Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Но тогда, учитывая приведенные выше особенности при реализации соотношения (6.46), можно считать, что выполнение соотношения (6.50) при соответствующих значениях е на всем интервале функционирования САУ равносильно выполнению цели, поставленной перед системой. При этом в качестве цели вместо (6.46) принимается соотношение (6.50). Множество допустимых значений величины е, для которых соотношение (6.50) с достаточной степенью точности можно рассматривать в качестве цели управления, обозначим через Е.
Очевидно, что 290 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть!! В, для всего интервала функционирования, а является, вообще говоря, некоторой неотрицательной функцией следующего вида е = е ( х(!)) = 6(!), ! > гш (6.53) т.е. предполагается, что для каждого ! > га текущему значению траектории х(!) соответствует своя вполне определенная величина е = Ц!) е В. Используя для а-окрестностей определение согласно (6.11), выражение цели в виде соотношения принадлежности (6.52) представим как следующее неравенство Н;(ф( (~)),0(!))— (6,54) п1эи е = б(!) е В, ! > гш где р„;, — одна из возможных мер близости в пространстве йк, а й(!) определяется согласно (6.53).
Таким образом, получим, что для динамического объекта, рассматриваемого в пространстве состояний согласно уравнению (6.13), цель управления можно представить в аиде некоторого соотношения принадлежности, имеющего выражение (6.52) или (6.54) и позволяющего учесть приведенные выше особенности при реализации ограничений на х(!) . В соответствии с приведенными выше рассуждениями можно сформулировать так называемую концепкию фуикциоиально-миожесп!евиной прииадлежиосгпи (ФМ))).
Концепция ФМП: если произвольный динамический объект управления может быть представлен посредством своей математической модели в пространстве состояний, то стоящую перед ним цель управления всегда можно свести к тем или иным ограничениям на вектор состояния объекта, определяющими характер принадлежности вектора состояния некоторым множествам или их окрестностям в каждый текущий момент времени.
Полученные выше соотношения (6.52), (6.53) являются одним из возможных подходов реализации концепции ФМП для объекта управления вида (6.13). При этом вид множеств их окрестностей определяется соответственно видом .Ц(!) и Я(!), а характер принадлежности им вектора х = х(!) — вектор-функцией !Р() . В соответствии с концепцией ФМП цель управления формулируется следующим образом: для любой траектории х(!) объекта (6.!3), начинающейся в некоторой ар -окрестности множества Д(ге), т,е, х(!е) = хе е Д,(!), в каждый текущий момент времени ! > ге функционирования объекта должна существовать такая е-окрестность множества Д(!) при еа В, для которой х(!)пД,(!). 6.2.
РЕАЛИЗАЦИЯ КОНЦЕПЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ В данной главе дается общая постановка задачи синтеза с учетом введенного определения окрестности множества и рассматривается подход к ее решению. Приводится основная теорема метода фазовых ограничений, а также ее обобщенный вариант для случая задания ограничений на функциональную зависимость от вектора состояния. Даются варианты конструктивного использования основной теоремы, в том числе с учетом ограничений на структуру законов управления.
Исследуется случай, когда ограничения задаются только на часть компонент вектора состояния. Глава 6. Синтез г бых систем автоматического п авления 291 6.2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПО ФОРМИРОВАНИЮ СТРУКТУРЫ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ В предыдущей главе был рассмотрен класс объектов управления, описываемых уравнением состояния (6.13) и обладающих в соответствии с данным уравнением следующими особенностями: 1) наличие неопределенности по структуре объекта, которую можно охарактеризовать на основе использования шкалы структур В, а также множества структур, ограниченных по норме; 2) наличие неопределенности по параметрам объекта; 3) отсутствие полной информации о возмущениях, действующих на объект (неопределенность по возмущениям); 4) наличие ограничений на значения управления и его структуру в соответствии со шкалой сложности (о.
С учетом данных особенностей и цели управления дадим строгую постановку задачи синтеза для рассматриваемого объекта. Будем считать, что под неопределенностью по структуре, в соответствии со шкалой В понимается возможность выбора требуемой (или наиболее предпочтительной) структуры г'() объекта на некотором заданном множестве структур В, исходя из тех или иных условий, определяемых поставленной целью, Т.е.
в данном случае на множестве В осуществляется выбор структуры г' (), которая способствует выполнению цели. В этом смысле выбор структуры может рассматриваться, как управляющий фактор. Если имеется неопределенность по множеству структур, ограниченных по норме или по мере близости, то под этим будем понимать, что на всем указанном множестве структур (т.е. для каждого элемента данного множества) должна выполняться поставленная цель управления. В общем случае возможно одновременное задание неопределенности в указанном смысле. Рассмотрим, как в этом случае она может быть представлена.
