ Г' = — (Г'Я,. (7.12) Рассмотрим каждую из этих составляющих в отдельности. Экспоненциальные множители в равенствах (7.12) являются безразмерными величинами, поэтому константы В, и Аа имеют размерность напряжений.
При этом величина В~ = В, = (Г ~, =, = = ()( представляет собой действующее напряжение ()' в начале линии (Г=О), а величина Аа=Аа=(Г'!~=а=()'; — действующее напряжение ()" в конце линии (1 = О). Переходя к комплексным амплитудам этих напряжений, получаем Отсюда в соответствии с символическим методом определяются мгновенные значения напряжений и' = Ке(()йса ') и и" = = Ке(()~~са"). Учитывая при этом обозначения (7.4), находим и' = (l„'ое "гсоз(ы! — (1Г+ф(), иа=-(/'„',ае "соз(ыг — (11+агй), (7.13) где ф, ф7 — начальные фазы напряжений и' и и" соответственно в начале и в конце линии. Рассмотрим сначала напряжения (7.13) в линии без потерь.
Согласно обозначениям (7.5) в идеальной линии напряжения (7.13) имеют значения и' = ()а~сов(ы1 — (1Г+ф(), и" = ()~,',асов(ыг — (11+ф)), (7.14) . где (! = (1а, а нулевой индекс опущен для общности записи. Напряжения (7.)4) изменяются как во времени, так и в пространстве, т. е. вдоль линии. Следовательно, по определению (см. $1.2.5), они представляют собои две волны напряжения. Фазы Ф' = ы1 — (1Г + ф( и Ф = Ы вЂ” (11+ арал этих волн линейно нарастают во времени с угловой скоростью ы (рад7с) и линейно убывают вдоль Г и 1 с пространственным градиентом /рал х ащ' ЛФ (7.15) щ' и Этот градиент, входящий в соотношение (7.4), называется фазовым коэффициентом (коэффициентом фазы) или волновым числом.
Напряжения (7.14) изменяются во времени и в пространстве по гармоническому закону. Для рассмотрения этих изменений примем для простоты ар( = фа'= 0 и перепишем выражения (7.14) в следующих двух формах: 3!6 и'(1) =- У'и совы(1 — 1,'), и"(1) = !I" гсозь>(! — 1,), и'(Г) = (!' >сааб(à — 1), и"(!) = (/" >сов 6(! — 1) . Здесь 1,' =- Г/о, 1, = 1/о (7.16) (7.17) (7.1 8) — время запаздывания во времени колебаний (7.!6), (7.14) иа заданном удалении 1' и 1 от соответствующих концов линии; 1,=о1, о=1/1=ы/13 ( !9) — величины, имеющие размерность соответственно расстояния '(]м]) и скорости (]мс ']), смысл которых подлежит выяснению.
Расстояние 1„для колебаний (7.17) является пространственным аналогом времени запаздывания (7.!8) для колебаний (7.!6). Таким образом, величина 1, характеризует пространственное запаздывание колебаний (7.16) в фиксированный момент времени !. Согласно определению длины волны Х и соотношениям (7.1?) при фиксированном значении 1, получается и'(Г+к)= = и'(Г) и и"(1+ Л) = и"(1), если бА = 2п. Отсюда определяется значение фазового коэффициента: () = 2п/).. (7.20) Величина 61 =-2л1/Х называется волновым расстоянием. Как видно из первого равенства (7.19), пространственное запаздывание 1„ увеличивается с ростом 1. Поэтому для различных моментов времени пространственные колебания (7.!7), т.
е.. волн>я напряжений (7.!4), перемещаются вдоль линии, как показано на рис. 7.4, а, б. Это перемещение происходит со скоростью о, определяемой вторыми равенствами (7.!9). Волны, перемещаюи1иеся (распростра»яющиеся) в пространстве, называются бегущими волнами. Их распространение означает сдвиг в пространстве фазы колебаний, возрастающей с тече* нием времени, т. е.
перемещение фазы колебаний вдоль линии. Поэтому величина и получила название фазовой скорости. Из вторых равенств (7.19) и формулы (7.20) следует, что длина волны .может быть определена как расстояние, на которое распространяется бегущая волна с фазовой скоростью о за один период колебаний Т = 2п/ип Х= оТ. (7.2 1) Распространение бегущих волн (2.!4), т. е. перемещение в пространстве их фаз, происходит в направлении убывания этих фаз.
Таким образом, волна напряжения и' распространяется от входа линии к нагрузке, а волна напряжения и" — в обратном направлении. Поэтому первая волна получила название прямой бегущей, или падающей, волны, а вторая — обратной бегущей, или отраженной, волны. Следует подчеркнуть, что здесь имеется в виду не физическое отражение волн в линии, а условное наименование бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. мт а1 ппад, 1 Рис. 7.4.
Бегущие волны Рассмотрим теперь бегущие волны в линиях с потерями. Соот- . ветственно названию падающих и отраженных волн изменим их, обозначения, отбросив штриховые индексы. Тогда напряжения (7,12) запишутся в виде где ()~а~ = (1мме~ ' " ~ы~ и' = О «аде ~~а~п» пад ~г=о — напряжения падающей волны соответственно в начале и в конце линий; — напряжения отраженной волны соответственно на входе линии и на нагрузке. При этом мгновенные значения напряжений (7.13) могут быть представлены в различных формах: нпад = Уы пад! е соз (щ~ аи1 + арпад~ ) = паже соз (го1+ оР1+ фппдп), (7.23) 3! 8 и„, = У„ты еы соз (ы! + 66 + ф„м ) = = У,чпе "~ соз (ы! — (И+ 4ьтгг) .
(7.24) Бегущие волны (7.13) или (7.23), (7.24) отличаются от воли (7.14) в линии без потерь убыванием их амплитуд в направлении распространения этих волн, как показано на рис. 7.4, в, г. Поэтому они называются затухающими бегущими волнами в отличие от незатухающих волн (7.14). Скорость затухания вдоль линии бегущих волн (7.23), (7.24) определяется относительным пространственным градиентом убывания амплитуд 1/„„„= (/ ыюе ' — ы.
И (/тт отр = (/т отр2Е (?.26) а — — с, ш и.„ш Этот градиент, входящий в соотношение (7.4), называется козффиииентом затухания (волны), измеряется в Нп/м (дБ/м) и имеет размерность ((. '). Лля линии с потерями остаются справедливыми определения фазового коэффициента (7.15) и длины волны (7.2!). Отсюда следует, что в этом случае сохраняется и значение фазового коэффициента (7.20), хотя для затухающих воля даже при гармонических колебаниях и(ри !) эь и(!ы !+ к). Согласно соотношениям (7.11) ток в линии, как и напряжение, представляется в виде суперпозиции падающей н отраженной волн тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
