Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Теорема 6.5. Если все корни Х,,г'и 1,л, нормированного*) характеристического уравнения Глава 6. Синтез бых систем автоматического и авления Поскольку коэффициенты многочлена 8(Х) непосредственно зависят от матриц М и Ь или М и Кс, то неравенства (6.449) можно рассматривать относительно параметровуказанныхматриц.Тогда, решая(6А49),относительно М и 1 или М и Ке, тем самым осуществляем синтез требуемой системы управления.
Если, например, Г/(/)мСОПЗ1 'й>/О, (6.450) . Тогда Р~" (/) и О, и (6.449) принимает внд то Я (0)>0, /геО,(и — 1) о/2 ГО (6.451) Так как 8(2.)= Х" +я„,Х" '+...+81Х+8о, то нетрудно доказать, что (о)(„) и! и ь (и -1) (и /г) ~" ' (п 1 /о) + Я„,(/+ 1)Х+ Я„//,4 е 0,(п-1), (6.452) Отсюда находим (6.454) 8( )(0)= яь /г1,/г е ЦР— 1). (6.453) Тогда, подставляя (6.453) в (6.451), получим Яь > О, /о е 0,(п — 1) ~//й/о, т.е, все коэффициенты многочлена д(Х) должны быть неотрицательными. С учетом определения я(Л) и матрицы Б (6.433) или $4 (6.429) следует, что Яо = д„(М,Ь,ооо) >0 или 8„(М,К4), /ге 0,(п-1), где д„(.) — некоторые известные функции, получаемые при вычислении полинома л„(Х). В результате приходим к следующим соотношениям я„= я„(М,Ьгоо) > 0 или яо(М,КО) > О, /о е 0,(и — 1) о / й го которые могут непосредственно использоваться для синтеза требуемого закона управления.
Если матрицы А, В, М, Ь вЂ” стационарные, то система неравенств (6.455) от вре- мени не зависит. Эффективность (простота) решения неравенств (6.455) определяется характером зависимости коэффициентов яь,Ге 1,(п — 1) от элементов матриц М, Ь, К4. Чем проще зависимость, тем эффективнее решается система (6.455). Уп- рощения зависимости можно добиться за счет выбора соответствующего базиса в пространстве состояний Я", в котором рассматривается система (6.376) и ограниче- ния (6.377), (6.378). В общем случае при г/ и 0 с учетом (6.452) неравенства (6.449) примут вид 25* 372 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 (и-к)! г) " (и-1-х)! д +я „(.)(1+1)! 2 — +дь()/с!>О, Ч1еО,(и-1),г>г . (6.456) При решении систем неравенств (6.455) или (6.456) относительно М, 1, ме или М, К4 важной является проблема существования решения (т.е, разрешимости данных неравенств). Далее эта проблема будет рассмотрена.
Л = Л (г) = Х - щах Х, = 2 — - щах 3., ф(г) !Ии г(г) !е1и (6.457) г>го степень грубости системы (6.376) относительно квадратичных фазовых ограничений для закона (6.426) или (6.416). Нетрудно видеть, что величина А характеризует грубость системы. Причем, чем больше Л, тем более грубой по отношению к различным возмущениям является система.
Таким образом, величину А можно использовать как некоторую меру, характеризующую степень грубости системы управления. С помощью введенного определения степени грубости можно обобщить поставленную задачу синтеза, если потребовать, чтобы формируемый закон управления обеспечивал выполнение требуемых ограничений (6.377), (6.378) с заданной степенью грубости Ле .
Под системой, обладающей заданной степенью грубости Ле по отношению к квадратичным ограничениям, будем понимать систему (6.376), для которой синтезированный закон управления обеспечивает выполнение неравенства А=А(г)>Л, Уг>г,, 6.6.6. ОЦЕНКА ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ ПРИ КВАДРАТИЧНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ Полученные в предыдущем параграфе соотношения (6.455), (6.456) позволяют синтезировать требуемый закон управления. Однако при этом важным является вопрос, насколько синтезированный закон эффективен при тех или иных возмущениях системы (6.376) — структурных, параметрических, внешних и т.д., то есть, будет ли при наличии указанных возмущений обеспечено решение поставленной задачи синтеза с учетом найденного закона управления.
Для ответа на этот вопрос целесообразно воспользоваться свойством грубости системы управления и оценить степень грубости на основе предлагаемого подхода. Как следует из теоремы 5.1, если синтезированный закон управления и (х,г) вида (6 426) или й (х, Т",г) вида (6 4! 6) таков, что для него обеспечиваются неравенства (6.436), то задача синтеза решена. Если же (6.436) не выполняется, то необходимо выбрать другую матрицу К вида (6.427) засчет изменения гее, М и Ь или соответственно матрицу Ке . Таким образом, от характера выполнения неравенств (6.436) зависит, насколько эффективным является тот или иной синтезированный закон управления.
