Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поэтому для траектории х(!) в каждый момент ! > го может соответствовать только одно значение а(.) и одно значение х(!) . Следовательно, а„(х,!) = а(х,!) Уч и Аг, т.е, уравнение (6.191) при заданных краевых условиях и выбранном законе и() может иметь только единственное решение а(х,!) . Что и требовалось доказать. Рассмотрим требования, которым должна удовлетворять функция а(х,!) (или в общем случае ц(х,!)), чтобы обеспечивалась цель (6,120).
Согласно (6.120) должно (6.197) выполняться соотношение х(!) е ГЯ (!) или ~у (х(!),!) <0 ч! >го. С учетом выражения (6.192) получим к+а(х,!)17~ц! и ГД (!), х е ГД(!) или ц~,(х+а(х,!)У„ц~,!)<О 'й>го. Условие (6.196) может быть проиллюстрировано на рис. 6.3. Неравенство (6.196) можно привести к следующему виду у,(х,а(),!)<О Ух ГО(!), ! > г,. Отсюда следует, что для обеспечения требуемых фазовых ограничений функция а(х,!) должна удовлетворять следующему неравенству а(х,!) < а,(х,!) Ухни(!), г>г,, Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 317 где а,(х,г) — некоторая известная скалярная функция, определяемая из (6.196) или (6.!97) и принимающая, в общем случае, неотрицательные значения. Причем для каждого допустимого ен Е функция а,(х,г) может иметь свое выражение. Если из (6.197) или (6.196) функцию а,(х,г) с достаточной степенью точности определить нельзя, то для оценки допустимости а(х,г) можно использовать неравенство (6.197).
Таким образом, показана справедливость следующего результата. ГЯ (Е) Рве 6.3 (6.199) (6.200) 1. Она!), 2. ОиД(г), г>г,; где 0 а и" — нулевой элемент в пространстве Н" . Если, например, выполняется условие (6.200), то поскольку для устойчивости объекта(6.57) в Я" необходимо, чтобы х(г)-ьО при г-+ с длялюбого хе =х(гс)и)1", то, используя выражение (6.192), получим х(г)+ а( х(г), г) Ч,у( х(г), г) -+ 0 при!-ь ю длялюбого хс =х(га)еГД(го) и любого ае = а(хс,га), удовлетворяющего (3.96). (6.201) (6.202) Утверждение 6.3. Для того чтобы для объекта (6.57) некоторый закон управления и = и() н У() обеспечивал заданные фазовые ограничения (6.120), достаточно, чтобы функция а(х,г), являющаяся решением уравнения (6.191), удовлетворяла соотношению (6.196) (или одному из эквивалентных соотношений (6.!97), (6.198)) для любого аа = а(хе,ге), определяемого согласно (6.194) при произвольном зе н(7.(го)И(гс).
Используя утверждение (6.121), можно решать не только задачу обеспечения фазовых ограничений, но и, в частности, задачу обеспечения устойчивости объекта (6.57) в Р" . Для этого необходимо конкретизировать вид Д(г) . Выделим два случая задания Д(г): Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 318 Поскольку го может быть любым вектором, то в качестве ао можно выбирать произвольное неотрицательное число. Кроме того, если обозначить: ! цп х(г) = х", 1-~ ~ 1ип Ч„у(х(г),г) = У,у", ! -+ то условие (6.202) приводится к виду х" ьа У„Ш" =0 'охо н Гфго) и о ао ) О. (6.203) Векторы х" и %'„у могут быть непосредственно определены. Действительно, поскольку г(г)-+ 0 при г -+ос, то г(оо) =Он Я", и поэтому х" может быть определен, как расстояние от нулевого элемента Он !г' до множества Яое) (до границы ГД(со) ), которое предполагается выпуклым (см.
