Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 35
Текст из файла (страница 35)
После нормировки уравнение принимает вид. х Я е 8,0606хЯ е де (1е ааз) х(/) е й!/тех Я +айза„— [Г(х) )=ЙаеуЯеЩсЯс), /се=12,!212 г/ Ы/ Выберем желаемый переходный процесс в виде Ь,(/)=хр(1-е "созыг) Парачетры процесса найдем, исходя из предъявленных требований к покшателям его качества Полагая, что Т = 2х/ы — период собственных колебаний процесса, можно записать выражение для чаксимального отклонения переходной характеристики (2 228) Ь жф 1-е ' =/г 1-е " =/г 1-е " откуда легко определяется колебательность процесса и его частота: ы к ка, ге= — = —, ез= — ' а, (/лд( (/пд( где б= — "" — 1 3 а,ч —.
Известно, что время переходного процесса Тр связано с коэффициентом затухания приближенным ра- венством 202 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть И Из приведенных выше зависимостей следует 3 а,= — 3, ы ч — ' ч 6, 093 ч 6. ка, 1!и Ь( Пользуясь описанным выше методом, определяем искомые параметры. 1~ = 0 0417862 )гз = 0 0176393 ез = 0 00095812 Эталонный переходный процесс и процесс в системе при найденных параметрах показаны на рис 2 120 Анализ полученного решения подтвердил, что при этих параметрах заданная грубость обеспечивается Рис. 2.П9. Нелинейная следящая система 1.5 .5 2 0 0.5 1 Рпс.
2Л20. Эталонный Ь,(г) и реальный Ьр(г) переходные процессы 0.19886 -0.0144799 Рис. 2.121. Ошибка прпблишениа эталонного процесса Ь,(г) Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 203 2.13.4. МЕТОД МОМЕНТОВ Положим, что известна зависимость, определяющая невязку (2.286), причем для функций Р! (!, Р/, рз... Р„) и Рз (/, р/, рз... Р„) справедливы соотношения (2.285).
Пользуясь положениями, изложенными в 91.4 (см. пункт 1.44), запишем систему ра- венств ) Е (!, Р/, Рт " . Рг)/я (/)г// = О, /г = 1,/. (2.329) о В 92.10 при рассмотрении класса линейных стационарных систем используется зкспоненциальиая моментная система: и = (е"м: /с = 1, 2, ..
4 с е /г'); (2.330) в (7) также рекомендуется использовать систему (2.330), причем приведены конструктивные.алгоритмы решения задач синтеза регуляторов для широкого класса нелинейных систем. Там же построены алгоритмы, использующие понятие обобщено линеаризованных систем. Из (2.329) легко получить систему алгебраических уравнений для расчета неизвестных параметров регулятора. Пример 2.28 [7] Рассмотрим систему, структурная схема которой представлена на рис. 2 116, а ее поведение описыва. ется уравнением (2 325), где нелинейный элемент имеет вид (2 324).
Постановка задачи совпалает с той, которая приведена в примере 2.26. Положим, что эталонные входной и выходной процессы определяются зависимостями у,(!) =1(!), х,(!) = Ь, (!) =1-е а задача синтеза заключается в нахождении параметров Лм Ьп /г, Перепишем (2 325) в виде «(!)+а!(/гз)х(!) +пе(аз)х(!)+4(Й,)У(х(!)) =6!(Яз)У(!)чье(Я!)У(!) (2 332) ПРиведем зависимости, опРеделающие фУнкпии Г,(!,РпР! Р,) и Рз(!/Р!,Р! ..Р,), опРеделЯемые (2 285) ;« .*..!= - - []К!-!-'1 !* .х-!)[--))" е ьо ь)(!-т)г/(я!)У((1-е ' О/т, г [ ! ;К .ч*..!=фг !' —,(,пп.ь .! ! !))' е ь-е Ошюда следует соотношение для невязки б(! Ям/г! Яз) = Р!(! Яз Яэ /гь)-Рз(! Я»"з "я) Элементы моментной системы определяются формулами [7] /!(!) = з'з(!) = (2 333) (2 334) г Тогда (]Е(!,/гз,/гз,/г!)Я(!)г/! = О, ! = 1,2 о После проведения соответствующих расчетов имеет место система алгебраических уравнений [7] 0,208/!я -0 833/! з - 5/! з ь 0 95 = О, 0 24344 0 555/гз 6 667хз + 0 933 = 0 (2 335) отсюда следует /гз —— 1,972/гз ч 0,4223, /гя = 31,94/гз -2,8762 Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство Поскольку неизвестных параметров три, то, следуя изложенным выше положениям, необходимо выбрать три моментных функпин Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.
