Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 60
Текст из файла (страница 60)
когда д,(1) = а';е,1в ),л. Тогда радиус круга С,(А) равен о р, = — „~ 1а,„~Ы„е м тм а величина з, смешения мнимой оси о = — ~ 1а,„)с(„, еы (6.283) В то же время неравенства (6.278) можно представить в виде р, ь (ао з,) 1в)л гкгю. (6.282) Следовательно, и в этом случае, так же как и в двух предыдуших, получим, что неравенства (6.236) или (6.278) выполняются тогда и только тогда, когда для каждого круга Гершгорина с7,(А), 1н 1, и, представленного в новой системе координат (6.279), каждый 0,(А) расположен слева от прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку г, (см.
рис. 6.16). Таким образом, показана справедливость следуюшей теоремы, связываюшей разрешимость неравенств (6.236) с расположением на комплексной плоскости кругов Гершгорина. Терема 6.6. Для разрешимости неравенств (6.236) необходимо и достаточно, чтобы каждый круг Гершгорина б,(А) ! в 1,л, построенный для матрицы А системы (6.215), располагался на комплексной плоскости С левее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку г, = — ',1в 1,л, лежащую на вещественной оси.
% % В соответствии с данной теоремой можно утверждать, что если для системы (6.215) построены круги Гершгорина (6.275), каждый из которых на комплексной плоскости расположен левее прямой, проходящей через точку з, = — н Ке г и парал- 4 % Глава 6. Синтез бых систем автоматического п веления 337 — = Х,И =1,п, Ы,е т.е. совпадает для всех кругов. При этом для обеспечения ограниченных значений траектории х(г) величина Х < О. Данному случаю соответствует рис.
6.!7. Рпс. 6.17. Требуемое располохсенине кругов Гсршгорнна прн экспоненниальных ограннченпнх Таким образом, для матрицы А можно обеспечить требуемое расположение кругов Гершгорина в соответствии с теоремой 6.6, а тем самым будут обеспечены заданные фазовые ограничения (6.221). 8.4.8. О связи Упрдвляемости системы с Рдсположением кругов ГЕРШГОРИНА. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ГРУБОСТИ (РОБАСТНОСТИ) СИСТЕМЫ Известно (15], что если система (6.211) является полностью управляемой, то собственные значения матрицы А замкнутой системы (6.215) могут иметь произвольное распределение (расположение) на комплексной плоскости С. Однако это свойство управляемости систем еще не гарантирует, что круги Гершгорина С,(А),! =1,л, соответствующие матрице А, можно также расположить на комплексной плоскости произвольным образом.
Для полностью управляемой системы можно найти такое невырожденное преобразование системы координат (6.263), для которого в новой системе координат неравенства (6.236) будут разрешимыми. При этом было показано, что в качестве такого преобразования можно использовать преобразование вращения. В более общем случае невырожденное преобразование должно быть таким, чтобы преобразованные матрицы А и В обеспечивали возможность формирования матрицы А с доминирующими диагональными элементами отрицательных знаков.
В частности, матрицу Т, соответствующую требуемому преобразованию, можно выбирать следующим образом. Пусть А'= ТАТ ', В' = ТВ (6.285) — матрицы А и В в новой системе координат. Тогда необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А'=А'+В'КТ ' =Т(А+ВК)Т ' =ТАТ ' могли принимать одновременно произвольные значения в сс', а скорость их изменения в зависимости от изменения К превосходила скорости изменения недиагональных элементов. В дальнейшем будет рассмотрена одна из процедур выбора требуемой матрицы К.
?3 эас. зоо 338 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 Из анализа расположения кругов Гершгорина на комплексной плоскости следует вывод не только о выполнении того или иного неравенства системы (6.236), но и о степени грубости (робастности) системы управления прн возможном разбросе значений ее параметров. Пусть рассматривается Ье неравенство системы (6.278) т.е.
