Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Нетрудно видеть, что система уравнений (6.372) или (6.373) переопределена, если в качестве неизвестных аргументов использовать компоненты ( л - 1)х1 вектора а'„(матрнцьс У а,Час известны, вектор Й задан, а вектор Ь' можно задавать произвольным с учетом неравенства (6.370)).
Поскольку число неизвестных л, то для разрешимости (6.372) или (6.373) необходимо'и достаточно, чтобы одно произвольное уравнение системы (6.372) было линейно зависимым от остальных (л — !) уравнений. В качестве такого уравнения можно, например, выбрать последнее. Сформируем матрицу, составленную из всех коэффициентов уравнений (6.373) (т.е. из коэффициентов левой и правой частей). Очевидно, данная матрица имеет вид Р= ~7„а (1 — сссса./с ), т.е.
Р— их л матрица, у которой хотя бы одна строка линейно зависима от других строк. Отсюда следует, что гап !с Р < п, и потому 357 Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления бег Р = О. (6.375) Равенство (6.375) можно рассматривать в качестве критерия управляемости вещественного собственного значения ).' в левом направлении относительно изменения вектора !о вдоль )г . Тогда, задав произвольное значение 1,',, с учетом (6.370) и рас- сматривая (6.375) как уравнение относительно !г, можно определить допустимость того или иного направления !г при изменении вдоль него матрицы К. Затем, согласно (6.373), определяется вектор а'„, с учетом которого по формуле (6.371) оценивается величина а, а также дальнейшая возможность использования направления !г (т.к.
необходимо, чтобы а > 0). 6.6. ПОСТРОЕНИЕ ГРУБЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ КВАДРАТИЧНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ В данной главе осуществляется синтез грубых линейных систем при квадратичных ограничениях с учетом и без ограничений на структуру закона управления. В соответствии с основной теоремой метода фазовых ограничений для решения задачи синтеза получены максимальное и минимальное неравенства, которые в дальнейшем исследуются.
Показано, что требуемый закон управления может быть найден в аналитическом виде, но при этом должно выполняться некоторое условие на границе допустимого множества, эквивалентное спектральным ограничениям для соответствующей матрицы. Вводится оценка степени грубости системы управления, связанная со спектром указанной матрицы. Получены соотношения для синтеза системы заданной степени грубости.
Показано, что разрешимость задачи синтеза эквивалентна разрешимости некоторому матричному неравенству, обобщающему известное неравенство А.М. Ляпунова. Рассматривается задача формирования двухуровневой системы управления. Показано, как ее разрешимость связана с управляемостью некоторой подсистемы исходной системы управления. 6.6.1. ПОстАнОВкА зАДАчи синтезА пРи кВАДРАтичных ОГРАничениЯх Будем рассматривать систему управления того же вида (6.211), структурная схема которой представлена согласно рис. 6.5 и 6.6. При этом считаем, что у (!) =-Он и Таким образом, х = Ах+ Вн,х(го) = хо,! Его.
(6.376) При этом пхп и пхт матрицы А = А(!),В = В(!) в общем случае могут быть не- стационарными с непрерывно вещественными коэффициентами ао(!), Ь,„(!), ! и 1,п,/ и 1, по и 1, и. Кроме того, предполагается, что ограничения на вектор состояния х(! Хо) н 9!) У! Е!о (6.377) и на вектор управления ц е 17(х,!) У! > го (6,378) задаются с помощью некоторых квадратичных функций.
Поэтому рассматриваемые ограничения (6.377), (6.378) будем в дальнейшем называть квадратичными. Покажем, каким образом могут быть заданы данные ограничения. Без ограничения общности произвольную квадратичную функцию, стационарную или нестационарную, можно представить в виде 358 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 'Р(х,!)=(х,М(!)х)-9(!)=Х ~) л!, (!)х, х -9(!), (6.379) ~=! Г=! где М = М(!) — пхл вещественная симметричная матрица с элементами л!о = л!ч(!), !',/а 1,л (е, = «!л), представляющими собой непрерывно-дифференцируемые фУнкции пРи !>!с; 9(!) — некотоРаЯ непРеРывно-диффеРенциРУемаЯ скалЯРнаЯ функция. Воспользуемся квадратичными функциями вида (6.379) для задания мно- жества Я!).
Пусть Д(!) имеет вид Д(г) = (х а Я": Ч'(х,!) = (х, М(!)х) -9(!) < 0~ . (6.380) Для того чтобы множество Д(!) было ограниченным, достаточно выполнения сле- дующих условий, которым должны удовлетворять М(!) и 9(!) М(!)>О !у! >!с, (6.38 !) 9(!) >О !уг>гс, т.е. функция 9(!) должна быть положительной, а матрица М(!) — положительно оп- ределенной (97) (матрица М является положительно определенной в Я", если 'сх а Я" '!(О~ выполняется неравенство (х, Мх) > 0).
В общем случае будем считать, что лхл матрица М = М(!) при ! > гс является невырожденной, т.е. с(е! М(!) !! 0 '4! > ге . (6.382) Ограничения на управление представим в следующем виде (7(х,!) = (и а л":Ь(х,п,!) =(а,1.(!)в) — р(х,!) <0~, где Ь(г)-л!ха вещественная симметричная матрица, о которой в общем случае предполагается, что бе!1,(!)~О а>г,, (6.384) т.е.
