Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Часть 11 1 О 1~ ! О~ -8 -24 -26 8-9 — 24 -271! "--~ т~ '! й 1"-'-х- О! ОО (О О 1 О 1 т е. молельный регулятор спроекгнроввн верно. Замечание 5.1. В случае выбора произвольного столбца матрицы В (Ь,) в гглгоритм! вносятся следующие изменения: 1) после проверки полной управляемости (гапй М, = и) формируют матрицу Т, начиная с Ь, доАп Ь,, затем идет столбец Ь, до А"г Ь, и т.д., пока М! +Уз ' ...ЬУŠ— — и, ГДЕ 1 < ПГ; 2) матрица Р выглядит следующим образом: Р =~О,О,...,О,е1,0,...,0,е2,0,...,0,е „0,...,0,е„1,0,...,0,е„,0,0~, где единичный вектор е! стоит на м! месте, ез — (н!+92) и т.д.
если с= 91+92+у, +...+у, > ля, тогда все единичные орты, стоящие правее столбца е, будут нулевыми, т.к, единицы в них появляются ниже и-й строки (см. пример выше); 3) матрица С имеет вид о о ... о~ 0 0 ... 0 871 ауз " В!и 0 0 ... 0 причем г!!ш С = и х и . Теперь рассмотрим другой подход модального управления для и > ! (82, 113). Алгоритм 2 В данном алгоритме модального управления, где исходная система (5.4) имеет векторное управление (т>!) используется каноническое преобразование замкнутой системы (82). Предположим, что система (5.4) полностью управляема и в желаемом спектре Л* выполняется условие )ь, м)с, длягн/, Оу =1,...,н, те, жордановые клетки матрицы замкнутой не имеют одинаковых собственных значений. Кроме того, естественно потребовать, чтобы матрица В была матрицей полного ранга, т.е.
гап!с В = и. Напомним некоторые определения. Вектор )е, (соогветственно 1 ) называется правым (левым) собственным вектором матрицы А, если справедливы соотношения АВ, = 2. К,, /=!,п, (5.31) я~А = 2. ь~, у = !,л, (5.32) где ). — собственное значение матрицы А.
Сформируем 2 матрицы В=~В! 1>г" Вя1 269 Глава 5. Модальное п авление которые соответственно состоят из правых и левых собственных векторов, причем эти матрицы связаны условием 1К=КЬ=1, (5.33) где! -единичная матрица размером ихи. Стрелка -+ подчеркивает, что левый собственный вектор 1., в матрицу 1 входит вектор-строкой. Пусть О=йа8~Л, ... Л„~ — диагональная матрица, состоящая из собственных чисел матрицы А.
Тогда выражения (5.3!)„(5.32) можно записать следующим образом: КО = АК, (5.34) 01. = 1.А. (5.35) Умножая (5.34) слева на 1., а (5.35) на К с учетом (5.33), получим следующие соотношения О= ЬАК, (5.36) К01. = А. (5.37) Из формул (5.34) — (5.37) получим для исходной системы (5.4) преобразованную.
Сделав замену переменных (5.38) Х=КХ, подставляя в (5.4) и учитывая из (5.33), что !.=К ', (5.39) имеем Х(г) = ОХ(г)+ ЬВУ(г). (5.40) Из условий управляемости следует, что в каждой строке матрицы ЬВ существует хотя бы один ненулевой элемент. Ненулевые элементы в строке ЬтВ информируют нас о том, какими управлениями из уну,,...,у„„образующими вектор У, можно изменять собственное значение Л, матрицы А, соответствующее собственному вектору 1 ! Пусть Л,, Лз,..., ˄— желаемые собственные значения замкнутой системы Х(!) = (А+ ВК)Х(г) (5.41) и К,, Кз,..., ʄ— соответствующие им правые собственные векторы. Тогда для матрицы А+ВК замкнутой системы имеем (А+ВК)К, =Л,К,, (5.42) или (А — Л 1)К =-ВР, 7'=1,и, (5.43) где (5.44) Р, =КК, /=1 и — столбец размером и х1.
Из уравнений (5.43), (5.44) определим неизвестные собственные векторы К,,Кз,...,К„, предварительно задавшись столбцами Р,,Рз,...,Р„. Нахождение векторов К и Р, ! = 1, и зависит от того, является ли желаемое собственное значение ! э Л собственным значением матрицы А или нет. Поэтому рассмотрим каждый случай отдельно.
270 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 1) Желаемое собственное значение Х не является собственным значением матрицы А, те, дет(А — Х 1)ее О. Тогда взяв любой ненулевой столбец Р, ыО, но так, чтобы матрица Р была матрицей полного ранга (гапй Р = ле ) и учитывая, что матрица  — матрица полного ранга (гапй В = ле ), имеем К =-(А-Х 1) ВР, /=1,н, (5.45) Р ~0. 2) Х, является собственным значением матрицы А, т.е. дет(А — Х,1)= О.
