Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Получим следующие переходные процессы (рис. 3.12). й(т) 12 08 06 04 02 т = соа( 0 2 4 6 8 10 Рнс. 3.12. Переходные характеристики с параметрами рмс. 3.11, ио с расщнрением полосы существенных частот (р = 4) Из сравнения этих графиков видно, что ошибка в переходных характеристиках, вызванная аппроксимацией трапеций Р1(й), Рз(й) трапецией Рз(со), как по перерегулированию, так и по времени переходного процесса незначительна. Оценим влияние других параметров. На рис. 3,13 представлены переходные процессы для Х = 0 7, )( = 0 7, )(, = 0 6, т, = 08636, () = 2, Р„= 1,! .
Методью синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !! 220 (ю(т) 12 08 06 02 0 2 4 6 8 10 12 14 1'ююс. 3.13. Переходные характеристики вешествеоных частотных харахтерююстак Рю(ею), ..., Рю(й) дли Л= О 7, у =0 7, ), =0 6, Х, =0 В636, 8=2, Р „, =! 1 Из сравнения графиков (рис.
3.! ! — рис. 3.13) видно, что при значительных изменениях отдельных параметров перерегулирования 0% остается практически неизменным, лишь незначительно изменяется время переходного процесса т„„. Оценим теперь влияние Р .„. Сохраним все параметры предыдущего примера неизменными, но Р возьмем равным 1,2 (т.е, увеличим по сравнению с предыдущим вариантом). Получим следующие переходные процессы (рис. 3. 14). 14 12 08 06 04 02 -02 2 4 8 8 10 12 14 Рис. 3.14. Переходные характеристики вешествениых частотных характеристик Р(ею),..., Рю(ею) длюю Л=07, у=07, 2,=06, у,=066)6, 0=2, Р „=1,2 Глава 3.
Частотный метод синтеза ко екти ющих ст ойств 221 Данные графики показывают, что изменение Р существенно влияет как на перерегулирование, так и на время переходного процесса: при увеличении Рм.„растет 0% и тем . На основании многочисленных исследований были получены усредненные графики, характеризующие собой зависимость относительного времени переходного процесса т„„и перерегулирования а% от максимального значения вещественной частотной характеристики Р,„, причем, т.к.
переходные процессы для Р,(щ) и Рз(йз) отличаются незначительно, то принято оз„= щ„. Данные зависимости приведены на рис. 3.15 [116, 130[. Из рассмотренных выше графиков можно сделать следующий вывод: если реальная масштабированная вещественная частотная характеристика Р(оз) не превышает по абсолютной величине графика Рз(оз), то переходной процесс реальной системы будет удовлетворять следующим условиям где ( ) — значения о и г„„, полученные из графиков (рнс. 3.15). Это приводит нас к следующему заключению: если характеристика ь(0(пз)) разомкнутой системы не заходит в прямоугольник, включающий линии уровня Р, = Р,„и Р, =1 — Р,„на номограмме для определения Р(щ) замкнутой системы по ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы (рис.
3.6), то замкнутая система будет иметь показатели качества не хуже г„„, а*%. На рис. 3.16 это показано для Р „.„= 1,2, Р и= — 0,2. о%, озчгм 40 35 30 25 о% 20 15 10 (мчг )' 5 13 Рис. 3дя. Графики зависимости относительного времени переходного процесса т„„=м г„„и перерегулнрованип а% отмаксимального значении Р вещественной частотной характеристики прн х з 0,8, х > 0,5, х, я 0,4 Обозначим одну сторону прямоугольника через 2у, а вторую — 2с) и определим и как запас устойчивости по амплитуде (в Дб), а у — запас устойчивости по фазе (в град.).
222 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества, Часть 11 Е,дБ В (град) 0 -200 -150 -100 -50 0 1'нс. 3.16. График Е(0(ез)) разомкнутой системы, у которой перехолной югропесс удовлетворяет показателпм качества (г„„< г„„, а% < о % ) Из графика (рис. 3,16) видно, что прямоугольник огибает так называемая средне- частотная, т.е.
в окрестности частоты среза оз, часть кривой ЦО(оз)). Построением прямоугольников, включающих в себя различные линии уровня Р, = Рма,, Р, =1 — Р,„, были получены следующие графики для определения необходимых запасов по амплитуде с) (Дб) и фазе 7 (град.) (в зависимости от Р,„), которые обеспечивают требуемые показатели качества (рис.