— Е" ~7 -'-" ' — ' '-" Обозначим через К = К' — значение матрицы, для которого данное неравенство обеспечивается. Считаем также, что некоторые параметры матриц А, В, С заданы не точно (полная информация об их значениях отсутствует, а сами значения задаются с некоторой, вполне определенной, погрешностью). Введем обозначения а,„= а,„+ Аа,„, о (6.286) о со„= со„+ Лса„, где а,„,Ьо„,се„и а,„,б,„,сс„— действительные и номинальные значения элементов о о о матриц А, В, С; Ла,„,ЛЬ,„,Асф— погрешности задания значений элементов, о которых имеется информация вида 1па,„~ < а,„,)АЬц, ! < (Зц„~ЛсС„! < ут„ (6.287) где а,„,(3,„,7΄— некоторые заданные величины. Тогда согласно (6.238) т а,„=а„+Ла,„=а,„+Аа +~~~ ~~~ (Ь,„й„'Сс~„+ сы о=т +АЬ, /с с„,+Ь, lт тАсо„+ЛЬ, lс ~Асо„).
(6.288) Отсюда а аю + х~~ Х~ Ь~р3тотсеч о=там т щ Аам =Ла,„+ЯЯ((3Ь, с +Ь~Лсо„+ЛЬ, Лет„)А„'О. 4 тны (6.289) где, с учетом (6.287), ст,'„=тт,'„+к~ , '(б, -~с,'„~+Ь,'„у „+б, у „)Ц. (6.291) т=! ом Используя представление а,„в виде (6.288), получим следуюшее выражение для Ьго неравенства (6.292) Соотношение (6.289) показывает, как неточность задания элементов матриц А, В, С влияет на неточность задания элементов матрицы А при фиксированной матрице К' . Из (6.289) нетрудно получить, что )Аа,„( < ст,„, (6.290) Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 339 где Ла,„,Ьа„удовлетворяют (6.290), (6.291) н могут иметь в соответствии с этими соотношениями произвольные допустимые значения. Определение 6.4. Будем говорить, что система (6.215) является ~рубой (робастной) относительно фазовых ограничений для 1-й координаты вектора состояния х (лля х,), если существует такая матрица регулятора К = К, для которой обеспечивается выполнение неравенства !Х,!<%(», г>го, при произвольных значениях элементов матриц А, В, С (6.286) с учетом возможного диапазона их изменения (6.287).
Аналогично определим грубость системы для всего вектора состояния х . Определение 6.5. Будем говорить, что система (6.215) является грубой (робастной) относительно фазовых ограничений для вектора состояния х, если существует матрица К=К, для которой на всем диапазоне изменений элементов матриц е А, В, С (6.286), (6.287) обеспечиваются неравенства (6.221). Поскольку достаточным условием обеспечения ограничений (6.221) является выполнение неравенств (6.236), то рассмотрим свойство грубости (робастности) системы применительно к данным неравенствам.
С учетом определений 6.2 система (6.215) будет грубой относительно фазовых ограничений (6.221), если для каждого 1в 1,л выполняется неравенство (6,292) при разборе параметров системы согласно (6.286), (6.287). Неравенство (6.292) можно представить в виде р, + Ьр, < -(а„+ Ьа„) + — ' 9 ! е1,и, !~гш (6.293) где Ьр, -погрешность в определении радиуса р, круга Гершгорина С, (А) . Причем !Ьр,~ < — ~а,„су„! =1,л. % ьы (6.294) хм Тогда аналогично тому, как строились круги Гершгорина для неравенств (6.278), можно построить круги С (А + ЛА), 1=1,л, для неравенств (6 293), как это показа-в но на рис.
6.18, где А — номинальное значение матрицы А, а ЬА — допустимая погрешность или возмущение матрицы А . Если неравенства (6.293) выполняются, то возмущенные круги 0,(А +ЬА),! = 1,и согласно теореме 6.6 будут находиться сле- ва от прямых, проходящих соответственно через точки г, = — ', ! = 1,л и лежащих на 4 % вещественной оси 9, плоскости С. При этом, чем больше величины 23' Б, = — '-(а„+р, ), !п),л, (6.295) % тем допускается большее параметрическое возмущение, при котором выполняются неравенства (6.293) и, значит, обеспечиваются заданные фазовые ограничения (6.22 1). Величину Е, будем называть степенью грубости (робастности) системы (6.215) по координате х„относительно фазовых ограничений (6.221). Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть 11 340 рпс. Вяа. допустимое респоломепве кругов Гершгоривв при переметрических возмуспепиях Величину Е мш(пЕ, (6.296) мьп будем называть степенью грубости (робастностн) системы (6.215) относительно фазовых ограничений (6.221). Чем левее расположены на комплексной плоскости круги Гершгорнна, тем большие значения принимают величины Е;,1н 1,л н Е, н следовательно, тем более грубой является рассматриваемая система управления (6.215).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
