Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Но это в соответствии с определением ядра матрицы означает, что решения данного уравнения образуют подпространство КегР~ЛГ=Кегр МР, Что и требовалось доказать. Далее сформируем подпространство 7.= Р Кег Р МР. С учетом (6.546) можно записать 1,~ Й =КегМ. (6.550) Тогда согласно лемме 3 лля каждого элемента х е А будет выполняться соотно- шение 391 Глава 6. Синтез бых систем автоматического п веления Лемма 6.14. Условие (6.552) будет выполняться тогда и только тогда, когда справедливо соотношение Е ~ Кег(М+ МА) . (6.555) Доказательство. Прежде всего, отметим то обстоятельство, что Кегр = Й (6.556) Действительно, зто непосредственно следует из того, что вектор-столбцы 1,, )и)у, матрицы Р согласно определению удовлетворяют условию 1, а Й, УНе1)(, и потому 1, .1. Й Тогда 1т 1 (1нх) =О, ЧхиН Р х= "т- (1„,х) 1т х А это в свою очередь означает справедливость (6.556), поскольку других векторов в Я", удовлетворяющих данному равенству, не существует.
Пусть х и Ь. Тогда в соответствии с выражением (6.549) можно записать х = К, где и и Кег Р МР. Отсюда получим Р МРх=Р (МЬ)=0, (6.558) т.е. МРх а Кег Р . Или, с учетом (6.556), Мрх=Мх аЙ~, Чх'и2,. Используя (6.554) и (6.557), находим, что Г М+МА)х =Мх +МАх иЙ, Чх иС, поскольку каждое из слагаемых принадлежит Й Кроме того, согласно (6.552) можно записать Г М+МА)х еН, Чх иА.
Так как подпространства Й и Й ортогональны другдругу,т.е. Й 2.Й,то из г сравнения выражений (6 557), (6 558) следует, что один и тот же вектор ~М+МА)х только тогда может одновременно принадлежать Й и Й~, когда он нулевой, т.е. прн выполнении условия Г М+МА)х =О, ~х а(.. (6.560) А зто означает справедливость (6.555). Что и требовалось доказать.
Рассмотрим важный частный случай, когда матрица М является стационарной, т.е. М ж сопзг . Тогда, используя лемму 6.4, можно показать справедливость следую- щего результата. Следствие 6.9. Если М вЂ” стационарная матрица, то для выполнения условия (6.552) необходимо и достаточно, чтобы подпространство Й было инвариантно от- носительно матрицы А. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 392 Представим подпространство Й ввиде Й = Аэе~. (6.561) С учетом (6.561) для произвольного вектора х е Й справедливо разложение х — х~з+х (6.562) где х ' в Е, х ' е Е .
Подставим разложение (6.562) в выражение (6.544). В результате получим 2(х',(М+МА)х~)+(х~,Мх~) = =2(х',(М+МА)х ')+2(х,(М+МА)х )+(хз',Мхзэ)+ +(хзз, Мхьд)+(ххз, Мхд )+(хз з, Мххд). (6.563) Согласно (6.551) имеем (х~', Мхз') = О. Из (6.560) следует (М+МА)хзз =О. Кроме того, поскольку в соответствии с (6.557) Мхза в Н~, а в силу (6.561) х' е««..Н, 1 «ч Рз " ' «1 3' с помощью которой произвольный вектор х ' н Е можно представить в виде "з х ' =Рй, хеФ (6.566) то хкз.1. Мх~ ~, и поэтому (хкз, Мхз~) =(хз1,Мхз з) = О.
В результате подстановки полученных соотношений в (6.563), задачу максимизации (6.544) приведем к следующему эквивалентному виду зор 12(х~,(М+ МА)х '~)+(х~ ~,Мх~ ~)). (6.564) ««э«7«1 Поэтому вместо анализа разрешимости задачи (6.544) можно рассматривать вопрос о разрешимости (6.564). Это устанавливается на основе доказанных выше лемм, и результат формулируется в виде следующей теоремы. Теорема 6.7. Для разрешимости задачи (6.564) (а значит и (6.544)) необходимо и достаточно, а задачи (6.542) необходимо, чтобы выполнялись условия; 1. (хкз, Мхкз) < О «тхаад н «~; (6.565) 2.