рис. 6.4). Отсюда следует, что соотношение (6.203) всегда разрешимо, т.к. векторы х" и У„~у" коллинеарны, и поэтому из решения (6.203) всегда можно определить значе- ние а„ Рис. 6.4 Тогда получим, что в случае (6.200) обьект (6.57) является устойчивым в !!", если а(х(г),г)-+а„, х(г)-+х" при г-+ о 'о'хо н ГЯго) и оао э О. Для проверки выполнения (6.204) можно воспользоваться уравнением (6.191) при подстановке в него выражения (6.192) с учетом (6.193). Если условие (6.204) выпол- няется для некоторого выбранного допустимого закона управления и = и(), то это означает, что лля данного и() уравнение (6.191) должно выполняться при значениях ! =ос, а() =а„, х=х". (6.205) Кроме того, с учетом (6.193) должно выполняться условие да — -+О при г-+ с, дг поскольку а„— стационарная точка, к которой стремится функция а(х,г).
Анало- гично получим следующее соотношение да — -+О при 1-+ос 'т'1е1,п дх, Глава 6. Синтез бых систем автоматического авления 319 или ту,а -+0 при г-осе. (6.207) Тогда, подставляя в (6.!91) значения (6.205), а также в соответствии с (6.206) и (6.207) значения =О, ту,а(, =О, до м получим алгебраическое уравнение, которое будет выполняться, если правильно выбран закон управления и() .
Таким образом, решая уравнение (6.!91) совместно с использованием условий (6.204) можно формировать закон управления, обеспечивающий устойчивость объекта (6.57). Притом необходимо отметить, что рассмотренный подход, вообще говоря, может давать только необходимые условия устойчивости, для получения достаточных условий требуется осуществить линеаризацию (6.191) в окрестности х и а„и провести анализ поведения малых отклонений во времени.
х(г) е !!" и ее проекцией х(г) и ГД(г) . Нетрудно получить ту„т) = — ~,~,у) +'тт,т)(у,х,т), дт! т дт) дт) ду дт!(у,х,т) дт ду дт дг (6.209) где Ч,т)(у,х,г), — (у,х,т) — якобиан и частная производная по времени функции дц дт т)(у,х,г), когда скалярная функция у(х,г) рассматривается как некоторый фиксированный параметр. Подставляя (6.209) в (6.191), получим уравнение в частных производных относительно функции у(х,т), которая имеет единственное решение для заданных краевых условий у(хо,го) = уо, определяемых из соотношения *о =т)(уо хо го). Справедливость этого доказывается аналогично утверждению 6.2.
(6.2! 0) Аналогично обеспечение устойчивости объекта (6.57) в !1" можно рассматривать для случая (6.200) на основе условий (6.201), (6.202). Однако при этом на а(хд) в отличие от (6.203) будут накладываться другие условия, выполнение которых также исследуется с помощью уравнения (6.191). Используемое в рассмотренном подходе отображение т!(х,г) может иметь более общий вид по сравнению с (6.192). Например, в качестве т)(х,т) можно использовать вектор-функцию следующего вида т)(х,г) = т)(у(х,г), х,г), (6.208) где т)() — некоторая пх! вектор-функция заданного вида, непрерывно-дифференцируемая по всем своим переменным; у(х,г) — скалярная непрерывно-дифференцируемая функция, вид которой заранее не задан.
При этом выбор той или иной функции т)() вида (6.208) должен обеспечивать взаимно-однозначное соответствие между Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 320 6.4. ПОСТРОЕНИЕ ГРУБЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ МОДУЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ В данной главе показано решение задачи синтеза при модульных ограничениях на компоненты вектора состояния на примере линейных систем управления. Приведена геометрическая интерпретация основной теоремы метода фазовых ограничений и показано ее непосредственное использование. Рассмотрен синтез при ограничениях на качество управления, приведены некоторые численные процедуры решения задачи.
Дан анализ разрешимости задачи синтеза с учетом преобразования поворота фазовых ограничений. Показана связь кругов Гершгорина с разрешимостью задачи синтеза и их использование для построения грубых систем управления. Введена оценка степени грубости системы, с помощью которой предлагается синтезировать системы заданной грубости. Показана связь полученных достаточных условий на параметры регулятора со свойствами так называемых входных-выходных матриц. Рассмотрен вопрос выбора допустимых фазовых ограничений на основе положительного собственного вектора входной-выходной матрицы. Сформулирован критерий разрешимости задачи синтеза.