Тогда уравнение (5.43) будет иметь ненулевое решение относительно К,, если ранг ее исходной системы будет равен рангу расширенной (теорема Кронекера— Капелли), т.е. гап1е(А-Х 1)= гап)е(А-)е,1; — ВР, ), (5.46) Если Ь вЂ” левый собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Х,, то, умножив слева (5.43) на Ь, получим; г 1.т(А-Х $)К = — ЬьВР . Учитывая (5.32), имеем: Ьт (Л'1) = 1* Ьт. Тогда соотношение (5.47) примет вид: ЬтВР = О, (5.48) или ОР=О, (5.49) где обозначено Я, =ЬзВ, Таким образом, все т-столбцы Р должны для этого т т случая удовлетворять соотношениям (5.49). В частности, здесь можно брать Р, = О.
Это означает, что при сохранении )е, в спектре замкнутой системы сохраняется и соответствующий собственный вектор К,. Для систем со скалярным управлением (ле =1) это имеет место всегда. Получив весь набор собственных векторов К (/=1,л) и столбцов Р, (7'=1,п), находим матрицу модального регулятора: К=Р(К) ', (5.50) где Р* = ~ Р,, Р2,..., Р„~ . Рассмотрим пример, который был решен ранее с использованием пего)знаема Ь Прнмерзл!Аагоритмг) (а=з, т42) Итак, даны матрацы Глава 5. )т)одальное п авление 27! А=О 1 О, В=О 1 Спектр матрицы А Ля --(0; 1,2).желаемыйспектр Л =(-1, -2,.3 ) Пара (А, В) управляема Зто уже было показано Так как все собственные значения Лл и Л* риличны, то лля нахождения правых собственных векторов й, (2=1, 2, 3) используем формулу 15 42) Пусть Р, =(1 О), у =1,2 Тогда для Л' =-1 имеем Аналогично для х, =-2 получим для х, = -3 примем Р,' = (О 1), чтобы матрица Р имела полный ранг 2 Тогда имеем т Окончательно получим следуюгдую матрицу коэффициентов -0,6667 -0,375 0 -'('1-'-(' 0,3333 0,125 0 Проверим полученный результат Матрица системы с обратной связью — 4 0 — 6 (А+ВК)= 0 -3 0 1 0 1 Спектр Л„,ак —— (-1, -2, -3) = Л, т е, модальный регулятор спроектирован верно 6.3.
УПРАВЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫМИ МОДАМИ ПРИ ПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Рассмотрим задачу модапьного управления, в которой необходимо обеспечить сдвиг собственного значения А» матрицы А к )ь„, причем остальные собственные значения остаются без изменения. Такая техника полезна при решении таких задач, когда объект не является полностью управляемым, но он модально (по отношению к 7ь» ) управляем и может быть стабилизирован с помошью модальной обратной связи. Предположим, что все собственные значения матрицы А различны.
Алгоритм сдвига собственного значения л» к желаемому )„основан на следующей теореме. Теорема 5.2. Для того чтобы в спектре матрицы А изменился корень 2.», а все остальные собственные значения и правые собственные векторы, в том числе и К», остались без изменения, необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы модельного регулятора К были пропорциональны левому собственному вектору Ьт матрицы А, т.е. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 272 К = Г„1.'„, (5.51) где Г» — некоторый ненулевой столбец размерности ях1.
Доказательство. Нам необходимо показать, что сушествует непрерывный путь, соединяюший матрицу А с А =АеВК, если матрица К определяется выражением (5.51), при этом В» — — В». Обозначим через яя!») = В» правый собственный вектор собственных значений Л» матрицы А, а В» = В» — соответственно матрицы А для (ч) Л». (О>1). По определению (А+ ВК)В„= Х„В».
(5.52) Умножим слева левую и правую части (5.52) на левый собственный вектор 1,7 матрицы А 1т(А ВК)В' 3 ~тВ (5.53) Так как Ь»А = Х»1.~», тогда имеем Р.'„-Л»)Е»К» = Е»ВКВ',. (5.54) Если в выражение (5.54) подставить формулу (5.51), то получим ()ь — Л )1 т В„= 1,Т ВГ 1,7 В„, (5.55) Когда Х„= Х», то В„= В» и 1»й» =1. По тогда в правой части (5.55) имеем Г„=О, что даст в соответствии с (5.51) К = О. При изменении Х„( Х» и Х» ), произведение Е» ВО) = 1 (1 < !' <»7 ) будет постоянным согласно (5.33). Соотношение (5.55) будет выполнено, если можно подобрать такой ненулевой столбец Г», чтобы Х,' — Х, =1,ТВГ„ (5,56) Это всегда можно сделать, если 1.» В м О, что имеет место при модальной управляемости по моде )ь» .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
