Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 41
Текст из файла (страница 41)
«Зм(с,т) у, (т) уз (т) Е о (4.8) хр(Е) «!(е,т) ... «(е,т) у (т) х,(с! Или, что то же самое, у(з) К(сх) Х,(е) =) К(е,т) т'(т) ает. о (4.9) Пример 4.1. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями вида х,' е х,' ч- хз — — ун х, +х, +ха =уз. Перейдем к изображениям (з + з)4 (з) + -Хз (з) У~(з) (з+!) Х,'(з)+ зХз (з) = 1з (з) Ияи в матричной форме Найдем 1, '(з); имеем !1(х)/ (2+ ) ( !1 3„2 1 ( !)(2 о$1(з)=5 оы(з)= — (3+1) оз!(3)= 1! азз(з)=з +3. Отсюда находим В !(з)= „ 1)( 2 1) ( Ц 2 + Выражение двя изображения выхода принимает вид !з+1)!зз -1) (з+1)(зз — 1) з+! 3 +3 (".й ( „!)(2 1) ( 1Д2 где К(т) — манеричная ИПФ многомерной системы.
Так же, как и для одномерных систем, можно ввести понятие частотных характеристик. Если САУ нестационарна, зависимость (4.6) принимает вид 240 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Из последней формулы находим 5 1 1()21()22()' (зе))(зз -1) (ке1)(кз -!) 1 3 ез Хз (к) з ~1 (к) з 12 (к) кз -1 (з е!)(з~ -1) (4 10) или Х; (к) = Ип (з) У! (з) е И', з (з) )з (з), Хз (к) = Из~ (к) )~ (к) е И н (к) Уз (з) Зависимости (4 10) и (4 11) учитывают не только прямые (основные) каналы, но и перекрестные связи (рис 4 3) Рвс.
4.3. К описанию многомерных систем с помощью передаточных функннй 4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ Многомерная система автоматического управления, реализующая принцип об- ратной связи, показана на рис. 4.4. Здесь Х и «г" — состояние объекта; Щг) — управ- ляющий вход объекта; У(1) — задание регулятору (уставка); е(() =(а,(г),...,ет(!))— рассогласование (ошибка управления), компоненты которого определяются форму- лой е„Я = у„Я вЂ” х„'Я, )« = ),и.
Объект управления объединяет всю неизменяемую часть системы: исполнитель- ный элемент, объект, измерительную систему и т.д. Положим, что объект описывается уравнениями состояния Х(1) = АХ(() + ВЩ), где А=сонм; В=сопя!, и выхода Х,(() = СХ(г). (4.!3) Пользуясь приведенными выше методами, связь между входом и выходом можно представить в виде (в матричной форме) Х,(г) = ЪУ(з) У(з), или в развернутом виде Х!'(4) Х2 (з) И !1(З) И!2 (З) " И !т (З) У! (З) ~21(з) «122(з) ««2т(з) «2(з) (4. «4) Х () И'т ( ) И (з) ... Итт( ) Ут(з) Проведем некоторые рассуждения, касающиеся качества управления в классе стационарных систем.
В одномерных системах критерий качества характеризовался параметрами переходного процесса, такими как время регулирования, перерегулирование, точность работы системы в установившемся режиме и др. («30), Глава 4. Методы синтеза е лято ов в классе многоме ных систем 24! Рис. 4.4. Структурная схема многомериоя сястемы В многомерных объектах не удается найти единый критерий, который бы наиболее полно и всесторонне характеризовал систему.
В адналгерных системах для оценки качества рабаты СА У достаточно провести один эксперимент. В многомерных САУ, если представление о качестве будет строиться на концепции проведения одного эксперимента (на все каналы одноврегиенно подаются ступенчатые воздействия и анализируются соответствующие реакции), то разработка методов синтеза, использующая талую концепцию, к удовлетворительному результапху не приводит. В большинстве своем многомерные системы имеют гп выходов и т входов.
