Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(2.283) м=в »»о Этому уравнению эквивалентно интегральное уравнение ! (к-! ( 1)» *»! (2, —.[,!..-',х- г')*!+ е»-о" + — )(г — т)" Р(х(т))бт = ( - 1)1 'о —,[ь !к,- р !»- Г')н+' с »=о " Пусть у,(г) — эталонный входной сигнал, а х,(г) — эталонный выходной процесс. Тогда, воспользовавшись обозначениями: Ч г.- н!=ч»!+[[с,' —,[ !л,- кХ -*Г '!ч! )[н о + )(г - т) Р'(х, (т)) ат, 'о г!»н.- ъ)-[ К вЂ”,[»!к,- кХ вЂ” !'')и! !). о (2.285) можно записать соотношение для невязки Е(Г*Р!" Р )=Р!(Г Р! " Р ) Сз(Г Р! "Р ) (2.286) Далее задача формулируется в терминах аппарата нелинейного программирования: г з'( р!,...
Р,) = (~Е (б р!,... Р„) !»г = пип о Р~ Очевидно, методы синтеза регуляторов в классе нелинейных систем, требующие знания обратного оператора замкнутой системы с целью нахождения зависимости, определяющей выходной сигнал в функции параметров регулятора р!, Рз, ... р„, практического интереса не представляют. При решении конкретных задач весьма конструктивные алгоритмы можно разработать, пользуясь оптимизационным принципом синтеза регулятороа предполагающим достижение приближенного равенства правой и левой частей операторного уравнения, описывающего поведение замкнутой скорректированной системы с неизвестными параметрамирегулятора [7).
Такое равенство достигается за счет изменения параметров регулятора при подстановке в операторное уравнение эталонных входного у, (г) и выходного х, (г) сигналов (см. 81.4, формула (1.53)). Положим, что поведение замкнутой нелинейной системы с регулятором, имею!цим варьируемые параметры р!, Рз, ... р„, описывается уравнением 192 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П при ограничениях, диктуемых содержанием задачи (например, безусловно должна обеспечиваться абсолютная устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам (7]). Здесь были изложены положения, являющиеся обобщением выводов, рассмотренных в 92.7 для класса стационарных систем.
Если продолжить рассмотрение применительно к классу нестационарных нелинейных систем, то обобщение легко получить, пользуясь зависимостями, приведенными в 22.12. Очевидно, невязка для класса нелинейных нестационарных систем может быть представлена так: ! Е(1, р,,... р„) = х,(1) + ) К, (г,т, р1,...
р„) х,(т) й + о (2.288) ! ! + ((г — т) Р'(х,(т))сУт — (К (г,т,р1,...р„)у,(т)сэт. 'о о Одной из форм реализации рассмотренного выше подхода является проекционный метод. В некоторых случаях он позволяет построить достаточно конструктивные алгоритмы синтеза регуляторов. 2.13.3. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В 92.8 задача синтеза регуляторов сведена к задаче аппроксимации в пространстйе Вз (О, Т~).
Подход, изложенный в 22.8, можно обобщить на нелинейные системы. Задачу синтеза регулятора будем рассматривать для нелинейных следящих систем, примеры структурньэх схем которых представлены на рис. 2.113 — 2.115. Особенностью этих систем является наличие одного нелинейного элемента в прямой цепи или цепи обратной связи. Рнс. 2.1! 3. Структурная схема системы с нелинейным элементом я цени местной ОС Рнс. 2.114. Структурная схема системы с нелинейным элементом я цепи главной ОС Вху(у) В,(х) В (х) Полагая, что й! = У, 6', = ', УУ'„= ~ — передаточные функции 4 ( ) 4 (з) 4 (') корректирующего устройства, объекта и обратной связи соответственно, по структурным схемам легко записать дифференциальное уравнение системы: для систем, структурные схемы которых представлены на рис. 2.113 и 2.1!4, — относительно вы- Глава 2.
Методы синтеза е лято ов в классе одноме нь1х систем 193 ходной координаты х(1), а для системы (на рис. 2.115) — относительно сигнала ошибки я(1): (АоАооАау +Вку~оАоо)Х+ ВоВооАттр( ) = ВауВоАоо»'' А„А А,Х+В В В,Р(Х)=В„„ВоА„У, (А,А +В,В )Е+В,А Р(Е)=А,А У (2.291) Рис. 2.115. Струихурнан схема системы с иелинеаным элементом н примоя пенн Ь,(1)=й (1-в "созоэг), причем а =— х Т где Тр — время переходного процесса. Далее, применяя известный подход, осуществляем переход к интегральному уравнению, эквивалентному исходному нелинейному дифференциальному уравнению системы: / х(1)+)К,(дт,Р)т(т)с»т+ )Ку(бт,Р)г"(х(т))е»т= ')Ку(1 т Р)у(т)х»т (2293) Анализируя (2.289), (2.290) и (2.291), можно сделать вывод, что после нормировки относительно коэффициента при старшей производной движение рассматриваемых нелинейных систем описывается дифференциальными уравнениями вида о-! о И «»")(1)+~а,хр)(1)+ ~э с Р»э)(х) = ) Ьау» )(1), (2.292) мо то е=о где и<и-1, т< п, у(1) — входное воздействие, х(1) — реакция системы, Е(х)— аналитическая нелинейная функция.
Задачу синтеза регулятора нелинейных систем будем решать в следующей постановке. Движение нелинейной системы задается уравнением (2.292), причем коэффициенты уравнения а, (Р),с, (Р), Ь„(Р) зависят от Р— параметров регулятора системы. Далее факт зависимости коэффициентов уравнения системы от параметров регулятора указывать не будем. Требуется определить параметры регулятора системы исходя из условий приближенного обеспечения заданных показателей качества работы системы. На первом этапе, в соответствии с требуемыми показателями качества работы системы, выбирается желаемый переходный процесс.' Положим для определенности, что это — переходная характеристика Ь,(1).