3.17) [11б, 130]. 70 д,лБ т„град 60 50 40 ЗО 20 10 0 Р 11 12 13 14 Рпс. Здт. Графики определении минимальных запасов устойчивости по амплитуде д (дБ) и фазе у (грал.) Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти ющих с ойств 223 Из графиков рис. 3.16 можно сделать следующий вывод: для того, чтобы кривая ЦО(и)) не заходила в прямоугольник со сторонами 2д и 27, необходимо и достаточно, чтобы избыток фазы р(ез) =180" +О(ы) на интервале д > Цв) > -д изменения ЛАЧХ разомкнутой системы был не менее 7, т.е. Р(сз)>7, ~Ум; 9>ЕФо)>-9. З.б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СРЕЗА ЛАЧХ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ НА МАКСИМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ В СИСТЕМЕ [133] Данная задача имеет простое графическое решение и определяет следующее оптимальное управление: эг, Опг< — '", 2 Т,„ 2 О, г>Т„...
и'(г) = (3.50) где Т,„= пцп Π— оптимальное по быстродействию время перехода. Переходной про цесс имеет следующий вид (рис. 3.18). Данный переходной процесс аналитически можно представить следующим образом (г) 121[1] г в 1 г + + — эг (г-Т „) 1[1-Т„„„], 1 2 где 1[1[ — функция Хависайда. (3.5 1) В о многих практических задачах объект управления является инерционным механическим объектом и подчиняется второму закону Ньютона. Для такого класса объектов можно решать задачу оптимального по быстродействию перевода системы из одного состояния в другое при ограничении на максимальное ускорение (в терминах теории оптимального управления — при ограничении на управление).
Пусть объект управления описывается системой второго порядка: х=и, 1и)<н,„, х(0)=х(0)=О, х(г,)=хп >О, х(1,)=0. (3.45) Необходимо определить структурную схему оптимальной по быстродействию системы управления данным объектом. Решим первую часть задачи с использованием принципа максимума Понтрягина [99]. Для этого представим уравнение (3.45) в форме Коши: , 1и)<в (3.46) х, =и х, (0) = х, (0) = О, (3.47) х/(г~) = х/у, х~(О) = 0 (3.48) Требуется найти оптимальное ограниченное управление и'(г), переводящее систему из состояния (3.47) в (3.48) и минимизирующее функционал 7 =пинг,.
(3.49) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 224 х, Ти Рис. 3.18. Оптимальный по быстродействию переходной пропесс при н = и и Найдем преобразования Лапласа для (3.51). Имеем: г,„ 2 зетах 2ихюахе Л 0(З) З З + хомах Я 3 Я (3.52) 2,„ з По теории о предельном значении оригинала найдем х„: х„=х,(1) = Н~пзХ0(.) = Пю. х-хо х-хо 4Х 4 (3.53) (3.54) По определению: А'а(з) = Фа(з)~(з) = Фа(х) (3.55) 4 Сравнивая (3.55) и (3.52), получим оптимальную передаточную функцию (она является трансцендентной): 1' 4 1-2е 2 +е 0() 2 Тз,„ х причем выполнено условие астатизма 1пп Фо(х) = 1. х-ао Найдем частотные характеристики для Фо(4): Фо(~оз) = Ро(ю)+ /Яо(а) .
Имеем: (3.56) ааа, 7' Последнее выражение получено разложением е 2 и е 1'"'"' в ряд Тейлора до второго порядка включительно в окрестности з = О. Итак, для того чтобы система обладала астатизмом первого порядка, при условии, что объект переводится из состояния х(О) = О в состояние х(Т,„) = х,, за минимальное время, необходимо, чтобы на ее вход подавалась ступенька с амплитудой 4 лава 3. Частотный метод синтеза ко екти юших с ойств 225 >-т ( "" ~). (т.,р! Г Т„,п 0() 2 4 (3.57) 2з1п ппп ш -з!п(Т,пот) 4 0о(з)= г Т,~~, „ (3.58) (3.62) 2 ет ср опт 7.
ппп Используя выражения (3.54) и (3.63), получим окончательную формулу, связываюшую частоту среза оз,р,„,, максимальное ускорение то,„и величину отрабатываемой ступеньки ле, при которых переходной процесс имеет максимальное быстродействие и астатизм 1-го порядка (3.64) 3.6. МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОИСТВ В.В. СОЛОДОВНИКОВА) Как уже было показано выше, свойства систем автоматического регулирования (САР) полностью определяются частотными характеристиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы минимально-фазовые, то достаточно рассмотреть только амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) (см. 83.2) или ЛАЧХ, Построить Если передаточная функция Фо(з) имеет единичную обратную отрицательную связь, то оптимальная передаточная функция разомкнутой системы определится как г„ 4 1-2е з +е """' Т2 Фе(з) ~п~п сто(з) = 1 Фо(з) 4 ( 2 Т~,„~с Выражение (3.59) позволяет построить ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, но нашей задачей будет найти частоту среза со„,п, для данной ЛАЧХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