Ь ~ Кег(М+ МА). Справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из лемм 6,1 — 6.6. Рассмотрим решение задачи максимизации (6.564) с учетом полученных соотношений (6.565). С этой целью в подпространстве «,с зададим произвольный базис (р,),ы где )(=Йш«, — размерность «~. Из векторов введенного базиса образуем лкХ матрицу Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 393 Преобразуем выражение (6.564) с учетом зависимости (6.566). После непосредственной подстановки (6.566) в (6.564) получим Р д д- Р[2(г,~а+мА)Рй) (~Р мРВ11'.
(6.567) Полученная задача представляет собой задачу безусловной максимизации, решение которой должно удовлетворять следующему уравнению: %'ят(х~,й) = О. Отсюда находим Чяг=2Р (М+А М)ххы+2Р МРх=О. Так как согласно условию 1 теоремы 1 ("'"= х~'~,Мх~д)=(х,Р МРх)<0 ЧхнФ, (6.568) т.е (Р МР) <О. Но тогда из выражения для К (6.570) следует, что для произвольного х н Я" (х,Кх)=(~Р~(М+А М)х~,(Р МР) '~Р~(М+А М)х~)<0. Следовательно, К<0 (6.571) или -(х,Кх ) >О Чх нН Воспользуемся полученным результатом (6.571) для решения задачи (6.542). для этого в подпространстве Й размерности (л-)() (те.гйшЙ =и-)() зададим произвольный базис (р,~ и. Из векторов данного базиса образуем лх(л-у) матрицу ~рх 4ьрх+з "р Х Тогда произвольный вектор х' и Й может быть представлен в виде Р-х в-х (6.572) С учетом (6.570), (6.572), а также выражения (6.534), задача (5.172) преобразуется к следующему эквивалентному виду то матрица Р МР— отрицательно определенная, т.е.
Р МР<0, и, следовательно, невырожденная. Поэтому решение уравнения (6.568) имеет вид х=-(Р МР) 'Р (М+А М)х'. (6.569) Подставим (6.569) в (6.567). После соответствующих преобразований получим следующее значение для верхней грани авр т(х', 8) = -(х', Кх'), я«я" где К=(М+МА)Р(Р МР) 'Рт(М+А М). Поскольку матрица Р МР < О, то отрицательно определенной будет и (Р МР) ', Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 394 шах~(хР Ятх)+2(х,Р Мз))-9-(ХР~КРх))= = 1пах~(х,рт(Я вЂ” К)Рх)+2(х,Р Мп) — г)~ <0 при (х,Р МРх) = о, г < ге.
(6.573) Для решения полученной задачи (6.573) воспользуемся следующим результатом, устанавливающим свойства матрицы Р МР. Лемма 6.15. Матрица Р МР является положительно определенной, т.е. Р МР>0. (6.574) Из леммы 6.15 следует, что задача максимизации (6.573) разрешима (существует хотя бы одно решение), поскольку рассматривается максимизация непрерывной квадратичной функции на замкнутом ограниченном множестве. Решение задачи (6.573) можно осуществить, используя подход Лагранжа. Для этого введем лагранжиан а(х;р) =(х, Р ($-К) Рх)+2(х, Р Мц)-у+р1(х, Р МРх)-9).
Тогда требуемое решение определяется из уравнения Ута =О, (6.576) где 1г а = Р (8+9~ -2К)Рх+2Р'МЧ+2рР МРх = =~Р ($+$~-2К)Р+2рР МР~х+2Р Мз). (6.577) (6.579) (6.581) Отсюда, если для множителя р справедливо неравенство серег Ф(р) м О, (6.578) где Ф(р)=Р (Б+Б~ -2К)Р+2рР МР! (т.е.