Каждая входная уставка (воздействие) предназначена для отработки «своим» каналом. Что касается идеальной системы, в которой все каналы развязаны, в ней осуществляется управление по каждому каналу автономно, т.е. каждому индивидуальному скалярному выходу соответствует свой индивидуальный вход у,(1) (своя уставка), Таким образом, размерггасть входа х'(г) всегда совпадает с размерностью выходного процесса Х,(!). Отсюда легко сделать вывод; любую замкнутую систему управевния .тгогамерным объектом можно рассматривать как квадратную систему (рис. 4.5). У® х гс) Рис. 4эк Кяанрятнаа система В квадратной системе имеют место т одномерных каналов (с учетом взаимозависимости каналов), соответствующих всевозможным парам (у,х,'), Б/ =1,т.
Важным является следующее положение: т параллельно работающих каналов у,(г)-ох,'(г), уз(!) — эх,'(!),..., ун(!)-+хн(Г), т.е. «вход у,(г) — выход х,'(г)» являются собственно каначаии управления выходом, а остальные перекрестные каналы у,(г) -+ х, (г), (г в у) следует рассматривать как ваэмугцения. При таком рассмотрении вопроса динамическая точность и качество многомерной системы тем выше, чем точнее и качественнее в системе по каждой выходной переменной х,'(г), 1=1,т отрабатывается свой индивидуальный вход у,(г) и чем меньше при этом на нее влияют другие входы (чем меньше влияют перекрестные связи).
Исходя из предыдущих рассуждений, качество управления может характеризовать критерий, прелложенный В.В. Солодовниковым и Н.Б. Филимоновым, Этот критерий наиболее адекватно отражает динамическое поведение многомерных систем. стз «эсо 242 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть Н ство управления определяется матрицей переходных характеристик Н =(по(!)),"',ы системы посредством задания областей допустимых значений выходных переменных. Переходный процесс йо(!), ! =1,т по каждому каналу, являющийся реакцией на 1(!), ограничивается такой же областью, как это принято в теории одномерных систем, причем параметры этих областей для каждого канала — свои (рис. 4.6).
Переходный процесс й»(!) (влияние у,(!) на выход х'(!) ) ограничивается областью, симметричной относительно оси времени, причем высота ее определяется допУстнмым взаимным влиЯнием каналов а, и (! к 7); шиРина одна и та же длЯ всех выходов и определяется наиболее инерционным перекрестным каналом (рис.
4.6). а/ ф дг4!б и!бг » ! ви„,, ! о -в!»»и» Рнс. 44К К сир»делению критерии кочество многомерных свстем Сказанное выше математически можно выразить следующим образом 176): (4.15) ~Ь,(!)-1~ йб,'! Т, „; (4.! 6) (йо(!)(<о, „, !к 1, 06! < Т; (4.17) )Ьв (!)( 6 Л, ! к /, ! > Т; (4.18) 10, св!) й,( )=б, =! ' (1, с=/, где Л вЂ” малая постоянная величина; Т = щах Тн„; о,',,„,о„„, Тн„, а»м (!»с 7) ммм — заданные максимачьно допустимые значения прямых показателей качества управ- ления: максимально допуСтимое положительное перерегулирование, отрицательное перерегулирование и время регулирования !-го выхода, максимально допустимая величина влияния ! -го входа на 1 -й выход системы (влияние перекрестных связей).
Н(!) — матричная переходная характеристика, представляющая собой квадратную функциональную матрицу с элементами и, (!) . Такой подход к формированию критерия качества учитывает, с одной стороны, качество отрабо)пки системой воздействия собственно по каждому.