Причем, чем сильнее неравенства (6.436), тем, очевидно, эффективнее будет закон управления. С учетом этого можно ввести в рассмотрение некоторую меру, величина которой характеризует степень грубости синтезируемой системы управления. Обозначим через 373 Глава 6. Синтез бых систем автоматического авления где Ао > 0 — некоторая заданная величина. В результате получим, что при синтезе управления помимо ограничений (6.377), (6.378) необходимо учитывать ограничение (6.458). Покажем, как достаточно просто можно учитывать (6.458) на основе неравенств (6.449), (6.456).
Согласно (6.457) находим А=А(!)=Х -шах)., >до. м!,п Отсюда шДХ)~, В)~ !"о =2 до =хо 9(!) * го3л 9(!) ~у! >го. (6.459) Для обеспечения данных неравенств можно воспользоваться теоремой 5.2. Тогда аналогично (6.449) получим, что (6.459) выполняется тогда н только тогда, когда вы- полняются неравенства вида 8(') ~Хо(!)~ВО, ! еб,л-1, для всех г>го, где Хо(!) = 2 — -Ьо, а выражение для л (2) определяется согласно (6.452). 9(!) 00 9(!) Подставляя выражение для Ко(!) в неравенства (6.460), по аналогии с (6.456) по- лучим следующую систему неравенств, которая используется для учета ограничений на грубость системы управления 4-Я и-1-/с оо +8,-!(') П, 2 Ао + "+ Л„,(Н~ ~)1Ь-'-~, Ы)ИРО (6.461) 'о! Iг в О, (л -1), ! В го.
)1" . А согласно (6.407) в этом случае остается неизменной и величина А. 6.5.7. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ Выше (в 6.5.5) отмечалась важность проблемы разрешимости поставленной задачи синтеза, т.е. прежде, чем непосредственно решать неравенства (6.455), (6.4561 нлн Полученные соотношения (6.461) позволяют синтезировать закон управления ц (х,!) или й(х,у",!), не только из условия обеспечения ограничений (6.377), (6.378) (в силу теоремы 5.1), но и из условия обеспечения этих ограничений с некоторой степенью грубости.
Необходимо также отметить следующее свойство введенного определения степени грубости (6.457): значение А не зависит от выбора базиса в неравенстве состояний л", в котором рассматривается система (6.376). Действительно, это непосредственно следует из того, что собственные значения произвольной квадратной матрицы инвариантны к произвольному базису !1", относительно которого может быть представлена данная матрица (52). Поэтому собственные значения 2.„ ! и),л, а значит и шй82, матрицы М '(8+8~) остаются неизменными для произвольного базиса в Ыл 374 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 (6.461), необходимо знать, а будут ли вообще данные неравенства разрешимы, и, что необходимо сделать (как модифицировать ограничения) для обеспечения их разрешимости. С этой целью рассмотрим вопрос об условиях разрешимости задачи синтеза в зависимости от свойств матриц А, В, М, Ь . При этом считаем, что для обеспечения разрешимости матрицами Ь и М можно варьировать. Будем рассматривать случаи, когда должен осуществлятьсясинтез закона в (х,г) вида(6.426).
Как отмечалось выше (см. (6.434) или (6.431)), для того, чтобы синтезируемый закон управления решал поставленную задачу, должно выполняться неравенство пзах [(Я(г),х)-с)(г)]<0 шах ~(Б„(г),х) — с)(г)~<0 «вГОО) ИЛИ явГОО) (6.462) зг г и го зе г > Го. Определим, при каких условиях выполняется первое неравенство (6.462).
Для этого можно воспользоваться следующей леммой (78). Лемма 6.3. Для каждого г > го матрицу Ь > 0 всегда можно выбрать такой, что при [КегВ М|гзГДмО, для разрешимости неравенства (6.462) необходимо и достаточно, чтобы было разре; шимо неравенство вида Н = КегВ ~ Л'" (6.464) — некоторое подпространство в пространстве й" . Считая, что размерность подпространства Н равна г, т.е.
гйггп Н = г (г>Π— целое число), в Н заладим (выберем) произвольный базис из г векторов ))э 1" и образуем и хе / э=г матрицу Р вида Р=[)э1 Рз " )э„], гап)сР=г. То есть столбцы матрицы Р образованы из векторов выбранного базиса. Для анализа разрешимости (6.463) потребуется использовать следующую лемму. Лемма 6.4. Подпространство Кег В М определяется равенством КегВ М=М ' Н, (6.465) где Н = [» н Я": х = Рх, * и й" ~ *). Покажем справедливость следующей леммы.
(6.466) ') Справедпивость представления Н в виде () 466) сяедует из того, что произвольный вектор х е Н мозкно разложить по элементам базиса пространства Н, как х = 2,а,р,, з, е Я', ияи, что то же самое, эм представить в виде х = Рх, х =[а, ез " е,] т гпах ~(Ях,х) — г)~<0, г>го, (6.463) хе[кеса м]мггэ где КегВ М вЂ” ядро матрицы В М; Б=М+2А "М. В соответствии с доказанной леммой задача разрешимости первого неравенства (6.462) сводится к задаче разрешимости более простого неравенства (6.463). Для анализа разрешимости (6.463) целесообразно ввести следующие обозначения..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