матрица Ф(р) — невырожденная), находим вид решения х = -2Ф-~ (р) РтМ Значение множителя Лагранжа р определяется из условия (х,Р МРх)=4(Ф ~ (р)Р Мз),Р МРФ '(р)Р Мз)) = =4(тЬМРФ '(р)Р МРФ '(р)Р~Мз))=д. Здесь использовалось то обстоятельство, что матрица Ф '(р) так же, как и Ф(р), является симметричной. Преобразуем задачу (6.573) к более простому виду на основе соотношения (6.577).
Для этого умножим скалярно на вектор Х правую и левую части уравнения (6.577). В результате получим (Х,У-а) =(х ~Р (Б+$ -2К)Р+2рР МР|х+2Р йй))=0 или (х, Р (о+ Б -2К) Рх)+ 2р ( х, Р МРх) + 2 ( х, Р )а)) = =2(х,Р (8-К) Рх)+2рд+2(х,Р Мп) =О. Глава 6. Синтез г бых систем автоматического п авления 395 Нетрудно видеть, что последнее уравнение получено с учетом того, что (г, Р~БРх) =(х, Р~б~рх) (г,р Мрг)=д, тогда в соответствии с (6.581) находим (г, Р (Я вЂ” й) Рг)ь 2 (г, Р Мз))- д = — р9+ (х, Р МЧ)- ф В результате задача максимизации (6.573) с учетом (6.579) приводится к следующему виду (6.583) шах[-рд+(х,Р МЧ)-д~= (6. 584) пзах [ — рд-2(Ф '(р)Р Мкьр Мз))-д~.
-зэ-'(р)г мч гпах[ — рд — 2(з),МРФ '(р)ртг!) 9~ <О жч при 4(кЬМРФ-1(р)ртМФ-1(р)ртМЧ) 9 Г >Г (6. 585) Заметим, что условие (6.585) рассматривается в общем случае для каждого г > гс, поскольку д = 9(г) и з) = з)(г) — некоторая скалярная и векторная функции.
Кроме того, матрицы в данном выражении также могут зависеть от времени. Таким образом, показана справедливость следующей теоремы. Теорема 6.8. Для разрешимости задачи (6.542) необходимо и достаточно, чтобы на всем интервале функционирования системы (6.511) была разрешима задача (6.585). Данная теорема дает ответ на поставленную в начале этого параграфа задачу: как выбрать допустимый закон управления, который для системы (6.51!), (6.5!2) при наличии ограничений (6.513), (6.515) — (6.517) обеспечивает выполнение фазовых ограничений (6.514).
Действительно, если согласно теореме 2 задача (6.585) разрешима, то это означает, что решением поставленной задачи синтеза является линейный закон управления (6.531) с учетом предположений (6,518), (6.530). В некоторых случаях использование условия (6.585) может быть существенно упрощено. Действительно, если справедливо соотношение Р Мз)=з) =— соим, (6.586) то (6.585) преобразуем к выражению шах[-р9-2(з),Ф '(р)т))-9~ <О а при 4(з),Ф '(р)Р МРФ (р)ч)=9,1>г . (6.587) Нетрудно видеть, что в соответствии с (6.587) задача синтеза требуемого закона управления сведена к максимизации скалярной функции на некотором множестве, состоящем из конечного числа значений скалярной переменной р, которое определяются в результате решения полиномиального уравнения в выражении Поскольку в последнем выражении варьируемыми параметрами могут быть только скалярный множитель р и вектор Ч, то в общем случае в соответствии с (6.573), (6.584) получим 396 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть П (6.590) х = (А-В%. 'В М)х+з)с. (6.593) Поскольку (6.587) выполняется, то для х(г) справедливо (6.522), т.е. х(г) в Яг) при г >ге. А т.к. уравнение (6.593) не зависит от вида т(г), то в силу эквивалентности (6.592) и (6.593) следует, что и (6.516) не зависит от т(г), а определяется только значением вектора з)с. Однако при этом необходимо учитывать, что решение уравнения (6.590) должно удовлетворять условию (6.518). Выясним, для какого класса возмущений т(г) решение х =х (1) уравнения (6.590) является также и решением равенства (6.518).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