Часть!1 204 /2(!),72(!) и 72(!) и, таким образом, получить три уравнения для расчета параметров регулятора «2 «3 «4 В [7] рассмотрен подход, позволяюший получить два уравнения (2 336), при этом имеет место возможность изменять параметр «, таким образом, чтобы были выполнены важные ограничения, определяюшие качество работы системы В [7] детально изложен вопрос выбора параметра «, из условия получения абсолютной устойчивости системы, а также обеспечения статической ошибки, не превышающей 55К Кроме того, значение параметра «, выбирается из условия получения положительности параметров «,, «,, «4 и максимальной грубости системы по этим параметрам С учетом выполнения указанных выше условий «, =0,091, рассчитанные по формулам (2 336) значения параметров «, и «4 равны «, =0 60!7, «, =0,0303 При найденных значениях параметров регуяятора в системе имеет место монотонный переходный процесс, заканчиваюшийся практически к моменту времени Тр = 0,5с, и статическая ошибка системы не превышает 5М Легко видеть, что если 1 > 3, то, построив систему равенств ~б(2,«1,«з,«4)1.(!)дг=Н,"(«1,«2 «4)-Н'.(«2,«з«4)=0, «=12,",7>3, е г где Н.*(«2 «2«4)=] Е2(! «н"! «4)24.(!)27! Нр("»" «4) ] "'1(! «>«2«4)рг.(!)211, е е задачу расчета коэффициентов «,, «,, «4 можно сформулировать в терминах нелинейного программирования ! 2 )(«1 «! «4) 242Н («1 «! «4) и («2 «2 «4)1 =1 при соответствующих ограничениях Как уже указывалось, рассмотренные выше методы, использующие аппарат нелинейного программирования, предполагают задание ограничений в виде явных выражений от варьируемых параметров рп р,,..., р„.
Если такие зависимости не получены, то на каждом шаге направленного поиска параметров р,, рз,..., р„необходимо интегрировать дифференциальные уравнение, описываюшие динамику системы с учетом уравнения регулятора. 205 Глава 3. Частотный метод синтеза ко екти ющих с ойств ГЛАВА 3. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Частотные методы синтеза корректирующих устройств относятся к числу наиболее разработанных и широко применяемых на практике. Это объясняется, прежде всего, их физической прозрачностью, гибкостью и инженерной направленностью.
Среди ряда частотных методов синтеза (см., например, [17, 141]) мы рассмотрим частотный метод синтеза последовательных корректирующих устройств, базирующийся на концепции желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристике, предложенной В.В. Солодовниковым [141). Данный метод широко используется для синтеза следящих систем.
Основная идея метода — это связать логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, вещественную частотную характеристику замкнутой и показатели качества переходного процесса (перерегулирование и время переходного процесса), формирующие так называемую «коробочку Солодовниковао. Наиболее просто эта связь находится лля минимально-фазовых систем, поэтому нами будут рассматриваться только такой класс систем. В первой части главы будут получены соотношения, определяющие данную связь, далее рассмотрен алгоритм синтеза желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики и, наконец, подробно разобран пример.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ (ИПФ) ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Пусть И'(з) передаточная функция замкнутой устойчивой системы. По определению ее ИПФ имеет вид с~с /с(с) = — ) И'(з)елс/з . 2я' / с-с Так как по условию все полюсы левые, абсциссу сходимости с в интеграле (3, !) можно принять равной нулю ( с = О), тогда с О /с(с) = — ) Ис(з)е' с/з. (3.2) 2я/ Сделаем в (3.2) замену переменной з = асс. В этом случае интеграл (3.2) можно представить в виде сг(с) = — ) И'(/со)е'" с/со. (3.3) 2я Выражение (З.З) представляет собой обратное преобразование Фурье.
Оно опре- О деляет функцию /с(с) на интервале 0< / < со, если интеграл / с!(/)осс абсолютно схо- дится. Это условие для устойчивой системы выполняется. Представим комплексную частотную характеристику И'(7со) в виде: И'(7со) = Р(со)с-Я( ), (3.4) где Р(со), Д(со) — вещественная и мнимая частотные характеристики соответственно. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 206 Подставляя (3.4) в (3.3) и учитывая, что е' ' = соя в!+ 7'яп вг, получим к(г)= — ) (Р(а)сова!-Яв)з!пвг)сйо+ !' — ) (Р(а)з!паг+Яв)созвг)с!в.
(3.5) 1 ! 2я 2я Функции Р(а), созвг являются четными функциями от а, а Д(в), з!пвг — нечетными функциями от в [115), поэтому подынтегральная функция во втором интеграле (3.5) является нечетной функцией а и ее интеграл в симметричных пределах равен нулю. В первом интеграле подынтегральная функция является четной функцией, поэтому выражение (3.5) можно окончательно записать в виде 1 1 /с(г) = — ) Р(а)созвгосв — — ) Д(в)япвМа. (3.6) "о о Необходимо отметить, что преобразование Фурье (3.6) определяет 1с(г) в пределах — со<!<со, а по условию физической реализуемости к(г) =0 при !<О. Учтем этот факт следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