каналу, с дру- гой стороны — допустимое взаимное влияние всех перекрестных связей. (4.19) Динамическое качество многомерной САУ тем выше, чем точнее она отрабатывает входной сигнал у,(!) для каждой выходной переменной х,'(!), ! =1,т и чем меньше при э!лом влияние на другие выходные переменные х,'(!), ! к ! объекта. Каче- Глава 4. Методы синтеза ег лято ов в классе многоме ных систем 243 Кроме ограничений на процессы Ал(!) и Ь, (!), часто необходимо накладывать ограничения на их производные соответствующего порядка, например, типа модульных ограничений: )г(с)(!) < )г(е), ! = 1,т; ус = 1, н, — 1.
Если объект описывается уравнением (4.!2), то ограничения можно записать в виде Х (!) е Х 'У! е [О, Т1, Щ!) е сг ч ! е [О, Т1, где Х и (! — допустимые области. Могут быть наложены ограничения и на вектор-функцию Х(!) . В установившемся режиме каждый канал должен обеспечивать заданную точность воспроизведения входных сигналов, что достигается заданием допустимых значений коэффициентов ошибок по каждому каналу.
Сделаем постановку задачи, пользуясь описанием объекта управления н регулятора в пространстве состояний: Х(!) = А,Х(!) + В,Ф)(!), Х,(!) = С,Х(!) — уравнение обьекта, Х„„(!) = А Х (!)+ В е(!), 1)(!) = С Х (!) — уравнения регулятора, е(!) = У(!) — Х,(!). Структурная схема. многомерной системы автоматического управления представлена на рис. 4.7. Общая постановка задачи: необходимо найти матрицы А,В,С, такие, которые обеспечили бы заданное в известном смысле качество управления (например, с учетом ограничений на управление 1)(!) и переменные состояния). Рнс.
4.7. Струатурнаа схема многомерной системы автоматического увравяснгга Можно сформулировать конкретную постановку задачи синтеза системы управления многомерным объектом: требуетсн синтезировать устойчивую систему, удовлетворяющую требованиям (4.15) — (4.19) и требованиям точносаш в установив!немая режиме [761. Наиболее простая структура реализуется безынерционными звеньями нли звеньями, описываемыми передаточными функциями, степень полннома числителя которых меньше степени полинома знаменателя. Задача синтеза в сформулированной постановке разрешима при условии функциональной управляемости объекта по выходу, т.е.
должны быть выполнены требования: 1) размерность выхода объекта не должна превышать размерности его входа; 2) передаточная матрица объекта должна иметь полный ранг; гт 244 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 3) объект не должен иметь правых передаточных нулей. Требования 1 и 2 тесно связаны с возможностью выполнения условий автономности контуров объекта. ряс.
4.8. Структурная стелса мвогочеряой системы с регулязором, ус< ройством развязка вавилов я стай<<я<<<ярую<ляг< устройством В структурную схему многомерной системы (рис. 4.8) входят следующие элементы: с<пабисизирующее устройство, необходимое для реи<еиия задачи стабилизации исходного объекта управгения, компенсатор, или устройство развязки каналов, предназначенный для решения задачи динамической развязки контуров управления каждой выходной переменной обьекта, и, наконец, регулятор, цать которого — решение задачи коррекции показателей динамического качества отдельных контуров регулирования. 4.3.
ДИНАМИЧЕСКАЯ И СТАТИЧЕСКАЯ РАЗВЯЗКА КАНАЛОВ (ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ) Для асвлттопшческой устойчивости линейной сис<пемы дифференциалы<ых уравиап<й с постояннылш коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы веи<ественлые части корней характеристического уравнения были отрицательно<, или собспгвеиные значения матрицы А должны располагапгься в левой иотуплоскости колоыексной плоскости.
Справедливость этого положения вытекает из равенства, определяющего свободные колебания систем. Если же система неустойчива, то ее необходимо стабилизировать. Пусть объект описывается уравнениями Х(<) = АХ(<) + В()(<); х,(<) =сх(<). Воспользуемся стационарной обратной связью вида [93] ()(<) = — КХ, (4.22) где К вЂ” матрица размером тхп. С учетом (4.22) уравнение объекта запишется так х(<) = Ах(<) — вкх(<) =[А-Вк) х(<).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