Для большинства задач синтеза регулятора в качестве эталонной можно выбрать зависимость вида: !94 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П где К ((,т,Р)=) а„— ((г-т) ], (-1)' ( „, "( -1)! й" Ку(г,т,Р)= ) с„— ((г-т) „, "(.-1))дт" » Ку (! т Р) ~ Ь» ~(! т) ,. "( -~)1~" Введем следующие обозначения: ! Рз (г,Р) =х,(г)+ ]К„(! т,Р)х,(т)г(т, о ! ,(. ) ) (. ) (,()) о Р, (ОР) = Р„(О р)+ Р, (О р) (2.294) ! Рз(г, Р) = )Ку(г,т,Р)у»(т)'"т о Тогда невязку можно записать в виде: В(ОР) = Р!(ОР)-рз(ОР).
(2.296) На основе формулы, определяющей невязку, можно построить функционал ! (Р), в качестве которого удобно использовать метрику пространства !'.о [О, Т]: г 7(Р)=рс»[от) = )О)В(' Р)~'д! о (2.297) Параметр Т в (2.297) выбирается исходя из длительности Т; практика показывает,что Т=(3-5)Т„. Оценка вектора Р может быть произведена, как было показано выше, в результате минимизации функционала: Р = ппп!(Р). (2.298) Проблема нахождения Р может быть сведена к задаче аппроксимации в пространстве Ь [О,Т]. Введем в рассмотрение вспомогательный вектор параметров Р: Р =~ а,(Р),!=О,п-),с (Р) ~=О,и,до(Р) И=О,т.~, (2.299) элементами которого являются коэффициенты уравнения (2.292).
Ясно, что оценив вспомогательный вектор Р, можно получить зависимости для расчета параметров регулятора. В рассматриваемой постановке задача синтеза эквивалентна задаче аппроксимации в пространстве Е [О,Т]. Методы синтеза, основанные на минимизации функционалов г Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 195 Е-! х(Е) = ~ с,'Е' = (С') О(Е) ю=л где О(Е) = (9л (Е),9, (Е),..., 9,, (Е)), (2,302) причем 9,(е) = е', ! =О,Е-!. Данное предположение не ограничивает общности рассуждений, поскольку существует матричный оператор, позволяющий переходить от базиса Ф(е) к базису 6!(е) . Далее положим, что нелинейная функция имеет вид Р(х(Е)) =,Г, )Лх" (Е) . (2.303) Найдем выражения для слагаемых, определяющих невязку (2.296).
Имеем Для Рч (е,р) можно записать (2.304) ~ ь-! ( !)" Ел Рч (Е,Р) = х(Е)+ )Е а„— [(Е-т) ~~х(т) еЕт, е л=л (п !) ' е(т Рц(Е,Р) =х(Е)+~ а„а„(Е), , (2.305) где Е-Еп-л-! ( 1)/ а„(Е)=Т ~ нм-л , л л (Е+/+1) Е!(и-/ — н-1)! Аналогично для Р; (е,р) имеем Р„, (Е, Р) = ~6„9„(Е), (2.306) (2.307) где Е-! и-л-! Е !!Е ;=,. (!+7+!М -.Е- -!)' ' (2.309) Отметим, что если заданным сигналом у, (Е) является воздействие у,(Е) = !(Е), формула для расчета функций !3„(е) принимает вид типа метрик функциональных пространств по параметрам вспомогательного вектора Р, по своему содержанию являются аппроксимационными или проекционными. Далее положим, что входной и выходной сигналы системы аппрокснмируются полиномами Лежандра или Чебышева, т.е.
у(Е)=(С~) Ф(Е); х(Е)=(С") Ф(Е), Ее[О,Т), (2.300) т где Ф(е) = ! е!ел (е) не! (е) - Чее-! (е)) — используемый ортонормированны й базис. После группировки членов относительно 1,Е,Е,...,Е' ' зависимость (2.300) можно переписать в виде 1-! т у(е) =к~ с,'е' =(С') О(е); (2.301) ю 0 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П 196 «с ( 1)" О+~ ~« Р„, (1,Р)= У У с„) — ~(1-т) ~Е',(т)О(т = «=О я=с (л 1) (2.311) '1" ' " ' ) т1Р„(т)О(т, 1, = (1, Очевидно, что реакция нелинейного элемента после ! -го момента переключения может быть записана в виде линейной комбинации 1-! Р;, (т) = !О,х(т) + Ы, = 11, ) с„"т' + О1, .
«=О Подставляя (2.312) в (2.311), получим окончательное выражение для Р, (1,Р): (2.312) и Р„(1,Р) =,'5 с„у„(1), «=О (2.313) где '!1-ЙТ ' '"'" [х "' [""'-"") — '[ "-")) 11(и-О-/-1)1(„Оуьг+1 ' 3 О1 УчитываЯ, что гьи = 1, пеРепишем последнюю фоРмУлУ в виде у.'(1) = .',(1)+у.',(1)+у,',(1) (2.314) где у! (1) = ~ .. .'). ~ . ' " '(1'1!"" -1"""!) + 1-! )[ « 1+! О1, г, „1з1 « „!! ! ( 1)1) «л+«-« у„' (1)= 7' -О ь 1!( — -~-1)10+к+1)' « „! ( 1)1 «-«у у«(1)= 7 "" -.. (- — -)( ° ) Р„(1) =1"-" ~ ( ) — ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