Приведена процедура синтеза системы управления на основе управления максимальным собственным значением входной-выходной матрицы, Предложен критерий управляемости данным собственным значением. 6.4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНОЙ МСАУ ПРИ МОДУЛЬНЫХ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ В предыдущих главах были получены общие соотношения, позволяющие форми ровать различные законы управления по заданным фазовым ограничениям для тех или иных динамических систем. Рассмотрим решение задачи синтеза применительно к линейным многомерным системам автоматического управления (МСАУ) при фазовых ограничениях вполне определенного вида.
Пусть уравнение МСАУ имеет вид х=Ах+Вб, х(го) = хо Г Е !о где х,й — пх1,тх1 векторы состояния и управления. А = А(г) = [а „(1)]"'„"ч, В = В(г) = [6 (!)] ' ы Причем й = и+у', (6.212) где у =у (Г) — некоторое задающее управление (воздействие); ц — управление, формируемое по принципу обратной связи. На рис. 6.5, 6.6 показаны возможные структуры, соответствующие МСАУ (6.211). 1 Рпс. б.5. МСАУ с КУ в примой цепи Здесь; КУ вЂ” корректирующее устройство, являющееся линейным безинерционным звеном; С вЂ” матрица измерителя размера !хп вида С=С(!)=[со„(г)]1'"„ы,' х, -! х1 вектор выхода (измерения). Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления 321 х, =Сх (6.213) — уравнение измерителя; в= у-х, — !х1 вектор невязки; у(!)-!х1 вектор задающих воздействий. Рнс.
6.6. МСАУ с регулятором в цепи обратной связи Здесск К вЂ” лги! матрица регулятора (обратной связи), которая в общем случае может быть нестационарна, т.е. К = К(!) = ()све(!)]г 4-г ц = Кх, = КСх — уравнение регулятора. С учетом (6.212) — (6.2! 4) уравнение (6.211) приводится к виду х = Ах + Ву', х(го ) = хо ! В го (6.215) где А=А+ВКС (6.216) — матрица состояния замкнутой системы.
В общем случае ограничения на вектор состояния могут быть представлены согласно рис. 6.7 (для случая л = 2). хз Рнс. 6.7. Вил «фвзовов трубки» Здесь: Д(го),Я!с),Д(г) — сечения «фазовой трубки» («пучка траекторий») Й(го,гс] в начальный Го, конечный г» и текУщий ! моменты вРемени; хо н хо, хс и хе~ — начальные и конечные значения фазовых траекторий; й(го, гс ] — фазовая трубка, представляющая собой совокупность множеств Д(г) допустимых значений вектора состояния х и системы (6.215), определенных для каждого значения ! н [!о,гс ] .
В достаточно общем случае множество Яг) можно представить в виде (6.217) гы згг Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть Н где ы,(!) =!Хе )г: 'т',(х,!) <О),!е!,Х, Ш,(х !) — некоторые непрерывно-дифференцируемые в )!" функции ограничения. ГЯ(!)=)хе)!": ~~,(х,!)=О),!е1,)( — граница множества Я(!) . Считаем также, что ГД(!) — граница множества Д(!), образованная участками границ Г Я (!), ! е 1, у, которые будем обозначать ГД(!)ПГЯ,! е 1,)(. Тогда для рассматриваемой МСАУ можно поставить следующие задачи: 1) тРебУетсЯ опРеделить, сУществУет ли дла данного хееД(ге) тРаектоРиЯ х(г, хе) системы (6.215) такая, что х(г,хс) е О(!) ч! ~ ге нли 'т! е Т, (6.218) и если существует, то какое допустимое управление н е )! ей соответствует; 2) существует ли такое допустимое управление (допустимый закон управления) н е )1, которое обеспечивает выполнение условия х(г,хе) е Д(!) Ухе е Д(ге)( 'У!1!„или 'е'геТ где Т- некоторый заданный непрерывный отрезок времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