Ь(!) — невырожденная матрица Ч! > ге . Для того, чтобы (7(х,!) было ограниченным множеством, необходимо потребовать, чтобы 1.(!) и скалярная функция р(х, !) удовлетворяли условию 1.(!) >О,р(х,!)>0~ 'т!! > !с,!г'х а Д(!).) При формировании ограничений на управление паис (6.386) обычно используют некоторое фиксированное множество (7с мсопз!. Задание У(х, !) в виде (6.383) должно осуществляться из условия (7(х, !) ~ П, ~ х а (7(!), ! ~ г, (6.387) и обеспечивать достаточно простой выбор допустимого закона управления того или иного вида.
Кроме того, важным требованием, предъявляемым к синтезируемому закону управления, является требование на вид (на сложность в смысле реализации) его структуры. Пусть ь — множество (шкала) возможных структур законов управления, Глава б. Синтез бых систем автоматического п авления 359 упорядоченных по тому или иному признаку. Например, по признаку сложности реа- лизации в соответствии с принципом сложности, приведенного в [134!. Т.е. можно записать, что (6.388) где (4 -~ -й элемент множества (шкавы) структур, представляющий собой некоторое подмножество законов управления, соответствующих заданному уровню сложности реализации (в общем случае — заданной характеристике признака, которая, в частности, может означать; линейность или нелинейность; вид и свойства нелинейности; статичность и инерционность; вид инерционности; стационарность или нестационарность — и т.д.).
Тогда, если вв~, то обязательно найдется такой элемент ~4,г, в 1,АГ, шкалы ~, которому и будет принадлежать управление в, т.е. в в~!,Р е!,У . (6.390) При этом, согласно (6.390), управление ц представляет собой некоторый закон ц~(х,г), т.е. (6.389) и = ц" (хЛ), Е, и 1, Ф, (6.39! ) со структурой, соответствующей заданному уровню сложности реализации (или заданной характеристике'некоторого признака, в частности, из числа перечисленных). Под условием 6.6.2. ПОЛУЧЕНИЕ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ НА УПРАВЛЕНИЕ В соответствии с условиями теоремы 6.1 воспользуемся следующими обозначе- ниями Гд(1) = (х в и": 'г(х,!) = (х,М(г)х) -9(г) = О); Ч„Ч =гМ(1)-х; дЧ' ' ( ИМ(г) 1 йу(г) — =Ч', =~х, х)- — =(х,М(г)х)-ф(!), а! ' !,' й 3 0 (6.393) ИМ где под — или М понимается й производная матрицы М(г) по времени. Кроме того, введем следующую скалярную функцию ц и (7(х,г) Г~ч (6.392) будем понимать выбор закона управления вида (6.391), принимающего допустимые значения в смысле (6.378).
В результате, задачу синтеза управления можно сформулировать следующим образом: требуется на множестве допустимых значений (7(х,г) вида (6.383) и заданной шкапе структур !э (6.388) синтезировать закон управления н =й(хд), удовлетворяющий условию (6.392) и обеспечивающий для системы (6.376) выполнение фазовых ограничений (6.377) для множества Д(г) вида (6.380). Для решения поставленной задачи, так же как и в предыдущей главе, можно непосредственно использовать теорему 6.1.
360 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П о(х, и,!) = (т „Ч',7" (х,в,г))+ —, дЧ' (6.394) дг где 7'(х,п,!)=Ах+Вв, и в отличие от (2.27) рассматривается случай, когда !р(х,!) = х . Тогда в соответствии с теоремой (2.1) должно выполнятся следующее соотношение о(х,в,Е) 60 (6.395) 'т'хвГД(!) и хотя бы одного в =й(х, !)а(7(х, г), г>!в, обеспечивающее фазовые ограничения (6.378) при допустимых значениях закона управления.
Решение неравенства (6.395) можно осуществить на основе соотношений, форми- руемых следующим образом. Утверждение 6.6. Для разрешимости соотношения (6.395) 'необходимо и доста- точно, чтобы выполнялось неравенство шах ш!п о(х,в,!)<О !!1>ге. (6396) йе$ !2(!)%йгщ%, !) Доказательство. Покажем справедливость данного утверждения.
Для удобства введем обозначение о (х,!) = пПп о(х, в,!) . нвг!(ь!) (6.397) 'Тогда, если для некоторого ! = !' > !в (6.396) не выполняется, то найдется такой вектор х = х* в ГД(!'), для которого о (х",!')>О. Из определения (6.397) следует, что в этом случае о(х',в,г')>о (х',!')= ш!и о(х*,в,г')>0 т'ив(/(х',!'), ввГ!(!,!') т.е. неравенство (6.395) не выполняется. Тем самым показана необходимость соотношения (6.396).
Покажем достаточность условия (6.396). Действительно, пусть (6.396) выполняется для всех ! > ге. Тогда для произвольного момента времени г = г < ге в силу (6.396) получим !пах о (х,!)<О,! >ге. %вГО(! ) Поскольку для любого х н ГД(г) о (х,!)< шах о (х,!), * г0(!") то о (х, ! ) < 0 Ъ' х в ГД(! ) . Следовательно, для любого х и Г Д(г ) найдется такой вектор в = й (х, г ) н (7(х,з), для которого ш(п о(х,и,!)=о(х,б(х,!),г)=о (х,!)<О. !!60(ь!) Отсюда, с учетом произвольности г, следует достаточность условия (6.396). Тем самым утверждение доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