Допустим, что по шкале структур В выбрана та или иная структура ~'(), т.е. / '(.)е В . При этом относительно / () предполагается, что ее задание осуществляется с некоторой неопределенностью (погрешностью). Множество возможных структур имеет вид ) ( ) е и: )гя«(э ( ), э ( )) < б Ух е Дш Уц е ()щ У»' е Ищ У )1 и Ве,! > Ге ~ где (У„И',, Ве — некоторые достаточно малые окрестности соответственно множеств (/(г), И(г), В(г) чг > ге; Де — некоторая окрестность множества допустимых значений вектора х, для которых справедливо соотношение принадлежности (6.52) или (6.54); рл„() — некоторая мера близости в В", в частности, совпадающая с одной из норм пространства В"; б„— ' заданная величина, принимающая достаточно малые неотрицательные значения, которая определяет соответствующую величину погрешности при задании той или иной структуры / "(.) е В . Таким образом, каждой структуре 1'"() и В соответствует свое множество возможных структур Ф„любой элемент которой может быть реализацией модели объекта (6.13), если по шкале В в качестве данной модели выбрана структура )'() .
То- 292 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П гда одновременное задание неопределенности можно представить следующим обра- зом. Предполагается, что в качестве структуры объекта (6.13) может использоваться произвольный элемент Л).Ф„, где Ф„имеет вид (2.1); 7'(.) а г". (6.56) Теперь с учетом имеющихся ограничений на структуру и параметры объекта можно сформулировать общую постановку задачи синтеза: для класса объектов управления, описываемых уравнением типа (6.13), требуется синтезировать такой закон управления ц = и'(х,г) и выбрать такую структуру 1'"(.) в соответствии со шкалой структур г", чтобы при обеспечении ограничений на значения закона управления и на сложность его технической реализации, задаваемой на основе шкалы сложности (о, для произвольного значения параметра !3 объекта, удовлетворяющего ограничению (6.35), на всем множестве возмущений и(г), удовлетворяющих соотношению (6.28) или (6.29), (6.43) при произвольной реализации 7'() 'структуры г""() и множества Ф, согласно (6.55), (6.56), обеспечивалась заданная цель управления, сформированная на основе концепции ФМП в виде соотношения принадлежности (6.52) или (6.54).
Таким образом, результатом решения поставленной задачи будет синтезированный закон управления пт(х,г) ограниченной сложности и выбранная структура объекта г'(), реализуемая с точностью до произвольного элемента ) (.) множества Ф„ Теорема 6.1. Для объекта управления, описываемого уравнением х = 7 (х, и, г), х(ге ) = хе, г > ге, (6.57) где х, и — лк!, тк! векторы состояния и управления, при наличии ограничений на вектор управления вида (6.58) и п(7(х,г), где У(х,г) ~ Я вЂ” некоторое заданное множество для каждого х и г > ге, для выполнения следующего соотношения на вектор состояния х = х(г) и 0(г), г й 1е, Яг) = ) х е Я": Ц/(х, г) Б 0~, (6.60) где у(х,Г) — скалярная непрерывно-дифференцируемая по всем своим переменным функция, достаточно, чтобы обеспечивалось неравенство 6.2.2.
О МЕТОДЕ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ И ЕГО ОБОБЩЕНИИ Сформулированная в предыдущем параграфе задача требует привлечения такого метода для ее решения, который бы при учете всей совокупности ограничений и указанных неопределенностей позволял получать соотношения, допускающие неоднозначность выбора закона управления и его структуры, а также возможность принадлежности вектора состояния объекта (6.13) различным окрестностям того или иного множества. Как уже отгиечалось, для решения поставленной задачи будем использовать подход, развиваемый на базе метода фазовых ограничений (94, 95, 96] и называемый в дальнейшем методом Я, р) -разбиения пространства состояний (42).
Метод фазовых ограничений основывается на следующей теореме. Глава 6. Синтез г бых систем автоматического п авления 293 (Ч,у.,Г(х,в,1)) < 0 для каждого х е ГД(1) и хотя бы (6.6!) олного соответствующего ему значения не(1(х,1) при1>1, где ГД(1) = (х е Я": у(х, 1) = 0~ — граница множества Я((); Ч„Ч1 — градиент функции у(х,1); (~Р„у,7()) — скалярное произведение векторов ч„ц~,7() е Я". В (95] показана спраяедлнвость данной теоремы для достаточно широкого класса многомерных объектов, в том числе нелинейных и нестационарных. При этом об объекте предполагается лишь, что его можно представить в нормальной форме Коши. Если цель управления объектом (6.57) приводится к более общему виду У = ЧКХ(1),1) е а(1), 1 > 10, (6.62) где фх,1) — некоторая заданная пх! непрерывно-днфференцируемая вектор- функция, а множество Я1) = (у е Р: ~~(у,1) < 0), (6.63) то метод фазовых ограничений может быть обобщен на основании следующей теоремы.
Теорема 6.2. Для объекта управления (6.57) при наличии ограничений на вектор н (6.58) для выполнения соотношения принадлежности (6.62) для вектора состояния х достаточно, чтобы обеспечивалось следующее неравенство для каждого уеГД(1) и каждогохе М(у,1) и хотя бы для одного, соответствующего каждому х, значения ве(1(х,г), 1>1щ (6.64) М(у,1); 0 Ьу ГО(1),1>1,. Если 1Шя выполнения соотношения (6.62) этого недостаточно, то это означает, что для рассматриваемой х(1) в случае нарушения (6.62) должен существовать такой момент времени где ГД(1) — граница множества Д(1) зу„у — градиент функции у(у,1); Г,1р — яко. биан функции 1р(х,1), вычисляемый согласно (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
