Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(6.102) Пусть пцп с", (у, Е) = Ху', (у) (у, Е), ЕеС где у(у)еС и является решением задачи минимизации (6.102) при заданном у н ГД(Е) . (6. 103) шах пнп шах СУ (у,х,е) < О у«ГО(!) у«С «ХМ(у.!) (6.95) прн Е> Ео. Доказательство. Действительно, согласно (6.75) получим шах аУ(у,х,е)<0 хеМ(у,!) хеу е ГЯ (е) п)уи е > ео, где у е С. Очевидно, при фиксированном у н ГД(Е), для существования на множе- стве С требуемого у, для которого справедливо (6.96), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство пцп шах с'(у,х„е) <О, 'ЕеС хеМ(у,!) (6.97) Е>уо.
При этом, поскольку, в зависимости от выбора унС, функция в"() меняет свою структуру, то в силу (6.93) о" () также будет менять структуру. Поэтому, вообще говоря, различным у соответствуют различные функции СУ() . Обозначим о,'(у,Е)= щах о'(у,х,Е). (6.98) ХЕМ (у,! ) Тогда неравенство (6.96) примет вид ау (у, Е) < 0 'теуеГД(е), е >е при унС. Для фиксированного у е С (6.99) выполняется тогда и только тогда, когда щах о", (У, е) < О, е > ео. (6.100) уег!2(Е) Но отсюда следует, что для существования хотя бы одного значения у е С, для ко- торого справедливо (6.100), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Глава 6. Синтез бых систем автоматического п авления Тогда, если о«, ( у, г) = о", (") (у, г), г > га чу е ГД(«), 299 (6.104) то это эквивалентно тому, что гпах о',(")(у,г) <О, г>га, «е ГО(! ) что эквивалентно неравенству (6.95).
Невыполнение (6.105) означает, что для некоторого у = у е ГД(г) не будет выполняться неравенство (6.102), т.е. пй «(у,г) >О «еб или о,' ( у, г) > 0 ««'у е ь«. (6.106) Это, в свою очередь, означает невыполнение неравенства (6.75), эквивалентному согласно следствию 6.2 неравенству (6.64). Отсюда следует необходимость (6.105) или (6.95), что и требовалось доказать. Заметим, что выполнение (6.! 05) означает, что для каждого у е ГД(«) существует такой у (у) и С, что закон управления ц" (")(х,г) обеспечивает выполнения неравенства (6.64) дпя данного у.
При этом не следует, что п«(««(у,г) обеспечивает (6.64) ««у е ГД(«) . Поэтому (6.105) рассматривается в качестве необходимого условия разрешимости. Неравенство (6.94) может использоваться в качестве критерия разрешимости задачи синтеза на множестве законов управления заданной (ограничениой) структуры. При этом требуемый закон управления может быть непосредственно синтезирован в результате решения неравенства (6.94). 6.2.6. 0 РАЗРЕШИМОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ЧАСТЬ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ Полученные выше соотношения (результаты) основывались на том условии (предположении), что функция о(у,х,п,г) при фиксированных у, в, «определена на множестве М(у,г) и при этом для каждого хн М(у,«) принимает вполне определенное значение. В более общем случае возможно, что при фиксированных у, и, г функция о(у,х,п,г) не однозначна на множестве М(у,г).
В частности, такая ситуация возникает, когда функция о(у,х,и,г) зависит от таких компонент х„«Е1,п, вектора Х, которые в явном виде не входят в задание множества М(у,г) (например, о() зависит от всех х,,х,,...,х„, а М(у,«) зависит только от х, их,, а оставшиеся компоненты хз,х4,...,х„в задании М(у,г) не участвуют). Рассмотрим именно этот случай. Введем для каждого у н ГД(г) некоторое множество М(у,г), представляющее собой совокупность только тех компонент вектора Х, которые не участвуют в задании множества М(у,г) (если, например, все х„«е 1, и, участвуют в задании М(у,г), то М( у,г) = 0 ).
Пусть Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 300 ~!унга(!) М(у,!) ~О,г>г,. (6.107) Выясним для данного случая условия разрешимости неравенства (6.64). Прн этом заметим, что если хп М(у,!), то полностью определены компоненты х,,!; и 1,, и не определены (могут выбираться произвольными) компоненты х,,!э е 1,, где 1ь 1!— некоторые множества индексов (1, П 1! =О, 1! 01! =1,п).
Если же хе М(у,!), то полностью определены х,,1! и 1з, н не определены х,,!; е 1,. Поэтому для заданного 3 у и Гф !) соответствующий ему вектор Х является определенным, если указать такое множество М(у,!), что справедливо соотношение х и М(у,!) гэМ(у,!), ! > ! . (6.108) Рассмотрим неравенство (6.64). С учетом обозначения (6.81) его можно привести к следующему виду а(у,х,ц,!) <0 у и ГД(!), Фх е М(у,!) и хотя бы для одного в = ц(х,!) е(1(х,!), ! > !е. (6.109) Поскольку выполняется условие (6.107), то на множестве М(у,!) функция сг() является неоднозначной, разрешимость неравенства (6.109) теряет смысл нз-за неопрелеленности функции а( ).
Неравенство (6.109) можно сделать однозначным (определенным), если х рассматривать не как элемент множества М(у,!), а удовлетворяющим условию (6.108). В этом случае при фиксированном векторе у а ГД(!) неравенство (6.! 09) приводится к выражению а(у,х,в,!) <0 чхпМ(у,!)Г~М (у,!) и хотя бы для одного ц = ц(х,!) а (1(х,!), ! > ге, (6.110) эквивалентному тому, что на указанном граничном элементе у е ГД(!) обеспечивается выполнение соотношения (6.62) при !>ге, При этом предполагается, что для данного у е ГД(!) должно существовать хотя бы одно такое непустое множество М (у,!), что для всех элементов множества М(у,!) лМ (у,!) обеспечивается неравенство (6.100).
Если такого М (у,!) не существует, то не разрешимо не только неравенство (6.110) прн заданном у и ГД(!), но не обеспечивается разрешимость поставленной задачи синтеза. Если же требуемое М (у,!) существует, то тогда, как правило, выбор его не однозначен, и для решения неравенства (6.110) можно выбрать произвольное М (у,!) из числа допустимых. Таким образом, показана справедливость следующего утверждения. Утверждение 6.1. Если для рассматриваемой системы (6.57) для некоторого фиксированного увы(!) М(у,!)мО прн гиге, то в точке уаГЯ(!) ограничение (6.62) не будет нарушено тогда, когда на всем классе множеств М(у,!) найдется хотя бы одно такое множество М (у,!), что справедливо соотношение (6.110). Глава 6.
Синтез бых систем автоматического п авления 301 Приведенное утверждение дает достаточное условие того, что система (6.57) в заданной граничной точке у и Гфг) не нарушает обобщенных фазовых ограничений (6.62). 6.2.6. Условия Разрвшимости при наличии возглущвний Полученные выше соотношения метода соответствуют уравнению объекта управления вида (6.57) при отсутствии возмущений со стороны окружающей среды. Рассмотрим как изменятся данные соотношения, когда данные возмещения должны учитываться.
Пусть уравнения объекта имеют вид х = г (х, ц,г„г), х(ге ) = х, г > !е, (6.111) где г, — г х! — вектор возмущений, о котором известно, что г,вс, (6. ! 12) Х вЂ” некоторое заданное множество в пространстве Н". Считаем, что Е задается на основе детерминистской информации о возмущениях г,. Тогда аналогично (6.8!) можно ввести следующую функцию Э...ь~)-(Г„~,~,~ г(*,,ь ))+(~,~,— /+ —, апз) ОЧ' используя которую, так же как было получено выше неравенство (6.64), можно показать справедливость следующего соотношения о(у,х,в,г„г) <0 Уу в ГД(г) и Ух е М(у,г), Зв в(7(х,г) и ч'с в Е, г > гы (6.
! 14) Если неравенство (6.65) выполняется, то этого достаточно, чтобы обеспечивалась цель управления (6.62). Из (6.114) следует выполнение эквивалентного неравенства вида щах ппп щах о(у,х,п,Р,г) <0 мм(гэ)неп(Мэ) ~ех Чу е ГД(г), г > гщ (6.115) или гпах щах т)п щах о(у,х,в,<,г) <О, у~<20) к<и(уэ) ы ц(х,б ых г > го (6.116) Для решения полученных соотношений могут использоваться различные численные процедуры (30, 32, 39, 150), выбор которых существенно зависит от выбора функции о( ) и заданных ограничений. В дальнейшем для ряда важных случаев этот вопрос будет рассмотрен подробнее. Если вместо соотношения (6.62) рассматривать следующее у ~.(!) "-' ° то аналогично (6.63) множество Д,(г) можно задать в виде К (г) = (у )!": ЧР.
(у,г) ~ О~, (6.1 ! 3) где е предполагается заданной величиной, выбранной на некотором диапазоне величин. ° Тогда, заменяя в полученных ранее соотношениях функцию ~у() на у,(), получим требуемые неравенства на параметры системы. 302 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
